Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 10

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7 9 9671 9612 1602 
 9 7 7691 7632 1272 
21 19 imp 
Resposta: os valores possíveis estão indicados nas colunas 5 e 7 da tabela. 
 
26 – Mostrar que o produto de quatro algarismos consecutivos, aumentado de 1, é 
um quadrado perfeito. 
SOLUÇÃO:- Sejam os inteiros (x – 1), x , (x + 1) e (x + 2). 
Temos: x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) + 1 = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1. Provemos que 
essa expressão é um quadrado perfeito. Como o grau é 4 (maior expoente), se tal 
expressão for um quadrado de um polinômio de segundo grau, da forma ax2 + bx 
+ c. Como o coeficiente do termo de 4º grau e o termo independente são ambos 
iguais a 1, devemos ter a = 1 e c = 1. Portanto, o polinômio deve ter a forma x2 + 
bx + 1. 
Elevando esse polinômio ao quadrado temos: 
(x2 + bx + 1)(x2 + bx + 1) = x4 + bx3 + x2 + bx3 + b2x2 + bx + x2 + bx + 1 = x4 + 
2bx3 + (2 + b2)x2 + 2bx + 1. 
A igualdade de dois polinômios implica na igualdade de seus coeficientes. Portanto, 
2b = 6  b = 3. (note que b pode ser calculado a partir de qualquer um dos 
coeficientes). 
Do exposto, x(x + 1).(x + 2).(x +3).(x + 4) = (x2 + 3x + 2)2  é um quadrado 
perfeito. cqd. 
 
27 – A soma dos quadrados de dois inteiros é 3332 e um deles é o quádruplo do 
outro. Achar os dois inteiros. 
SOLUÇÃO:- os números são x e 4x. Assim, x2 + (4x)2 = 3332  17x2 = 3332  x2 
= 196  x = 14. 4x = 56. 
Resposta: 14 e 56. 
 
28 – Sejam a e b dois inteiros. Demonstrar: 
(a) Max(a, b) = (a + b + |a – b|)/2. 
SOLUÇÃO: Para a existência de um máximo a > b ou a b, então Max(a, b) = a e |a – b| = a – b. 
Assim, (a + b + |a – b|)/2 = (a + b + a – b)/2 = 2a/2 = a. 
Portanto, (a + b + |a – b|)/2 = a = Max(a, b). 
Se a b. 
Se a b, então Min(a, b) = b e |a – b| = a – b.