Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] 3. Integral de \(x\): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right] \] Agora, precisamos somar essas frações. Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é \(12\): \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \] Somando: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \frac{17}{12}\). Como essa alternativa não está entre as opções, vamos revisar as opções dadas: a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{5}{12}\) Parece que houve um erro na soma ou nas opções. A resposta correta, com base no cálculo, é \(\frac{17}{12}\), que não está listada. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da questão.