Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 21

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(1) Para n = 6 , 6! = 6.5.4.3.2.1. = 721 e 63 = 216. O desigualdade é válida para n 
= 6. 
(2) Hipótese: n! > n3 
(3) Provar que (n + 1)! > (n + 1)3  (n + 1)! > n3 + 3n2 + 3n + 1  
 (n + 1).n! > n3 + 3n2 + 3n + 1  n.n! + n! > n3 + 3n2 + 3n + 1 
 
 
Demonstração:- Temos que n.n! > n! . De acordo com a hipótese, n! > n3, pode-se 
concluir que n.n! > n3. 
Assim, devemos ter n.n! + n! > n! + n! > n3 + n3 . Se comprovado que n3 > 3n2 + 
3n + 1, teremos comprovado o indicado no item (3), 
 
Demonstremos então que n3 > 3n2 + 3n + 1. 
A propriedade é válida para n > 6, pois 63 = 216 > 3.62 + 3.6 + 1 = 106 + 18 + 1 
= 125. 
Suponhamos que n3 > 3n2 + 3n + 1 e provemos que (n + 1)3 > 3(n + 1)2 + 3(n 
+1) + 1 
 
(i) (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 e (ii) 3.(n + 1)2 + 3.(n + 1) = 3n2 + 6n + 3 + 3n 
+ 3 = (3n2 + 3n + 1) + 6n + 5. 
Subtraindo, (i) – (ii) resulta 
 
(n + 1)3 – 3.(n+1)2 + 3.(n + 1) = n3 – (6n + 5). (iii) 
 
n3 – (6n + 5) é menor que zero para n > 6 , ou n3 > (6n + 5) (iv), pois 
63 = 216 > 6.6 + 5 = 41. 
Supondo n3 > 6n + 5 provemos que (n+1)3 > 6(n + 1) + 5 = 6n + 11 
Temos que 3n2 > 6 (v) pois, o menor valor de n é 6 e 3.62 = 108 > 6. 
Ora, (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 > n3 + 3n2. De acordo com (iv) e (v), podemos 
concluir que 
(n + 1)3 > n3 + 3n2 > 6n + 5 + 6 = 6n + 11. 
Portanto, (n + 1)3 > 3n2 + 3n + 1. 
Assim, 
(n +1)! = n.n! + n! > n! + n! > n3+ n3 > n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n + 1)3. c.q.d. 
 
 CAPÍTULO 2 – Questões 3 a 5 
3 – Demonstrar por “indução matemática”: 
 
Nota:- o simbolismo 2 | x é usado para indicar que 2 divide x ou x é múltiplo de 2. 
Portanto: 2 | x  x = 2q. Ou seja, existe um inteiro q, tal que 2.q = x. 
 
(a) 2 | (3n – 1),  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) A propriedade é válida para n = 1, pois 3.1 – 1 = 2 e 2 é múltiplo de 2. 
(2) Hipótese: 2 | 3n – 1 ou q, tal que 3n – 1 = 2q, sendo q um inteiro positivo. 
(3) Provar que 2 | 3n + 1 – 1. 
 
Demonstração: