exercicios com plural BFN

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**Resposta**: a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da potência: \(f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
31. **Problema 31**: Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2}{2x^4 - x + 1}\). 
 a) \(\frac{5}{2}\) 
 b) \(\frac{3}{2}\) 
 c) \(\frac{5}{3}\) 
 d) 0 
 **Resposta**: a) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos por \(x^4\), obtemos \(\frac{5 + 
\frac{3}{x^2}}{2 - \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4}}\). Quando \(x\) tende ao infinito, os termos 
com \(x\) no denominador tendem a 0, resultando em \(\frac{5}{2}\). 
 
32. **Problema 32**: Determine a integral: \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Resposta**: d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{12}\). 
 
33. **Problema 33**: Calcule a integral: \(\int \cos^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} x + C\) 
 c) \(\sin(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \sin(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). A integral se 
torna \(\frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx\). 
 
34. **Problema 34**: Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{3x}{x^3 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
35. **Problema 35**: Calcule a integral: \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 a) 1 
 b) \(\ln(e)\) 
 c) \(\ln(1)\) 
 d) 0 
 **Resposta**: a) 1 
 **Explicação**: A antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
36. **Problema 36**: Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 1/2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 1/2 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital duas vezes. Derivando o numerador e o 
denominador, obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x} = \frac{1}{0} = \infty\), e na segunda 
derivada, o resultado é \(\frac{1}{2}\). 
 
37. **Problema 37**: Determine a integral: \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = \frac{1}{2}\). 
 
38. **Problema 38**: Calcule a integral: \(\int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12}\). 
 
39. **Problema 39**: Determine a derivada de \(f(x) = \cos(x^2)\). 
 a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 b) \(-\sin(x^2)\) 
 c) \(2x \cos(x^2)\) 
 d) \(-2x \cos(x^2)\) 
 **Resposta**: a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x\). 
 
40. **Problema 40**: Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) -1 
 **Resposta**: b) 
Claro! Aqui estão 100 problemas de probabilidade em múltipla escolha, com explicações 
detalhadas. 
 
**1.** Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Se uma bola é retirada 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela seja azul? 
A) 1/5