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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Matemática 1
Lista de Exerćıcios – Semana 07
Temas abordados : Derivadas das funções exponencial e logaŕıtmica: Regra da cadeia
1) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
(a) f(x) = (5x3 − x4)7 (b) f(x) = ex
2−x+1
(c) f(x) =
√
3x2 − 4x+ 6 (d) f(x) = e−2x + x3
(e) f(x) = (ex + x2)10 (f) f(x) = 3
√
2x− x2
(g) f(x) =
√
1 + ex (h) f(x) =
(
3x+ 1
2x− 1
)6
(i) f(x) = ln(
√
3x+ 1) (j) f(x) = ex/
√
1−x
(k) f(x) = ln(2x3 − 5x+ 1) (l) f(x) = (1 + ln(x))6
(m) f(x) = ln(4 + ex
2
) (n) f(x) = ax = ex ln(a), onde a > 0.
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de f(x) = xa
2) Supondo que y = y(u) e u = u(x) são funções deriváveis, a regra da cadeia nos diz que
dy
dx
= dy
du
du
dx
. Calcule a derivada dy
dx
nos itens abaixo:
(a) y = u4 + 1; u = 3x2 − 2x (b) y =
√
u; u = 1/(x− 1)
(c) y = u2 + 2u− 3; u =
√
x (d) y = u3 + u; u = 1/
√
x
3) Observações mostram que o comprimento C em miĺımetros (mm), do focinho à ponta da
cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a função C = 0, 25p2,6, onde p é
o peso do tigre em quilogramas (kg). Além disso, quando o tigre tem menos de 6 meses
de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade I em dias pela função
p = 3 + 0, 21I.
(a) Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso
quando está pesando 60 kg?
(b) Qual é o comprimento de um tigre siberiano quando tem 100 dias de idade? Qual
é a taxa de variação do comprimento com relação ao tempo nessa idade?
4) Estima-se que, daqui a t anos, a população em um certo munićıpio será de
p(t) = 20−
6
t + 1
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de
monóxido de carbono no ar é dada por c(p) = 0, 5
√
p2 + p+ 58 partes por milhão, onde
p é a população em milhares de habitantes.
(a) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação
ao tamanho da população quando o muńıcipio tiver 18 mil habitantes?
(b) Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui
a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
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5) Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na
água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que, t dias após dejetos
sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de
oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
O(t) = 1−
12
t+ 12
+
144
(t+ 12)2
.
(a) Com que taxa a fração de oxigênio O(t) está variando após 10 dias? A fração está
aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
(b) A fração de oxigênio está aumentando ou diminuindo após 15 dias?
(c) Se não são lançados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentração
de oxigênio? Use um limite para confirmar o seu palpite.
6) A demanda de um certo produto é D(p) = 3000e−0,01p unidades por mês quando o preço
é p reais por unidade.
(a) Qual é a taxa de variação da despesa dos consumidores E(p) = pD(p) em relação
ao preço p?
(b) Para que preço a despesa dos consumidores deixa de aumentar e começa a diminuir?
(c) Para que preço a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar?
Interprete esse resultado.
7) Considere a curva cuja equação é y2(2− x) = x3.
(a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
Dica: note que y = y(x) é tal que y(x)2(2− x) = x3 e use a regra da cadeia na hora de derivar o termo y(x)2
8) Se f é uma função derivável e positiva, então (ln f(x))′ = f ′(x)
f(x)
. Vamos usar este fato
para calcular a derivada da função
f(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
.
Tomando o logaritmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma
produtos em soma e potências em produtos, obtemos
ln(f(x)) = 2 ln(x) +
1
3
ln(7x− 14)− 4 ln(1 + x2).
Derivando, obtemos
1
f(x)
f ′(x) =
2
x
+
7/3
7x− 14
−
8x
1 + x2
,
e portanto
f ′(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
(
2
x
+
7/3
7x− 14
−
8x
1 + x2
)
.
O procedimento acima é chamado de derivação logaŕıtmica. Use-o para derivar as funções
abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = (x+ 1)e
x
2
+1
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RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) = 7(5x3 − x4)6(15x2 − 4x3)
(b) f ′(x) = (2x− 1)ex
2−x+1
(c) f ′(x) =
3x− 2
√
3x2 − 4x+ 6
(d) f ′(x) = −2e−2x + 3x2
(e) f ′(x) = 10(ex + x2)9(ex + 2x)
(f) f ′(x) =
2− 2x
3(2x− x2)2/3
(g) f ′(x) =
ex
2
√
1 + ex
(h) f ′(x) = 6
(
3x+ 1
2x− 1
)5 (
−5
(2x− 1)2
)
=
−30(3x+ 1)5
(2x− 1)7
(i) f ′(x) =
3
2(3x+ 1)
(j) f ′(x) = −
(x− 2)ex/
√
1−x
2
√
(1− x)3
(k) f ′(x) =
6x2 − 5
2x3 − 5x+ 1
(l) f ′(x) =
6(1 + ln(x))5
x
(m) f ′(x) =
2xex
2
4 + ex2
(n) f ′(x) = ax ln(a)
2) (a)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 4u3(6x− 2) = 4(3x2 − 2x)3(6x− 2)
(b)
dy
dx
=
1
2
√
u
(−1)(x− 1)−2 =
−1
2(x− 1)2
√
1/(x− 1)
=
−1
2(x− 1)3/2
(c)
dy
dx
= (2u+ 2)
1
2
√
x
= 1 + x−1/2
(d)
dy
dx
= (3u2 + 1)
−1
2x3/2
=
−(3 + x)
2x
√
x3
3) (a) C ′(p) = 0, 65p1,6; C ′(60) ≈ 455 mm/kg
(b) Um tigre de 100 dias pesa p(100) = 24 kg e tem C(24) ≈ 969 mm de comprimento. Pela
regra da cadeia, L′(I) = L′(p)p′(I) = (0, 65p1,6)(0, 21) e, portanto, para I = 100 e p = 24
tem-se L′(100) ≈ 22, 1 mm por dia, ou seja, o comprimento está aumentando a uma taxa
de 22,1 mm por dia (aproximadamente).
4) (a) 0, 4625 p.p.m. por mil habitantes
(b) 0, 308 p.p.m. por ano; aumentando
5) (a) Diminuindo à taxa de 0,2254% ao dia
(b) Aumentando
(c) A longo prazo, a concentração de oxigênio tende a voltar ao ńıvel normal
6) (a) E′(p) = 3000e−0,01p(1− 0, 01p) (b) p = 100 (c) p = 200
7) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3
√
3x− 3
√
3 e y = −3
√
3x+ 3
√
3
8) (a) f ′(x) = (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) + x
x+1
)
(b) f ′(x) = e(x
2+1)(1 + x)(−1+ex
2
+1)(1 + 2x(1 + x) ln(1 + x))
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