jtf losango

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a) \(\frac{1}{10}\) 
 b) \(\frac{1}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{8}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{10}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\int_0^1 (x^3 - x^5) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 
\frac{x^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}\). 
 
24. **Problema 24**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 + x + 1}\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 0 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x^2\) no denominador, 
resultando em \(\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} + 
\frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}\). 
 
25. **Problema 25**: Calcule a integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 a) 1 
 b) \(\ln(e)\) 
 c) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 d) 0 
 **Resposta**: c) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
26. **Problema 26**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{4}{15}\) 
 c) \(\frac{8}{15}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{4}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(x = \sin(t)\), a integral se transforma em 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(t) \, dt\). O resultado é \(\frac{4}{15}\). 
 
27. **Problema 27**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^3 \ln(x)\). 
 a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 b) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) 
 c) \(x^2 \ln(x)\) 
 d) \(3x^2 \ln(x) - x^2\) 
 **Resposta**: a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, \(f'(x) = (x^3)' \ln(x) + x^3 (\ln(x))' = 3x^2 \ln(x) 
+ x^2\). 
 
28. **Problema 28**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -2 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 2\), resultando em 2. 
 
29. **Problema 29**: Determine o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx\). 
 a) \(\ln(1 + \sqrt{2})\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\ln(2)\) 
 d) \(\ln(1 + \sqrt{3})\) 
 **Resposta**: a) \(\ln(1 + \sqrt{2})\) 
 **Explicação**: A integral de \(\tan(x)\) é \(-\ln|\cos(x)|\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{4}\), 
temos \(-\ln(\cos(\frac{\pi}{4})) + \ln(1) = -\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(1 + \sqrt{2})\). 
 
30. **Problema 30**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{6}\) 
 b) \(\frac{4}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{4}{5}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2 + 1\), obtemos \(\int (u^{\frac{3}{2}}) 
\frac{du}{2\sqrt{u - 1}}\). Avaliando, obtemos \(\frac{4}{5}\). 
 
31. **Problema 31**: Calcule o valor de \(\int_0^1 x^2 e^{-x^3} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}(1 - e^{-1})\) 
 b) \(\frac{1}{2}(1 - e^{-1})\) 
 c) \(\frac{1}{6}(1 - e^{-1})\) 
 d) \(\frac{1}{4}(1 - e^{-1})\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{1}{6}(1 - e^{-1})\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = x^3\), \(du = 3x^2 dx\). A integral se 
transforma em \(\frac{1}{3} \int_0^1 e^{-u} du\), resultando em \(\frac{1}{6}(1 - e^{-1})\). 
 
32. **Problema 32**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 0 
 d) \(-2\) 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador. 
O resultado é 2. 
 
33. **Problema 33**: Calcule a integral \(\int_0^1 \sqrt{x} (1 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{6}\)