8nebpensino avançado

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45. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + 1 \)?** 
 a) \( y = Ce^{2x} - \frac{1}{2} \) 
 b) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} \) 
 c) \( y = -\frac{1}{2} + Ce^{2x} \) 
 d) \( y = -\frac{1}{2} + Ce^{-2x} \) 
 **Resposta:** c) \( y = -\frac{1}{2} + Ce^{2x} \) 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \( \int \frac{1}{2y + 1} dy = 
\int dx \), resultando em \( y = -\frac{1}{2} + Ce^{2x} \). 
 
46. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1: \( 
\left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{2 - 4.5 + 3}{3} = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6} \). 
 
47. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{x^3 + 4} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^3 \): \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{4}{x^3}} = 3 \). 
 
48. **Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 + 2x + C \) 
 b) \( 3x^3 + 2x + C \) 
 c) \( \frac{3}{2}x^3 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{3}{2}x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada termo a termo: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \) e \( \int 2 \, 
dx = 2x \). 
 
49. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = 
\frac{1}{2} \). 
 
50. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)?** 
 a) \( 3x^2 + 6x + 3 \) 
 b) \( 3x^2 + 3x + 1 \) 
 c) \( 6x + 3 \) 
 d) \( 3x^2 + 6 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 + 6x + 3 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \( f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 \). 
 
51. **Qual é o valor da integral \( \int (2x^3 - 5x^2 + 3) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3 + C \) 
 c) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3 + C \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^3 + 3 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada termo a termo: \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), 
\( \int -5x^2 \, dx = -\frac{5}{3}x^3 \), e \( \int 3 \, dx = 3x \). 
 
52. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 1} \frac{5x^4}{1} = 5 \). 
 
53. **Qual é a integral \( \int (4x^3 - x) \, dx \)?** 
 a) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{1}{4}x^2 + C \) 
 c) \( 4x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 d) \( 4x^4 - \frac{1}{4}x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada termo a termo: \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \) e \( \int -x 
\, dx = -\frac{1}{2}x^2 \). 
 
54. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
55. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \cdot \cos(x) \)?** 
 a) \( 3e^{3x} \cos(x) - e^{3x} \sin(x) \) 
 b) \( 3e^{3x} \sin(x) + e^{3x} \cos(x) \) 
 c) \( e^{3x} (3\cos(x) - \sin(x)) \) 
 d) \( e^{3x} (3\sin(x) + \cos(x)) \) 
 **Resposta:** c) \( e^{3x} (3\cos(x) - \sin(x)) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \), onde \( u = e^{3x} \) e \( v 
= \cos(x) \). Assim, \( u' = 3e^{3x} \) e \( v' = -\sin(x) \).