Vamos calcular a integral dupla da função \( f(x,y) = e^x + y^2 \) na região retangular \( R = [0,1] \times [0,2] \): \[ \iint_R (e^x + y^2) \, dy \, dx = \int_0^1 \int_0^2 (e^x + y^2) \, dy \, dx \] Passo 1: Calcular a integral interna em relação a \( y \): \[ \int_0^2 (e^x + y^2) \, dy = \int_0^2 e^x \, dy + \int_0^2 y^2 \, dy = e^x \cdot (2 - 0) + \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^2 = 2 e^x + \frac{8}{3} \] Passo 2: Calcular a integral externa em relação a \( x \): \[ \int_0^1 \left( 2 e^x + \frac{8}{3} \right) dx = 2 \int_0^1 e^x dx + \frac{8}{3} \int_0^1 dx = 2 [e^x]_0^1 + \frac{8}{3} [x]_0^1 = 2 (e - 1) + \frac{8}{3} \] Passo 3: Simplificar o resultado: \[ 2 (e - 1) + \frac{8}{3} = 2e - 2 + \frac{8}{3} = 2e + \left( -2 + \frac{8}{3} \right) = 2e + \frac{2}{3} \] Portanto, o valor da integral é: \[ \boxed{2e + \frac{2}{3}} \] Assim, a alternativa correta é aquela que apresenta o valor \( 2e + \frac{2}{3} \).