MATEMÁTICA_EsPCEx-40

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Exemplo 
𝑃𝐺( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ) 
Soma dos termos de uma Progressão geométrica 
finita 
A Soma (Sn) dos n primeiros termos de uma P.G. com 
razão diferente de 1 é dada pela seguinte expressão. 
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏⋅(𝒒
𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏
 , com 𝑞 ≠ 1 
Exemplo 1: 
Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1, 
2, 4, 8...) 
Exemplo 2: 
Determine a P.G. cuja soma dos quatro primeiros 
termos é 312 e a razão é 5. 
 Soma dos termos de uma Progressão geométrica 
infinita 
A soma 𝑠∞ dos infinitos termos de uma 
𝑃𝐺(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 … . ) é dada por: 
𝑠∞ =
𝑎1
1−𝑞
 , com −1 < 𝑞 < 1 
Exemplo: 
Determine a soma dos infinitos termos da PG 
(1, 
1
2
, 
1
4
… ) 
Produto dos n primeiros termos de uma P.G. (𝑷𝒏) 
𝑷𝒏 = √(𝒂1 ⋅ 𝒂𝒏)
𝒏 ou 𝒑𝒏 = 𝒂𝟏
𝒏 ⋅ 𝒒
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐 
Exemplo: 
Calcule o produto dos termos da P.G.: 
(
4
3
, 2,3,
9
2
,
27
4
,
81
8
) 
Atividades PA e PG 
01) Em certo país, ocorrem eleições para prefeito de 
4 em 4 anos e para senador, de 6 em 6 anos, desde 
o ano de 1840, quando ocorrem simultaneamente 
eleições para prefeito e para senador. 
Até o final de 2011, ocorreram eleições simultâneas 
para esses dois cargos, nesse país: 
a) 24 vezes 
b) 21 vezes 
c) 18 vezes 
d) 15 vezes 
e) 12 vezes 
2) Sejam as sequências (75, a2, a3, a4...) e (25, b2, 
b3, b4...) duas progressões aritméticas de mesma 
razão. Se a100 + b100 = 496, então 
𝑎100
𝑏100
 é igual a: 
a) 
273
223
 
b) 
269
219
 
c) 
247
187
 
d) 
258
191
 
e) 
236
171
 
03) As progressões aritméticas (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 
11, ...) têm 100 termos cada uma. O número de 
termos iguais nas duas progressões é: 
a) 28 
b) 27 
c) 26 
d) 25 
e) 24 
04) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-
se a depositar mensalmente, em uma caderneta de 
poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e 
assim sucessivamente, até o mês em que o valor do 
depósito atingisse R$ 2048,00. No mês seguinte, o 
pai recomeçaria os depósitos como de início e assim 
o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo 
ocorrido falha de depósito ao longo do período, e 
sabendo-se que 210 = 1024, o montante total dos 
depósitos, em reais, feitos em caderneta de 
poupança foi de: 
a) 42947,50 
b) 49142,00 
c) 57330,00 
d) 85995,00 
e) 114660,00 
05) Alguns números positivos foram inseridos entre 
1/32 e 64. Sabe-se que na sequência obtida, cada 
termo que foi inserido é a raiz quadrada do produto 
dos seus dois vizinhos, anterior e posterior. Se o 
produto de todos os termos da sequência é igual a 
256, o número de termos inseridos foi: 
a) 13 
b) 14 
c) 15 
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d) 16 
e) 17 
06) Considere uma progressão geométrica de 5 
termos e razão positiva, onde a soma do primeiro 
com o terceiro termo é 9/2 e o produto de seus termos 
é 1024. 
O produto dos três termos iniciais dessa progressão 
é igual a: 
a) 1/2 
b) 1 
c) 2√2 
d) 4 √2 
e) 8 √2 
7) O radical √121√121√121
33
3
... equivale a: 
a) 11 
b) 11√11
3
 
c) 121 
d) 11√121
3
 
e) 121√11
3
 
08) Chamamos de falsa espiral de dois centros 
aquela construída da seguinte forma: os dois centros 
são os pontos A e B. Traçam-se semicircunferência 
no sentido anti-horário, a primeira com o centro em A 
e raio AB, a segunda com centro em B e raio BC, a 
terceira com centro em A e raio AD, repetindo esse 
procedimento em que os centros se alternam entre A 
e B, como mostrado na figura a seguir. 
Sabe-se que, ao completar duzentas 
semicircunferências, o comprimento total 
dessa falsa espiral 100500𝜋 metros. 
Qual a distância em metros entre A e B? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
09) Observe a sequência de figuras: 
 
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando 
os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-
se o quadrado MNPQ. Realizando esse 
procedimento indefinidamente, a soma das áreas de 
todos os quadrados sombreados dessa sequência é 
áreas de todos 
os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 
64√2𝑐𝑚2. A área do quadrado sombreado da décima 
figura dessa sequência, em centímetros quadrados, 
é igual a: 
a) 
√2
16
 
b) 
√2
4
 
c) √2 
d) 4√2 
e) 8√2 
10) Dois corredores vão se preparar para participar 
de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km 
no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa 
distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro 
dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. 
A preparação será encerrada no dia em que eles 
percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. 
A soma, em quilômetros, das distâncias que serão 
percorridas pelos dois corredores durante todos os 
dias do período de preparação é igual a: 
a) 370 
b) 375 
c) 380 
d) 385 
e) 390 
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Polinômio ou função polinomial; - 
Polinômios idênticos; - Polinômio 
nulo; - Raiz de um polinômio; - 
Valor numérico de um polinômio; 
- Operações com polinômios. 
POLINÔMIOS 
Polinômio ou função Polinomial 
Exemplo 1: 
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟒 
Variável = 
Coeficientes = 
Termo independente = 
 Grau → 
Exemplo 2: 
 𝑷(𝒚) = 𝒚𝟓 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝒚 − 𝟒 
Variável = 
Coeficientes = 
Termo independente = 
 Grau → 
Observação 1: O polinômio pode ser do tipo completo 
ou incompleto. 
Observação 2: O grau do polinômio será indicado 
pelo expoente de maior valor e esse expoente será 
número natural. 
Exemplo 3: 
Dado o polinômio 𝑷(𝒙) = (𝒎𝟐 − 𝟏𝟔) ⋅ 𝒙𝟑 + (𝒎 −
𝟒)𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟕, determine o valor de 𝑚 ∈ ℝ, para que 
o polinômio seja de grau 2. 
Forma Geral 
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−1𝒙
𝒏−1 + ⋯ + 𝒂1𝒙 + 𝒂0 
Valor numérico 
O valor numérico de um polinômio 𝑷(𝒙) em 𝒂 é obtido 
substituindo 𝒙 por 𝒂 e efetuando as operações. 
Exemplo: 
Dado o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1, determine o 
valor numérico de: 
𝑃(2) 
𝑃(1) 
𝑃(0) 
𝑃(𝑖) 
Raiz de um polinômio 
Dado um polinômio 𝑷(𝒙) e 𝒂 um número complexo. 
O número 𝒂 será uma raiz do polinômio 𝑷(𝒙) se ao 
substituímos 𝒙 por 𝒂, temos 𝑷(𝒂) = 𝟎 
Exemplo 1: 
a) Determine a raiz de 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 
b) Determine o valor de 𝑚, sabendo que - 2 é raiz do 
polinômio 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑚𝑥 − 2 
Polinômio nulo 
Polinômio nulo é aquele que todos os coeficientes 
são iguais a zero. 
Exemplo: 
Determine os valores de 𝒎 e 𝒏, sabendo que o 
polinômio 
 𝑷(𝒙) = (𝒎𝟐 − 𝟏𝟔) ⋅ 𝒙𝟐 + (𝒏 − 𝟓)𝒙 é nulo. 
Polinômios idênticos: 
Dado dois polinômios 𝑷(𝒙) e 𝑸(𝒙), dizemos que são 
idênticos (ou iguais) quando os coeficientes 
correspondentes são iguais. 
Exemplo: 
Determine os valores de 𝒂, 𝒃 e 𝒄, sabendo que 
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + (𝒃 − 𝟑)𝒙 + 𝟖 e 
𝑸(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝒄 são polinômios idênticos. 
Operações com polinômios 
Adição e subtração 
Na operação de adição e subtração devemos 
somar/subtrair os coeficientes dos termos 
semelhantes. 
Exemplo: 
Dado os polinômios 𝑷(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖 e 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒, determine: 
a) 𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) 
𝑷(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖 e 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒, determine: 
b) 𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) 
 
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