Aplicações de Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

Instituto de F́ısica - DFT
F́ısica Matemática III
Prof. Marcelo Chiapparini
Lista 6 - Aplicações
1. Mostre que a solução da equação diferencial
d2f
dx2
+ xf = 1, f(0) = f ′(0) = 0,
satisfaz a equação de Volterra não homogênea
f(x) =
1
2π2
+
∫
x
0
t(t− 1)f(t)dt.
2. Se Lu = u′′ + ω2u, mostre que L é formalmente autoadjunto e que o concomitante é
J(u, v) = vu′ − uv′. Mais, se u é uma solução de Lu = 0 e v é uma solução de L∗v = 0,
então o concomitante de u e v é uma constante.
3. Considere o operador diferencial
L = exD2 + exD, D =
d
dx
, 0 ≤ x ≤ 1,
u′(0) = 0, u(1) = 0.
Mostre que L é formalmente autoadjunto
4. Encontre os autovalores e as autofunções do seguinte sistema de Sturm-Liouville:
u′′ + λu = 0, 0 ≤ x ≤ π,
u(0) = u′(π) = 0.
5. Transforme a equação de Euler
x2u′′ + xu′ + λu = 0, 1 ≤ x ≤ e,
com as condições de contorno
u(1) = u(e) = 0
no sistema de Sturm-Liouville
d
dx
[
x
du
dx
]
+
1
x
λu = 0,
u(1) = u(e) = 0.
Encontre os autovalores e as autofunções.
1
6. Use a transformada de Fourier para resolver o oscilador linear forçado
ẍ+ ω2x = a sinΩt, t > 0, ω 6= Ω, x(0+) = 0 = ẋ(0+).
Examine o caso quando ω = Ω.
7. Seja o circuito elétrico governado pela equação
L
dI
dt
+RI = E(t),
onde L é a indutância, R é a resistência, e E(t) é a força eletromotriz aplicada. Se
agora acrescentamos um capacitor, então a corrente I(t) satisfaz a seguinte equação
integro-diferencial:
L
dI
dt
+RI +
1
C
[
q0 +
∫
t
0
I(t′)dt′
]
= E(t),
onde q0 é a carga inicial do capacitor, de forma tal que
q = q0 +
∫
t
0
I(t′)dt′
é a carga e dq/dt = I.
Resolva este problema usando a transformada de Fourier e as seguintes condições
I = q = E = 0 para t 0, y(0+) = y0 e y′(0+) = y00.
9. Use a transformada de Fourier para resolver o seguinte sistema de equações diferenciais
acopladas para t > 0:
x′ + y′ − x+ 3y = e−t,
x′ + y′ + 2x+ y = e−2t,
x(0+) = x0 e y(0+) = y0.
2