Operações Matriciais e Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas Lineares
Exemplo
Uma transportadora possui cinco tipos de caminhões equipados para transportar cinco tipos diferentes de máquinas. A tabela a seguir informa a quantidade de máquinas que cada caminhão pode transportar levando carga plena. 
 
 
 Quantos caminhões de cada tipo devem ser enviados para transportar a necessidade? 
Conceitos Fundamentais
Conceitos Fundamentais
 Matriz quadrada: número de linhas n é igual a número de colunas m. 
 Matriz quadrada de ordem m.
Formas de Matrizes
Operações Matriciais
1 (1) + 2 (2) = 5
3 (1) + 4 (2) = 11
5 (1) + 6 (2) = 17 
Sistemas de equações lineares
Ax = b, onde
A é chamada matriz dos coeficientes
x é o vetor solução
b é o vetor de termos independentes
Sistema triangular inferior
Apresenta a forma
Solução via substituições sucessivas.
Sistema triangular superior
Apresenta a forma:
Solução via substituições retroativas
Exercícios
Calcule a solução do sistema (Pag. 121, ex 2.6)
Exercícios
Calcule a solução do sistema (Pag. 121, ex 2.8)
Sistemas equivalentes
Dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo vetor solução.
Operações l-elementares
Um sistema de equações lineares pode ser transformado em um outro sistema equivalente utilizando as três operações l-elementares (operações de linha)
Operações l-elementares
Método de eliminação de Gauss com pivotação parcial
Exatidão da solução
Vetor resíduo
r = b – Ax
Se r = 0, então a solução é exata
Método de eliminação de Gauss com pivotação parcial
Vantagens:
Evita pivô nulo, quando o sistema admite uma única solução.
Valor dos multiplicadores: -1 ≤ mij ≤ 1 
não amplia erros de arredondamento
Exercício 1
Um engenheiro supervisiona a produção de três tipos de componentes elétricos. Três tipos de materiais (metal, plástico e borracha) são necessários para a produção. 
As quantidades necessárias para a produção de cada componente são:
Se um total de 3,89 kg, 0,095 kg e 0,282 kg de metal, plástico e borracha, respectivamente, estiver disponível a cada dia, quantos componentes poderão ser produzidos?
Exercício 2
A análise dos alimentos, I, II e III revelou que os mesmos possuem as seguintes unidades de vitaminas A, B e C por grama:
 
Se uma pessoa precisa ingerir 2684 unidades de vitamina A, 2793,22 unidades de vitamina B e 2402,74 unidades de vitaminas C, quais as quantidades dos alimentos I, II e III que suprirão estas necessidades? 
Exercício 3
 Uma construtora irá construir casas de madeira, alvenaria e mista em uma propriedade. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa é:
 
 
 
 Tendo-se 9600 tábuas, 510000 tijolos e 610000 telhas, quantas casas de cada tipo (madeira, alvenaria e mista) poderão ser construídas? 
Tábuas
Tijolos
Telhas
Madeira
40
1000
2000
Alvenaria
30
3000
1000
Mista
20
1000
3000
Referências
CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira. Algoritmos numéricos. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. xiv, 428p.
http://docplayer.com.br/4299814-Metodos-numericos-exercicios-resolvidos-aplicados-a-engenharia-e-outras-ciencias.html