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B) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
C) \( -\frac{1}{4} \cos(x^3) + C \) 
D) \( \frac{1}{4} \sin(x^3) + C \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
**Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \) que gera \( du = 2x \, dx \), então: 
\[ \int x^3 \sin(x^2) \, dx = \int \frac{u^{1/2}}{2} \sin(u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C \] 
 
18. Resolva a equação \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \) pelo método da substituição. 
A) \( x = \pm 2, \pm 1 \) 
B) \( x = 0, \pm 2 \) 
C) \( x = 1, 2 \) 
D) \( x = -1, -2 \) 
**Resposta:** A) \( x = \pm 2, \pm 1 \) 
**Explicação:** Substituindo \( u = x^2 \), obtemos a equação quadrática \( u^2 - 5u + 4 = 
0 \) que pode ser fatorada como \( (u - 4)(u - 1) = 0 \), resultando em \( u = 4 \text{ e } u = 1 
\). Portanto, as soluções para \( x \) são \( \pm 2 \text{ e } \pm 1 \). 
 
19. Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) \). 
A) \( \frac{3}{2} \) 
B) \( -\frac{3}{2} \) 
C) 0 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3}{2} \) 
**Explicação:** Multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{x^2 + 3x} + x \): 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} 
\Rightarrow \frac{3}{2} \text{ quando } x \to \infty \] 
 
20. Calcule a integral \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \). 
A) \( \frac{\pi}{2} \) 
B) \( \frac{\pi}{4} \) 
C) \( \frac{3\pi}{8} \) 
D) \( \frac{\pi}{6} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{2} \) 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
\[ \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx = \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}(x - 
\frac{1}{2}\sin(2x)) \bigg|_0^\pi = \frac{1}{2}(\pi - 0) = \frac{\pi}{2} \] 
 
21. Determine a série de Fourier \( f(x) = x \) no intervalo \( (-\pi, \pi) \). 
A) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \) 
B) \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \cos(nx) \) 
C) \( \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx) \) 
D) \( x + \sum \cos(nx) \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \) 
**Explicação:** A função \( f(x) = x \) é ímpar, e a série de Fourier em termos de senos (a 
parte ímpar) é obtida usando os coeficientes de Fourier apropriados. 
 
22. Calcule a integral de linha do campo vetorial \( \mathbf{F}(x, y) = (y, x) \) ao longo da 
curva \( C \) definida por \( (t, t^2) \) para \( t \in [0, 1] \). 
A) \( \frac{1}{3} \) 
B) 1 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( \frac{1}{4} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{3} \) 
**Explicação:** A integral de linha é dada por: 
\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 (t^2, t) \cdot (dt, 2t \, dt) = \int_0^1 (t^2 dt 
+ 2t^2 dt) = \int_0^1 3t^2 dt = [t^3]_0^1 = \frac{1}{3} \] 
 
23. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). 
A) \( x = 1, 2 \) 
B) \( x = 0, 1, 2 \) 
C) \( x = 1 \) 
D) \( x = 2 \) 
**Resposta:** A) \( x = 1, 2 \) 
**Explicação:** Encontramos a derivada: 
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] 
Os pontos críticos são \( x = 0, 2 \). 
 
24. Resolva a integral \( \int_0^1 (x^2 - 3x + 5) \, dx \). 
A) \( \frac{7}{3} \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 3 \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta:** A) \( \frac{7}{3} \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ \int (x^2 - 3x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 5x + C \] 
Calculando de \( 0 \) a \( 1 \): 
\[ \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{3(1^2)}{2} + 5(1) \right] - [0] = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 5 = 
\frac{1}{3} - \frac{9}{6} + \frac{30}{6} = \frac{7}{3} \] 
 
25. Qual é o valor da integral \( \int x^2 e^{-x} \, dx \)? 
A) \( -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C \) 
B) \( e^{-x}(x^2 - 2x + 2) + C \) 
C) \( e^{x}(x^2 + 2) + C \) 
D) \( -e^{-x}x^2 + C \) 
**Resposta:** A) \( -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = x^2 \) e \( dv = e^{-x} dx \). 
 
26. Calcule o limite \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \). 
A) \( 6 \) 
B) \( 3 \) 
C) 0 
D) Infinito 
**Resposta:** A) \( 6 \) 
**Explicação:** Usamos fatoração: 
\[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 \]