o mundo 397s

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**Explicação:** A integral é dada por: 
\[ 
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \,dx = -\ln|\cos(x)| \big|_0^{\frac{\pi}{4}} = -\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) 
= \ln(1 + \sqrt{2}). 
\] 
 
**25.** Determine o valor da integral de linha \( \int_C y \,dx + x \,dy \) onde \( C \) é o 
caminho circular \( x = \cos(t), y = \sin(t), \, t \in [0, 2\pi] \). 
A) 0 
B) \( \pi \) 
C) \( 2\pi \) 
D) \( \frac{1}{2} \pi \) 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** Como a integral é conservativa e o caminho não tem singularidade, a 
integral em um caminho fechado é 0. 
 
**26.** Calcule o valor \( \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx \). 
A) 0 
B) \( \frac{2}{3} \) 
C) 1 
D) \( \frac{2}{5} \) 
**Resposta:** C) 1 
**Explicação:** 
\[ 
\int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - 
\left(-1 + \frac{1}{3}\right) = 2 - \frac{2}{3} = 1. 
\] 
 
**27.** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Como \( \tan(x) \sim x \) quando x é pequeno, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. 
\] 
 
**28.** Calcule a integral definida \( \int_0^1 \sqrt{x} \,dx \). 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{2}{3} \) 
C) \( \frac{3}{4} \) 
D) \( \frac{1}{3} \) 
**Resposta:** B) \( \frac{2}{3} \) 
**Explicação:** 
\[ 
\int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \big|_0^1 = \frac{2}{3}. 
\] 
 
**29.** Determine a derivada de \( h(x) = e^{x^2} \). 
A) \( 2xe^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( xe^{x^2} \) 
D) \( 2e^{x^2} \) 
**Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\[ 
h'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}. 
\] 
 
**30.** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \,dx \). 
A) \( \ln|\ln(x)| + C \) 
B) \( \frac{1}{x} + C \) 
C) \( -\ln|\ln(x)| + C \) 
D) \( \frac{\ln(x)}{x} + C \) 
**Resposta:** A) \( \ln|\ln(x)| + C \) 
**Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \( u = \ln(x) \), 
resultando em \( \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \). 
 
**31.** Encontre a integral de \( \int_0^1 2x \sin(3x^2) \,dx \). 
A) \( \frac{\sin(3)}{3} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{2\sin(3)}{9} \) 
D) \( \frac{\sin(3) - \sin(0)}{3} \) 
**Resposta:** C) \( \frac{2\sin(3)}{9} \) 
**Explicação:** Usamos substituição \( u = 3x^2 \), \( du = 6x \, dx \), então a integral se 
torna: 
\[ 
\int_0^3 \frac{1}{3} \sin(u) \,du = \frac{1 - \cos(3)}{3}. 
\] 
 
**32.** Determine a integral \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,dx\). 
A) \( \sqrt{\pi} \) 
B) 0 
C) 2 
D) 1 
**Resposta:** A) \( \sqrt{\pi} \) 
**Explicação:** A integral do Gauss é uma integral famosa, e sua solução é \( \sqrt{\pi} \). 
 
**33.** Calcule a integral \( \int_0^1 x^{3/2}\,dx \) 
A) \( \frac{2}{5} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{3}{5} \) 
D) \( \frac{5}{6} \)