para o desafio 1ngu

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Claro! Aqui estão 100 problemas de cálculo complexos em formato de múltipla escolha, 
com explicações detalhadas. Vamos começar: 
 
1. **Problema 1:** Calcule a integral definida \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{5}{6} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{7}{6} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{6} \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^3 - x^2 + x \right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - 
(0) = 1 \). A integral é igual a \( 1 \) e a área sob a curva é \( \frac{5}{6} \). 
 
2. **Problema 2:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 5 \) 
 c) \( 10 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( 5 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
3. **Problema 3:** Determine a derivada da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). 
 a) \( 3x^2 - 6x \) 
 b) \( 3x^2 + 6x \) 
 c) \( 2x^3 - 6x \) 
 d) \( 3x^2 - 3 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 - 6x \) 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é calculada usando a regra do poder: \( f'(x) = 3x^2 
- 6x \). 
 
4. **Problema 4:** Calcule a integral indefinida \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - x^2 \) 
 c) \( 4x^4 - 2x^2 + C \) 
 d) \( 4x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int (4x^3 - 2x) \, dx = x^4 - x^2 + C \). 
 
5. **Problema 5:** Determine a segunda derivada da função \( f(x) = e^{2x} \). 
 a) \( 2e^{2x} \) 
 b) \( 4e^{2x} \) 
 c) \( e^{2x} \) 
 d) \( 8e^{2x} \) 
 **Resposta:** b) \( 4e^{2x} \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( f'(x) = 2e^{2x} \) e a segunda derivada é \( f''(x) = 
4e^{2x} \). 
 
6. **Problema 6:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{5x^2 + 1} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{3}{5} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{5} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{5 + \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{5} \). 
 
7. **Problema 7:** Encontre a integral definida \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 10 \) 
 c) \( 12 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta:** a) \( 8 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^2 + x \right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 \). 
 
8. **Problema 8:** Calcule a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
9. **Problema 9:** Determine a integral \( \int e^{3x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 b) \( 3e^{3x} + C \) 
 c) \( e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} e^{3x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \), então \( \int e^{3x} \, 
dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 
10. **Problema 10:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** b) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \), portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
11. **Problema 11:** Determine a integral definida \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \)