aprendendo e fazendo AJ

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b) \( -\frac{\ln(x)}{x} + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), a integral se resolve para \( -\frac{1}{x 
\ln(x)} + C \). 
 
30. **Qual é o valor da integral \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \)?** 
 a) Não tem uma antiderivada expressa em termos de funções elementares 
 b) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
 c) \( e^x \ln(x) + C \) 
 d) \( e^x x + C \) 
 **Resposta:** a) Não tem uma antiderivada expressa em termos de funções elementares 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \) não tem uma antiderivada expressa em 
termos de funções elementares. 
 
31. **Qual é a integral definida de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Esta integral é a integral definida da função \( \arcsin(x) \), então \( \left[ 
\arcsin(x) \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \). 
 
32. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)?** 
 a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 b) \( -\frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 d) \( \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia e a regra do quociente, a derivada é \( -
\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
33. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \pi \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Esta é a integral da função \( \frac{1}{x^2 + 1} \) no intervalo de \( 0 \) a \( 
\infty \), que resulta em \( \frac{\pi}{2} \). 
 
34. **Qual é a integral de \( \int e^{3x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 b) \( e^{3x} + C \) 
 c) \( \frac{e^{3x}}{3x} + C \) 
 d) \( \frac{e^x}{3} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \frac{e^{3x}}{3} + C \), onde \( \frac{d}{dx}[e^{3x}] = 3e^{3x} 
\). 
 
35. **Qual é a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \cdot \sin(x) \)?** 
 a) \( \frac{2x \sin(x)}{x^2 + 1} + \ln(x^2 + 1) \cos(x) \) 
 b) \( \frac{2x \sin(x)}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1) \cos(x) \) 
 c) \( \frac{2x \cos(x)}{x^2 + 1} + \ln(x^2 + 1) \cos(x) \) 
 d) \( \frac{2x \cos(x)}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1) \sin(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x \sin(x)}{x^2 + 1} + \ln(x^2 + 1) \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{2x 
\sin(x)}{x^2 + 1} + \ln(x^2 + 1) \cos(x) \). 
 
36. **Qual é a integral de \( \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} \)?** 
 a) \( \frac{\arcsin(x)}{x} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + C \) 
 c) \( \frac{\ln(x)}{x} + C \) 
 d) \( \frac{\arctan(x)}{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\arcsin(x)}{x} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se resolve para \( 
\frac{\arcsin(x)}{x} + C \). 
 
37. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} x \ln(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{4} \) 
 b) 
 
 \( -\frac{1}{3} \) 
 c) \( -\frac{1}{2} \) 
 d) \( -\frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, a integral é \( -\frac{1}{4} \). 
 
38. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \pi \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1, resultando 
em \( \frac{\pi}{4} \). 
 
39. **Qual é a derivada de \( f(x) = x e^{-x^2} \)?** 
 a) \( e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \) 
 b) \( e^{-x^2} - 2x e^{-x^2} \) 
 c) \( e^{-x^2} - 2x e^{-x^2} \) 
 d) \( -2x e^{-x^2} \) 
 **Resposta:** b) \( e^{-x^2} - 2x e^{-x^2} \)