Exercicios Integral de Linha (9)

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Cálculo 3A Lista 8 123
Temos que C1 : y = 3x, com 0 ≤ x ≤ 1, orientada de (0, 0) a (1, 3). Então uma parametrização de
C1 é dada por C1 : γ(t) = (t, 3t), com 0 ≤ t ≤ 1 donde γ′(t) = (1, 3). Logo, sendo
−→
F (x, y) = (0, x):
∫
C1
x dy =
∫ 1
0
−→
F (γ(t)) · γ′(t) dt =
∫ 1
0
(0, t) · (1, 3) dt =
=
∫ 1
0
3t dt =
[
3t2
2
]1
0
=
3
2
.
Cálculo de
∫
C2
x dy =
∫
C2
0 dx+ x dy
Temos que C2 : y
2 = 9x, com 0 ≤ y ≤ 3, orientada de (1, 3) a (0, 0). Então uma parametrização de
C−
2 orientada de (0, 0) para (1, 3) é dada por C−
2 : γ(t) =
=
(
t2
9
, t
)
, com 0 ≤ t ≤ 3 donde γ′(t) =
(
2t
9
, 1
)
. Então:
∫
C2
x dy = −
∫
C−
2
x dy = −
∫ 3
0
−→
F (γ(t)) · γ′(t) dt
onde
−→
F (x, y) = (0, x). Logo:
∫
C2
x dy = −
∫ 3
0
(
0,
t2
9
)
·
(
2t
9
, 1
)
dt = −
∫ 3
0
t2
9
dt = −
[
t3
27
]3
0
= −1 .
Assim:
A(D) =
3
2
− 1 =
1
2
u.a.
Exerćıcio 9: Se D é a região interior à elipse
x2
25
+
y2
9
= 1 e exterior à circunferência x2 + y2 = 4,
calcule a integral de linha
I =
∫
C
(
2xy + ex
2
)
dx+
(
x2 + 2x+ cos y2
)
dy
onde C = ∂D está orientada positivamente.
Solução: O esboço de D está representado na figura que se segue.
Como
−→
F = (P,Q) =
(
2xy + ex
2
, x2 + 2x + cos y2
)
é um campo de classe C1 em R
2 e ∂D está
orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Green. Tem-se
∂Q
∂x
= 2x+ 2
∂P
∂y
= 2x
UFF IME - GMA