Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 80

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(3n)3 = 27n3 = 9(3n3) + 0  0 (mod.9) 
(3n + 1)3 = (3n)3 + 3.(3n)2.1 + 3(3n).12 + 13 = 27n3 + 27n2 + 9n + 1 = 9(3n3 + 
3n2 + n) + 1  1 (mod. 9) 
(3n + 2)3 = (3n)3 + 3.(3n)2.2 + 3(3n).22 + 23 = 27n3 + 54n2 + 36n + 1 = 9(3n3 + 
6n2 + 4n) + 8  8 (mod. 9). 
(c) Se a é um inteiro qualquer, então a3  a (mod. 6). 
Solução:- Qualquer inteiro é de uma das formas: 6k  0 , 6k + 1  1, 6k + 2  2, 
6k + 3  3, 6k + 4  4, 6k + 5  5. 
Elevando ao cubos estas formas temos: 
(6k)3 = 6(6k3)  0  6k (mod. 6) 
(6k + 1)3 = (6k)3 + 3(6k)2 + 3(6k) + 1 = 216k3 + 108k2 + 18k + 1 = 6(36k3 + 
18k2 + 3k) + 1  1  6k + 1 (mod. 6) 
(6k + 2)3 = (6k)3 + 3(6k)2.2 + 3(6k).22 + 23 = 216k3 + 216k2 + 72k + 8 = 6(36k3 
+ 36k2 + 12k + 1) + 2  2  6k + 2 (mod. 6) 
(6k + 3)3 = (6k)3 + 3(6k)2.3 + 3(6k).32 + 9 = 216k3 + 324k2 + 162k + 9 = 6(36k3 
+ 54k2 + 27k + 1) + 3  3  6k + 3 (mod. 6) 
(6k + 4)3 = (6k)3 + 3(6k)2.4 + 3(6k).42 + 27 = 216k3 + 432k2 + 432k + 64 = 
6(36k3 + 72k2 + 72k + 10) + 4  4  6k + 4 (mod. 6) 
(6k + 5)3 = (6k)3 + 3(6k)2.5 + 3(6k).52 + 1 = 216k3 + 540k2 + 450k + 125 = 
6(36k3 + 54k2 + 27k + 20) + 5  5  6k + 5 (mod. 6). 
 
19 – Determinar quais dos seguintes conjuntos são sistemas completos de restos 
módulo 4. 
Solução:- Um conjunto é um sistema completo de restos módulo 4, se os 
elementos desse conjunto forem côngruos com 0, 1, 2 e 3. 
(a) { -2, -1, 0, 1} 
Solução: Considerando o módulo 4, temos 
- 2  2 pois –2 = 4(-1) + 2 
- 1  3 pois –1 = 4(-1) + 3 
Portanto, temos o conjunto equivalente (0, 1, 2, 3}. Assim, o conjunto dado é um 
sistema completo de restos. 
(b) {0, 4, 8, 12} 
Solução: 
4 = 4.1 + 0  0 
8 = 4.2 + 0  0 
12 = 12.3 + 0  0. 
Portanto o conjunto dado é equivalente ao conjunto { 0 }, de onde se conclui que 
não é um conjunto completo de restos. 
(c) { -13, 4, 17, 18 } 
Solução: 
-13 = 4(-4) + 3  3 
 4 = 4( 1) + 0  0 
17 = 4.4 + 1  1 
18 = 4.4 + 2  2 
O conjunto dado é equivalente a {0, 1, 2, 3}. Portanto é um conjunto completo de 
restos módulo 4.