Para determinar a série de Fourier da função \( f(x) = x \) no intervalo \( (-\pi, \pi) \), precisamos considerar que essa função é ímpar. Para funções ímpares, a série de Fourier será composta apenas por termos senoidais. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) \] onde \( b_n \) é dado por: \[ b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx \] Para \( f(x) = x \) e \( L = \pi \): \[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx \] Após calcular essa integral, obtemos que: \[ b_n = \frac{2(-1)^{n-1}}{n} \] Portanto, a série de Fourier se torna: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \) - Não é a forma correta. B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos(nx) \) - Não é a forma correta, pois não tem termos senoidais. C) \( \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx) \) - Não é a forma correta. D) \( x + \sum \cos(nx) \) - Não é a forma correta, pois não tem termos senoidais. A alternativa correta, que representa a série de Fourier de \( f(x) = x \) no intervalo \( (-\pi, \pi) \), é a que se aproxima da forma que encontramos, que é: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx) \] Entretanto, como não temos essa opção exata, a alternativa mais próxima e correta é a A) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \), considerando que a série de Fourier de uma função ímpar não deve ter um termo constante, mas a estrutura da série está correta. Portanto, a resposta correta é a) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \).