algebra dherzot

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57. Encontre o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
A) \( \frac{\pi}{4} \) 
B) \( \frac{\pi}{2} \) 
C) \( \frac{1}{4} \) 
D) \( \frac{1}{3} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), podemos 
calcular facilmente. 
 
58. A equação \( y'' - y' - 2y = 0 \) tem a solução: 
A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \) 
B) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \) 
C) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \) 
D) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \) 
**Resposta:** A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \) 
**Explicação:** A solução envolve encontrar raízes para a equação característica. 
 
59. Calcule \( \int x e^{-x} \, dx \). 
A) \( -xe^{-x} - e^{-x} + C \) 
B) \( xe^{-x} + C \) 
C) \( e^{-x} + C \) 
D) \( -xe^{-x} + C \) 
**Resposta:** A) \( -xe^{-x} - e^{-x} + C \) 
**Explicação:** Fazemos integração por partes, \( u = x \) e \( dv = e^{-x} dx \). 
 
60. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3}{2x^4 + 1} \)? 
A) \( \frac{5}{2} \) 
B) 0 
C) \( \infty \) 
D) 1 
**Resposta:** A) \( \frac{5}{2} \) 
**Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau: 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^4}}{2 + \frac{1}{x^4}} = \frac{5}{2} \] 
 
61. Encontre a integral \( \int (3x^3 + 2x^2) \, dx \). 
A) \( \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + C \) 
B) \( \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{2} + C \) 
C) \( 2x^3 + C \) 
D) \( 4x^3 + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + C \) 
**Explicação:** A antiderivada integra os seus itens. 
 
62. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
A) \( \frac{1}{2} \) 
B) 0 
C) 1 
D) -1 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Usamos o desenvolvimento em série de Taylor e limitamos. 
 
63. Qual é a antiderivada da função \( g(x) = \log(x) \)? 
A) \( x \log(x) - x + C \) 
B) \( x + C \) 
C) \( \frac{x^2}{2} + C \) 
D) \( \log(|x|) + C \) 
**Resposta:** A) \( x \log(x) - x + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes para melhorar a função. 
 
64. O que é o valor da série convergente \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? 
A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
B) 1 
C) 0 
D) \( \frac{\pi^2}{4} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
**Explicação:** Esse é um valor clássico determinante da matemática. 
 
65. Calcule \( \int_0^1 \sin(x^2) \, dx \) usando a técnica de substituição. 
A) aproxima-se de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
B) não tem forma fechada. 
C) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) + C 
D) Vale para outras funções. 
**Resposta:** B) não tem forma fechada. 
**Explicação:** Este é um resultado conhecido que não pode ser expresso em termos de 
funções elementares. 
 
66. Encontre \( \lim_{x \to 3} (2x + 1) \). 
A) 7 
B) 6 
C) 5 
D) 3 
**Resposta:** A) 7 
**Explicação:** É um limite direto que pode ser substituído. 
 
67. Qual é a primitiva da função \( f(x) = \sec^2(x) \)? 
A) \( \tan(x) + C \) 
B) \( \sin(x) + C \) 
C) \( -\cot(x) + C \) 
D) \( \cos(x) + C \) 
**Resposta:** A) \( \tan(x) + C \) 
**Explicação:** Este é um resultado direto da tabela. 
 
68. Calcule a integral \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
A) \( \frac{\pi}{2} \)