Dimensionamento de Pontes: Estados-Limites

Prévia do material em texto

PONTES E 
GRANDES 
ESTRUTURAS 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Conceituar os estados-limites de serviço em vigas de pontes de concreto 
armado.
 > Identificar os valores máximos relacionados aos estados-limites de serviço 
em vigas de pontes de concreto armado.
 > Demonstrar o cálculo das flechas, da abertura de fissuras e de fadiga em 
vigas de pontes de concreto armado.
Introdução
Para as longarinas das pontes, o dimensionamento da área de aço longitudinal 
e transversal é efetuado para o estado-limite último (ELU), que, se excedido, 
resulta em ruína da estrutura. Existe também o estado-limite último conhecido 
por fadiga, associado a cargas que se repetem, como os carros nas pontes. 
Já os estados-limites de serviço (ELS) estão diretamente ligados ao desempenho 
e à durabilidade das estruturas de concreto. Para as vigas das pontes, dois são 
particularmente importantes: o estado-limite de fissuração e o estado-limite 
de deformações excessivas.
Dimensionamento 
das vigas principais 
de pontes: estado-
-limite de serviço
Igor Ribeiro
Neste capítulo, você vai estudar o ELU de fadiga e os ELS das longarinas 
de pontes em vigas. Além disso, vai ver os principais conceitos, identificar os 
esforços, calcular as flechas e verificar a abertura de fissuras e a fadiga para 
as armaduras das pontes e para o concreto.
Estados-limites de serviço e de fadiga
As estruturas que o engenheiro dimensionará devem atender a certos níveis 
de segurança, definidos com base no nível de confiabilidade normativo, no 
bom desempenho de serviço e na durabilidade.
De acordo com Araújo (2014a), nas condições normais de uso proposto para 
as peças, elas devem funcionar de forma que as deformações estejam em 
um nível que não comprometa a aparência e o uso, nem cause desconforto. 
Uma pequena trinca não afeta a segurança da estrutura em termos de ruína, 
mas pode expor a armadura. Além disso, afeta a aparência e pode gerar 
insegurança nos usuários das pontes.
Além disso, o conceito de durabilidade está intrinsecamente ligado às 
definições de desempenho em serviço. A peça dimensionada deve responder 
ao ambiente em que está submetida dentro do ciclo de vida útil do projeto, 
de modo que não sejam necessários grandes reparos.
Em resumo, os estados-limites de utilização (ou de serviço) correspondem 
aos limites que, se excedidos, prejudicam o conforto, a durabilidade ou a 
utilização da estrutura. A NBR 6118 (ABNT, 2014) prescreve diversos estados 
de serviço para peças usuais de concreto, aplicados a depender do tipo de 
estrutura. Veremos mais a seguir.
Se excedidos, os estados-limites últimos causam a ruína. Por isso, 
os coeficientes para esses estados são maiores e são utilizados, 
primariamente, para o cálculo das seções de aço.
Estado-limite de deformações
Esse estado-limite está relacionado às deflexões verticais, definidas costu-
meiramente por flechas. Para identificar alguns fatores que influenciam esse 
parâmetro, observe a Figura 1.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço2
Figura 1. Deflexão de viga com carga concentrada: (a) carga sobre o apoio; (b) carga se 
deslocando sobre o vão.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 257).
O que acontece conforme uma pessoa anda sobre essa estrutura? A partir 
de uma análise simples, é possível perceber alguns fatores sobre as cargas e 
condições de apoio. Veja a seguir.
 � Quanto mais próximas do centro do vão as cargas forem aplicadas, 
maior será o deslocamento. Conforme nos aproximamos do centro, 
mais a madeira se desloca para abaixo e, no apoio, não há desloca-
mento vertical. Logo, a deflexão máxima será no centro do vão, com 
carga no centro.
 � As condições de vínculo dos apoios da extremidade alterarão o desloca-
mento. Se o apoio permitir a rotação, as deflexões serão maiores para 
um apoio fixado. Ainda na tábua sobre o rio, intuitivamente sabemos que 
se alguém pisar sobre a extremidade, a madeira apresentará menores 
deformações em relação à situação anterior.
 � Quanto maiores forem as cargas aplicadas, maior será o deslocamento. 
Se uma pessoa com massa maior estiver passando sobre a tábua, 
o deslocamento será maior.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 3
Em relação à tábua, se alterarmos a seção transversal (por exemplo, com 
uma tábua mais grossa), mantendo o mesmo tipo de madeira, o seu deslo-
camento será reduzido. Por exemplo, uma madeira de jacarandá terá uma 
resistência diferente da madeira de um pinheiro. Ou seja, há uma relação 
com a resistência de deformação do material.
Concretos com diferentes tipos de agregado terão diferentes módulos 
de deformabilidade longitudinal, conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014).
As flechas nas vigas estão relacionadas às condições de suporte e serão 
diretamente proporcionais ao vão e às cargas e inversamente proporcionais à 
inércia e ao módulo de elasticidade. O produto dessas duas últimas grandezas 
(EI) é conhecido como rigidez.
Para vigas de concreto armado, temos o concreto e a armadura trabalhando 
em conjunto. Então, além da resistência à deformação (representada pelo 
módulo de deformabilidade secante) e da resistência à tração, temos a taxa 
de reforço longitudinal. Observe na Figura 2 o que acontece com a flecha 
no centro do vão (W) conforme a carga aumenta para duas taxas de reforço 
longitudinal distintas. As peças com uma taxa de armadura de ρ = 0,75% eram 
subarmadas, o que indica uma ruptura após o escoamento da armadura. 
É possível notar a rápida alteração em relação à curva com uma maior taxa de 
armadura, na qual o concreto é mais solicitado, o que aponta o proeminente 
papel da fissuração.
Precisamente por conta desse fenômeno, a rigidez não permanece cons-
tante nesse material. Logo, teremos que utilizar uma rigidez equivalente para 
a seção fissurada. O código brasileiro preconiza uma análise aproximada, 
onde são calculadas a flecha imediata e a diferida no tempo. Essa será a 
abordagem aplicada às longarinas das pontes em vigas.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço4
Figura 2. Deflexão de viga com carga concentrada.
Fonte: Araújo (2014b, p. 253).
Os limites para as flechas se encontram na Tabela 13.3 da NBR 6118 
(ABNT, 2014).
Estado-limite de abertura de fissuras
Não é possível projetar uma peça de concreto economicamente viável que 
não fissure. A fissuração é inevitável, em razão da baixa resistência à tração 
do concreto, mas a abertura de trincas não necessariamente implica em ruína 
da estrutura. Entretanto, ela expõe a armadura, reduzindo o desempenho e a 
durabilidade das peças. Por isso, é importante limitar os valores para a largura 
dessas trincas, ou seja, a abertura. Inicialmente, verificamos se o momento ao 
qual a peça está submetida é suficiente para que ocorra alguma fissuração. 
Se essa fissuração ocorrer, seguimos para o cálculo da abertura da fissura.
A abordagem que embasa os cálculos normativos está relacionada à re-
sistência à tração do concreto fissurado. O dimensionamento no estádio II 
(concreto fissurado) despreza qualquer contribuição no concreto. Entretanto, 
por aderência, uma fração do esforço resistido pela barra tracionada é trans-
ferido ao concreto. Relacionando o espaçamento entre as trincas, as defor-
mações sofridas pela barra de aço e o coeficiente relacionado à aderência, 
chegamos à expressão disposta na norma que utilizaremos para calcular a 
abertura de trinca. Como o surgimento das fissuras expõe a armadura à ação 
de agentes agressivos, esse parâmetro é limitado de acordo com a classe de 
agressividade (Quadro 1).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 5
Quadro 1. Limites para abertura de trinca
Tipo de concreto 
estrutural
Classe de agressividade 
ambiental
Exigências relativas 
à fissuração
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há
Concreto armado CAA I wk ≤ 0,4 mm
CAA II e III wk ≤ 0,3 mm
CAA IV wk ≤ 0,2 mm
Concreto protendido 
nível 1 (protensão 
limitada)Pré-tração com CAAI ou 
pós-tração com CAA I e II wk =70
Coefi-
ciente 
ξ(t)
0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
Fonte: Adaptado de ABNT (2014).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 9
Uma vez calculado αf, o valor de flecha obtido utilizando a rigidez equi-
valente deverá ser multiplicado por (1 + αf), resultando no valor da flecha 
diferida para o tempo desejado.
Por fim, no que diz respeito às cargas que devem ser utilizadas, deve-se 
utilizar uma combinação quase-frequente, dada pela Equação (6):
, = ∑ ∑, + 2 , (6)
onde Fgi,k é o esforço característico — que, para fins práticos, implica no es-
forço sem ser multiplicado pelos coeficientes de ponderação — de uma carga 
permanente i e Fqj,k tem o mesmo significado, mas aplicado às cargas variáveis.
Além disso, a NBR 8681 (ABNT, 2003) indica que, para pontes rodoviárias, 
ψ2 = 0,3 para cargas móveis. Então, para obter o carregamento utilizado 
para o cálculo da flecha, basta tomar o máximo valor obtido para as cargas 
permanentes e somar ao máximo valor obtido para as cargas variáveis mul-
tiplicado por esse fator.
Estado-limites de serviço de abertura de fissura
Para começar a verificação desse estágio, é necessário saber se houve alguma 
trinca aberta, para que sua abertura seja calculada. Os esforços que agem 
sobre essa seção devem ser obtidos por meio de uma combinação frequente, 
ou seja:
, = ∑ ∑, + 1 , + 2 , (7)
Como para as vigas das pontes rodoviárias que estamos calculando temos 
apenas as cargas móveis como acidentais, teremos:
, = ∑ , + 1 , (8)
De acordo com a NBR 8681 (ABNT, 2003), ψ1 = 0, para pontes rodoviárias. 
Calculado o esforço de combinação frequente, deve-se calcular a resistência 
da seção. Para isso, basta calcular o momento de fissuração por meio da 
Equação (9):
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço10
= (9)
onde α é o fator que relaciona a resistência à tração na flexão e a tração 
direta, logo é função da seção transversal que a peça em análise apresenta. 
Os valores mais utilizados no cálculo de pontes são α = 1,2 para seções T e 
α = 1,5 para seções retangulares. A grandeza yt é a distância do centro de 
gravidade da seção até a fibra mais tracionada. Ic, por sua vez, é o momento 
de inércia referente à seção inteira, sem descontar as armaduras, ou seja, 
é a seção bruta. Por fim, fct é a resistênciaà tração direta do concreto, dada 
pela Equação (10):
= 0,3( )
2
3 (10)
Para concretos com valores de resistência superiores a 50 MPa, 
emprega-se:
fct = 1,484ln(1 + 0,11fck)
Note que as variáveis são calculadas em termos do concreto simples. 
A inércia e a resistência à tração direta são exemplos, pois a primeira trinca, 
que caracteriza o fim do estádio I, é no concreto. Supondo que a sua seção 
em análise teve um valor superior a essa resistência, temos um concreto fis-
surado. Assim, partimos para a verificação dessa abertura, ou seja, checamos 
se os cálculos para essa variável satisfazem aos limites normativos. A largura, 
ou a abertura de trinca, é calculada pelo menor valor das Equações (11) e (12):
1 =
12,5 
· ·
3
 (11)
2 =
12,5 
· ·[ ]4
+ 45 (12)
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 11
Ou seja:
≤
⎩
⎨
⎧ 1 = 12,5 · ·
3
2 = 12,5 · ·[ ]4
+ 45 ⎭
⎬
⎫
 
Em w1, temos:
 � ϕi = diâmetro da barra em análise;
 � ηi = coeficiente de conformação superficial relacionado à aderência da 
barra, com valor de 1,0 para barras lisas CA-25, 1,4 para barras dentadas 
CA-60 e 2,25 para barras nervuradas CA-50;
 � σSi = tensão de tração obtida pela combinação frequente a qual a ar-
madura tracionada está submetida;
 � ESi = módulo de elasticidade do aço, usualmente no valor Esi = 210000 
Mpa;
 � fctm = resistência à tração média do concreto.
Em w2, temos ρri, a taxa geométrica da armadura, exposta na Equação (13):
= (13)
onde Asi é a área da seção transversal de aço da barra em análise e Acri é a área 
que encobre a armadura sujeita à tensão. A Figura 3 apresenta as dimensões 
mínimas para esse parâmetro.
Figura 3. Parâmetros para o cálculo de Acri.
Fonte: Marchetti (2018, p. 98).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço12
A região considerada dista 7,5 ϕ do centro da barra, e devem ser obedecidos 
os espaçamentos e cobrimentos designados no projeto para a peça. Calcu-
lados todos os parâmetros, deve-se comparar aos valores limites expostos 
no Quadro 1, para certificar a aprovação da estrutura.
Os valores determinados por meio das equações preconizadas não 
devem ser entendidos como valores para trincas específicas na peça, 
mas sim como uma representação do comportamento geral.
Estado-limite último de fadiga
A fadiga depende essencialmente do número de ciclos, da amplitude da 
tensão de cada repetição e das propriedades geométricas e mecânicas do 
material submetido. Inicialmente, a combinação a ser utilizada para o cálculo 
também é a frequente, ou seja, a Equação (7), com uma alteração: como temos 
um estado ELU, o valor prescrito é ψ1 = 0,5 para as longarinas, ψ1 = 0,7 para 
as transversinas e ψ1 = 0,8 para as lajes.
Agora que você já sabe como combinar as cargas permanentes e móveis, 
veremos quais são os parâmetros para o cálculo de fadiga. Devemos, inicial-
mente, fazer a separação entre as fórmulas aplicáveis ao concreto comprimido, 
tracionado e aço. Para o concreto, a verificação de fadiga decorrente das forças 
cortantes parte do pressuposto da redução da contribuição do concreto ao 
cisalhamento (Vc) em 50% para 107 ciclos.
A verificação para o concreto em compressão é satisfeita se:
ncγfσc,max ≤ fcd,fad (14)
onde:
fcd,fad = 0,45fcd (15)
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 13
e:
=
1
1,5 − 0,5 ( )| |1
2
(16)
A variável nc é um fator que leva em conta o gradiente das tensões atu-
antes na compressão. γf é o coeficiente de ponderação, igual a 1 para essa 
verificação. σc,max é a máxima tensão atuante obtida a partir da combinação 
frequente. fcd,fad é a resistência limite à compressão com fadiga. fcd é a resis-
tência à compressão de cálculo do concreto. σc1
 é a menor tensão em módulo 
atuante a uma distância inferior a 300 mm da fibra mais comprimida. σc2
 é a 
maior tensão em módulo atuante a uma distância inferior a 300 mm da fibra 
mais comprimida. Observe, na Figura 4, esses valores representados.
Figura 4. Tensões para verificação de resistência limite de fadiga no concreto comprimido.
Fonte: ABNT (2014, p. 196).
Para o concreto tracionado, a seguinte condição deve ser satisfeita:
γfσct,max ≤ fctd,fad (17)
onde:
fctd,fad = 0,3fctd,inf (18)
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço14
onde:
 � σct,max é a máxima tensão de tração no concreto obtida a partir da 
combinação frequente;
 � fctd,fad é o limite de resistência do concreto tracionado à fadiga;
 � fctd,inf é a resistência inferior de projeto do concreto tracionado.
Para concretos com fck até 50 Mpa:
, = 0,15 · ( )
2
3 (19)
De 50 a 90 Mpa:
fctd,inf = 1,06ln (1 + 0,11fck) (20)
Por fim, para as armaduras, o processo de verificação será considerado 
como satisfatório se for verificado que:
∆σs = σmax,serv – σmin,serv ≤ ∆fsd,fad,min (21)
onde σmax,serv é a tensão máxima na armadura de aço para a combinação 
frequente e σmin,serv é o valor mínimo da armadura de aço para a combinação 
frequente. ∆fsd,fad,min é o valor da resistência à fadiga para o número de ciclos 
preconizado, que é função do tipo de aço, do tipo de armadura (passiva ou 
ativa), da utilização, de concentradores de tensão, como dobras e soldas, ou 
do diâmetro.
Na NBR 6118 (ABNT, 2014), na seção 23.5.5, é possível encontrar 
a tabela que sintetiza os valores discutidos para fácil aplicação. 
A tabela também pode ser encontrada na página 124 do livro Pontes em concreto 
armado, 2ª edição, de Marchetti (2018).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 15
Verificações
Como já vimos os conceitos associados, as formulações e os critérios normati-
vos, vamos juntar tudo em um exemplo. Todas as verificações serão feitas para 
uma mesma estrutura, retirada de Marchetti (2018). Tomaremos a ponte com 
a distribuição de carregamentos para um vão de 14 m (Figura 5a). A Figura 5b 
mostra a seção transversal. Consideraremos a ponte como rodoviária.
Figura 5. (a) Distribuição de carregamentos. (b) Seção transversal de cálculo.
Fonte: Marchetti (2018, p. 100).
a
b
Considere os dados a seguir.
 � Concreto com fck = 30 MPa e aço CA-50.
 � Carga permanente: gk = 3,88 kN/m.
 � Carga acidental: qk = 3,06 kN/m.
 � Momento devido às cargas permanentes: 95 kNm.
 � Carga acidental: 75 kNm.
 � Área de aço longitudinal: As = 7,37 cm2 → 4ϕ16 mm.
 � As cargas foram aplicadas para um tempo t0 = 1 mês.
 � O período para o cálculo de flecha diferida será de 10 anos.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço16
Estado-limite de serviço de deformações
Inicialmente, deve-se calcular o momento solicitante para a combinação 
quase-frequente, de acordo com a Equação (6):
, = = ∑ ∑, + 2 , = 95 + 0,3 × 75 
= 117,5 kNm 
Faça as combinações adequadas a cada verificação.
Devemos calcular a inércia do estado não fissurado (Ic). Para isso, devemos 
saber onde se encontra o eixo neutro. Para uma seção T da mecânica estática, 
temos que a linha neutra (yt,inf) será dada por:
, =
⋅
ℎ2
2
+ ( − ) ⋅ ℎ ⋅ (
(
)
)
ℎ −
ℎ
2
⋅ ℎ + ( − ) ⋅ ℎ
 
, =
20 ×
642
2
+ (180 − 20) × 10 × 64 −
10
2
20 × 64 + (180 − 20) × 10
= 47 cm 
É possível calcular a inércia para essa seção por meio da expressão:
= ( − ) ⋅ ℎ ⋅ ( () )ℎ −
ℎ
2
− inf
2
+ ⋅ ℎ
ℎ
2
− inf
2
+
⋅ ℎ3
12
+ ( − ) ⋅
ℎ3
12
 
= 968.640 cm4 
= (180 − 20) × 10 × 64 −
10
2
− 47
2
+ 20 × 64 ×
64
2
− 47
2
+
20 × 643
12
+
(180 − 20) × 103
12
 ( () )
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 17
A resistência a tração do concreto deve ser calculada por meio da Equação 
(10):
= 0,3 × (30)
2
3 = 2,896 MPa 
Em seguida, deve-se calcular o momento de fissuração por meio da Equa-
ção (9):
= =
1,2 × 0,289 × 968640
47
= 7163,32 kNcm ou 71,63 kNm 
Como Ma > Mr, a seção estará fissurada.
Para proceder o cálculo no estádio II, usualmente tomamos uma seção 
transversal em que a área de aço é substituída por meio de uma equivalente 
de concreto,dada por:
, = → = 
Para um concreto de 30 Mpa, temos:
= 0,85 0 = 0,85 · 5600√30 = 26.071,59 MPa 
Logo, temos:
= =
210.000
26.071,59
= 8,05 
Em seguida, deve-se saber onde a linha neutra dessa seção fissurada se 
encontra. Assim, vamos determinar se o comportamento será como seção 
T, o que ocorre quando a nervura também está comprimida. Isso é descrito 
matematicamente como x ≥ hf. Isso implica que a distância da fibra comprimida 
até a linha neutra (x) é maior que a largura da mesa (hf). Como a armadura 
longitudinal está em apenas uma cama, a distância do centróide da armadura 
tracionada até a fibra comprimida (d0) será igual à altura útil (d = 60 cm).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço18
Em seguida, é necessário calcular o parâmetro A, que relaciona a área de 
concreto equivalente Ac com a largura da mesa comprimida.
= = 8,05 ·
7,37
180
= 0,3296 
Finalmente, deve-se encontrar a posição da linha neutra (x) por meio da 
expressão:
= ( () )−1 + 1 +
2
= 0,3296 −1 + 1 +
2 × 60
0,3296
= 5,97cm 
Como x ℎ,min
 
Aplicando os conceitos da Figura 3 à seção transversal da Figura 5b, a área 
crítica para as barras externas pode ser calculada pela expressão a seguir:
Acri,ext = lado horizontal · lado vertical
Observe, na Figura 6, que eh/2 aparece em vermelho e c, em azul. O estribo 
é representado pela própria linha que limita a seção, e a barra aparece como 
ϕi. Logo:
Lado horizontal = ( )+ + +
ℎ
2
 
Para o outro lado, temos, a partir da parte de fora, o diâmetro do estribo, 
o cobrimento (em amarelo) e 0,5ϕi somado à dimensão (estabelecida por 
norma) de 7,5ϕi, totalizando 8,0ϕi, em roxo. Com isso, temos:
Lado vertical = c + ϕt + 8ϕl
Figura 6. Dimensões para o cálculo da área crítica.
Fonte: Adaptada de Marchetti (2018).
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço22
Portanto, a área de envolvimento das barras externas é calculada por:
, = ( () )+ + +
ℎ
2
( + + 8 ) = 3 + 0,5 + 1,6 +
2,2
2
(3 + 0,5 + 8 · 1,6) 
, = 101,06 cm2 
Para a área crítica das barras internas, temos a mesma dimensão da área 
de envolvimento na vertical. No entanto, para as barras internas, temos a 
dimensão horizontal dada por eh/2 de cada lado da barra, somada ao diâmetro 
ϕl. Logo:
Acri,int = (eh + ϕl)(c + ϕt + 8ϕl) = (2,2 + 1,6)(3 + 0,5 + 8 · 1,6) = 61,94 cm2
Para a taxa de armadura geométrica da área de envolvimento, a partir da 
menor área, aplicamos a Equação (13):
=
,
=
2,01
61,94
= 0,03245 
Seguimos para a tensão máxima de compressão do concreto fissurado 
(estádio II). Da resistência dos materiais, temos que, para um material em 
flexão, é possível utilizar a seguinte expressão:
= 
Como todos os parâmetros já foram calculados, basta substituir:
=
13250
185.960,75
· 5,97 = 0,4254 kN/cm2 
Vejamos agora a tensão máxima de tração da armadura para o estádio 
II. Utilizando a relação de equivalência entre os módulos de elasticidade 
(αe = 8,05), chegamos ao valor da tensão na armadura tracionada para o 
concreto fissurado:
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 23
= ·
−
= 8,05 · 0,4254 ·
60 − 5,97
5,97
= 30,99 kN/cm2 
Depois de calculados todos os demais parâmetros, podemos computar 
as Equações (11) e (12):
1 =
12,5 
· ·
3
=
1,6
12,5 · 2,25
·
30,99
21000
·
3 · 30,99
0,2896
 
1 = 0,0269 cm → 0,269 mm 
2 =
12,5 
· ·[ [] ]4
+ 45 =
16
12,5 · 2,25
·
30,99
21000
·
4
0,03245
+ 45
2 = 0,1413 mm 
Como temos que adotar a menor expressão:
≤ { }1 = 0,269 mm
2 = 0,1413 mm = 0,1413 mm 
De acordo com o Quadro 1, para uma classe de agressividade II, temos 
uma abertura de trinca limite wk = 0,3 mm > w = 0,1413 mm. Portanto, a peça 
teve desempenho satisfatório na verificação de ELS para abertura de fissura.
Estado-limite último de fadiga
Devemos verificar o concreto comprimido, o concreto tracionado e as arma-
duras de cisalhamento e flexão.
Para fazer a verificação do concreto comprimido à fadiga, inicialmente, 
teremos que calcular a Equação (16):
=
1
1,5 − 0,5 ( )| |1
2
 
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço24
σc2
 é a compressão máxima em até 30 cm da fibra mais comprimida, que 
será dada por:
= 
Como estamos calculando a mesma seção, esse valor calculado será 
o mesmo para o ELS anterior, que também foi calculado com combinação 
frequente. Portanto:
σc2 = 0,4254 kN/cm2
Para o cálculo de σc1
, observe a Figura 7.
Figura 7. Tensões para verificação de resistência limite de fadiga no concreto comprimido.
Fonte: Adaptada de ABNT (2014).
x = 5,97 cm
Linha neutra
σc
2
Mesa
Armadura
de tração
Como para a distância de 30 cm a seção em análise já estará tracionada, 
a menor resistência à compressão será tomada como zero.
=
1
1,5 − 0,5 )(||0
0,4254
=
1
1,5
= 0,66 
A Equação (15) estabelece o limite de fadiga por meio da expressão:
, = 0,45 = 0,45 ·
1,4
= 0,45 ·
30
1,4
= 9,643 MPa 
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 25
Finalmente, aplicaremos a Equação (14) para verificar o concreto 
comprimido:
ncγfσc,max ≤ fcd,fad → 0,66 · 1 · 4,254 = 2,81 Mpa ≤ fcd,fad = 9,643 MPa
Portanto, o concreto comprimido satisfaz o estado-limite último de fadiga. 
Para o concreto tracionado, a seguinte condição deve ser satisfeita:
γf σct,max ≤ fctd,fad
onde:
fctd,fad = 0,3fctd,inf
Para concretos com fck até 50 MPa, utilizamos a expressão:
, = 0,15 · ( )
2
3 = 1,448 MPa 
Observe que, como σct,max = 4,25 MPa, essa verificação não é satisfeita pela 
peça. As opções para solucionar isso são inúmeras. Na Figura 7, poderíamos 
utilizar uma seção maior, para que a linha neutra se colocasse um pouco mais 
abaixo, levando a uma melhor distribuição de tensões na seção. Também 
poderíamos aumentar a resistência do concreto, o tipo de agregado (relacio-
nado ao módulo de elasticidade) ou o vínculo nos apoios. Contudo, quando o 
concreto excede esse limite, ele trincará. Como ele é reforçado pela armadura 
de aço longitudinal, isso não constitui um problema real.
Para verificação da fadiga do aço, deve-se calcular a amplitude de tensões 
na armadura tracionada. Deve-se calcular a máxima tensão por meio da 
expressão já apresentada, com ae = 10 para fadiga:
= ·
−
= 10 · 0,4254 ·
60 − 5,97
5,97
= 38,50 kN/cm2 
Para a mínima tensão, podemos tomar a condição em que apenas as cargas 
permanentes atuam. Logo, para essa condição, o concreto estará sujeito a 
uma tensão de:
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço26
,min = =
9500
185.960,75
· 5,97 = 0,305 kN/cm2 
,min = ,min ·
−
= 10 · 0,305 ·
60 − 5,97
5,97
= 27,60 kN/cm2 
Portanto, a verificação da fadiga pode ser feita por meio da Expressão (21):
∆ = max , − min , = 38,50 − 27,60 =10,9
kN
cm2
→ 109 MPa 
De acordo com a seção 23.5.5 da NBR 6118 (ABNT, 2014), temos que, para as 
barras longitudinais de ϕ = 16 mm, ∆fsd,fad,min = 105 MPa, então será necessário 
aumentar a área de aço. Isso pode ser feito por meio da aplicação de um 
coeficiente k = ∆σs/∆fsd,fad,min = 1,038. Logo:
As = 7,37 · 1,038 = 7,65 cm2
Note que isso geraria alterações nas formulações anteriores que depen-
dem da área de aço. Por isso, em vias práticas, primeiramente efetuamos a 
verificação de fadiga para as armaduras.
Para armaduras transversais, devemos repetir o processo já efetuado, com 
a diferença de calcular a partir das formulações da NBR 6118 (ABNT, 2014) para 
esforços cortantes, que considera a contribuição do concreto.
Referências
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Dunas: Rio Grande, 2014a. v. 1. 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Dunas: Rio Grande, 2014b. v. 2.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118: projeto de estruturas 
de concreto armado. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 8681: ações e segurança 
nas estruturas - procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2003.
CALLISTER JUNIOR, W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e engenharia de materiais: uma 
introdução. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2021.
LEET, K. M.; UANG, C.-M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São 
Paulo: AMGH, 2010.
MARCHETTI, O. Pontes de concreto armado. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2018.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço 27
PRADO, P. B. B. Redução de vida útil a fadiga em pontes de concreto armado. 2020. 141 
p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) — Universidade Estadual de Campinas, 
Campinas, SP, 2020. Disponível em: http://repositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/
REPOSIP/343999/1/Prado_PauloBrunoBevilaqua_M.pdf. Acesso em: 27 maio 2021.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os edito-
res declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Dimensionamento das vigas principais de pontes: estado-limite de serviço28