Lista de Exercicios Fisica Básica (41)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 81
Escolhemos a primeira possibilidade (−45°, ou 45° no sentido horário a partir do semieixo x 
positivo) porque os sinais das componentes mostram que o vetor está no quarto quadrante. Um 
desenho de D

r aparece acima.
3. O vetor posição inicial 

ro satisfaz a equação 
  
r r r− =o D , o que nos dá
   
r r ro j k m i j= − = − − − +D ( , ˆ , ) ( , ˆ , ˆ , ˆ3 0 4 0 2 0 3 0 6 0kk m m i m j m k) ( , )ˆ ( , )ˆ ( ) ˆ= − + + −2 0 6 0 10
4. Escolhemos um sistema de coordenadas com a origem no centro do relógio, o semieixo x 
positivo para a direita (na direção das “3 horas”) e o semieixo y positivo para cima (na direção 
das “12 horas”).
(a) Na notação dos vetores unitários, temos 
 
r r1 210 10= = −( )ˆ ( )ˆ.cm i e cm j Assim, de acordo 
com a Eq. 4-2,
D
  
r r r= − = − + −2 1 10 10( )ˆ ( )ˆ.cm i cm j
O módulo é dado por | | ( ) ( ) .D

r = − + − =10 10 142 2cm cm cm
(b) De acordo com a Eq. 3-6, o ângulo é
u = −
−




= ° − °−tan .1 10
10
45 135
cm
cm
ou
Escolhemos 2135° porque sabemos que o vetor está no terceiro quadrante. Na notação módulo-
ângulo, o vetor é
D 2 2 1 2
  
r r r= = →( )ˆ ( )ˆ2 1 10 10cm i cm j (14 cm .∠2135°)
(c) Nesse caso, 
  
r r r1 210 10 20= − = =( )ˆ ( )ˆ ( )ˆcm j, cm j e cm j.D Assim, | | .D

r = 20 cm
(d) De acordo com a Eq. 3-6, o ângulo é
u =




= °−tan .1
20
0
90
cm
cm
(e) Em uma hora, o ponteiro volta à posição inicial e o deslocamento da ponta é zero.
(f) O ângulo correspondente ao deslocamento da ponta durante uma hora também é zero. 
5. A velocidade média durante a viagem é dada pela Eq. 4-8: 
 
v r tméd = D D/ , na qual o des-
locamento total D D D D
   
r r r r= + +1 2 3 é a soma de três deslocamentos (todos realizados com 
velocidade constante durante um certo tempo) e D D D Dt t t t= + +1 2 3 é a duração da viagem. 
Usamos um sistema de coordenadas no qual o semieixo x positivo corresponde à direção leste 
e o semieixo y positivo corresponde à direção norte. 
(a) Na notação dos vetores unitários, o primeiro deslocamento é dado por
D

r1 = 60,0
km
h
40,0min
60min/h








ˆ̂ ˆi = (40,0 km)i.
82 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
O segundo deslocamento tem um módulo de ( , )) (60 0 km
h
20,0 min
60min/h 20,0 km⋅ = e a direção é 40° 
ao norte do leste. Assim,
D

r2 = +( ˆ (20,0 km) cos(40,0) i 20,0 km) sen( 440,0 ) j 15,3 km) i 12,9 km) j. ˆ ( ˆ ( ˆ= +
O terceiro deslocamento é
D

r3 = −







60,0
km
h
50,0min
60min/h
îi = ( km) i.− 50 0, ˆ
O deslocamento total é
D D D D
   
r r r r= + + = + +1 2 3 ( ˆ ( ˆ40,0 km)i 15,3 km) i (( ˆ ( ˆ
ˆ (
12,9 km) j 50,0 km) i
(5,30 km) i 12,9
−
= + km) j.ˆ
A duração da viagem é Dt = (40,0 + 20,0 + 50,0) min = 110 min, que equivalem a 1,83 h. De 
acordo com a Eq. 4-8, temos:

vméd
(5,30 km) i 12,9 km) j
1,83 h
(2,9= + =
ˆ ( ˆ
00 km/h) i (7,01km/h) j .ˆ ˆ+
O módulo de 

vméd é
| | ( , )

vméd
2km/h (7,01km/h) 7,59km/h= + =2 90 2 ..
(b) O ângulo é 
u =




=− −tan tan
,
,
,
,
1 1 7 01
2 9
v
v
y
x
méd
méd
km/h
00
67 5
km/h
(ao nortedo leste)




= °,
ou 22,5o a leste do norte.
O deslocamento do trem é mostrado na figura a seguir.
Note que o deslocamento total D

r é a soma vetorial de D

r1 , D

r2 e D

r3. 
6. Para chamar atenção para o fato de que a velocidade é função do tempo, usamos a notação 
v(t) para dx/dt.
(a) De acordo com a Eq. 4-10, temos:
v t
d
dt
t t( ) ˆ ˆ ˆ= − =(3,00 i 4,00 j + 2,00k) (3,002 m/s)i (8,00 m/s) jˆ ˆ− t
(b) Fazendo t = 2,00 s na expressão do item (a), obtemos 

v = (3,00i 16,0j) m/s.ˆ ˆ−