Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 71

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expoentes são pares. 
Seja então ni um fator primo de n cujo expoente não seja par. Neste caso, o fator 
teria expoente da forma 2k + 1. Ora, ni
2k + 1 = ni
2k . ni. ni
2k tem expoente para, 
portanto está de acordo com o que foi dito anteriormente. Para que fosse 
quadrado, ni deveria ter dois fatores primos iguais. Como ni é primo isto não é 
possível. Portanto, todo número é quadrado perfeito, se e somente se, todos os 
expoentes dos fatores primos na decomposição canônica for par. Cqd. 
 
32 – Demonstrar que, se o inteiro n é composto, então 2n – 1 também é composto. 
Solução: Evidentemente se trata de n positivo, pois se n 0 e n composto, n > 3. Teremos então n – 1 > 2  2n – 1 = 2k, k = 
n – 1 > 2 inteiro  k – 2 > 0  (k – 1) > 0 . 
Ora, 2n – 1 = 2k = 2.(2k – 1) que é múltiplo de 2 (não se esqueça que k – 1 > 0)  
2n – 1 é composto. 
 
33 – Demonstrar que, se o inteiro n > 2, então existe um primo p tal que n n + 2 – 2 > n . Portanto, 2.(n – 1) > n 
(1). 
Como n!/[2(n – 1)] = n(n –2)(n – 3).....3 resulta também que n! > 2.(n – 1) (2). 
De (1) e (2) concluímos que n! > 2.(n – 1) > n. 
Ora, para todo n > 3, entre n e 2(n – 1) existe pelo menos um primo, de acordo 
com a proposição de Tschebischeff, concluimos que entre n e n! existe um primo p. 
Para n = 2, temos 2! = 4. Temos o 3 que é primo. 
Portanto, para n > 2, existe p primo, tal que n