3VI exercicios e etc

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c) \( 5(\cos(-\frac{4}{5}) + i\sin(\frac{4}{5})) \) 
 d) \( 5(\cos(\frac{4}{5}) + i\sin(\frac{4}{5})) \) 
 **Resposta:** c) \( 5(\cos(-\frac{4}{5}) + i\sin(\frac{4}{5})) \) 
 **Explicação:** Para encontrar a forma polar, calculamos o módulo \( r = \sqrt{3^2 + (-
4)^2} = 5 \) e o argumento \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{3}\right) \), que está no quarto 
quadrante. Assim, temos \( z = 5(\cos(-\frac{4}{5}) + i\sin(-\frac{4}{5})) \). 
 
7. **Resolva a equação \( z^2 + 1 = 0 \).** 
 a) \( i, -i \) 
 b) \( 1, -1 \) 
 c) \( 0, 0 \) 
 d) \( 2i, -2i \) 
 **Resposta:** a) \( i, -i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^2 + 1 = 0 \) pode ser reescrita como \( z^2 = -1 \). As 
soluções são \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
8. **Qual é a equação resultante ao multiplicar \( (z - 1)(z + 2) = 0 \)?** 
 a) \( z^2 + z - 2 = 0 \) 
 b) \( z^2 + z + 2 = 0 \) 
 c) \( z^2 - z - 2 = 0 \) 
 d) \( z^2 - z + 2 = 0 \) 
 **Resposta:** a) \( z^2 + z - 2 = 0 \) 
 **Explicação:** Multiplicando \( (z - 1)(z + 2) \), temos \( z^2 + 2z - z - 2 = z^2 + z - 2 \). 
 
9. **Qual é a solução da equação \( z^2 - 4z + 5 = 0 \)?** 
 a) \( 2 + i \) 
 b) \( 2 - i \) 
 c) \( 2 + i\sqrt{1} \) 
 d) \( 2 - i\sqrt{1} \) 
 **Resposta:** a) \( 2 + i \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula de Bhaskara, temos \( \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 
\cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \). As soluções são \( z = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i \). 
 
10. **Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 1 + i \)?** 
 a) \( 2 + 2i \) 
 b) \( -2 + 2i \) 
 c) \( 1 + 3i \) 
 d) \( -1 + 3i \) 
 **Resposta:** c) \( 1 + 3i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 + i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 + i = -2 + 4i \). 
 
11. **Qual é a distância entre os pontos \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 5 + 7i \)?** 
 a) 5 
 b) 4 
 c) \( \sqrt{13} \) 
 d) \( \sqrt{25} \) 
 **Resposta:** b) 4 
 **Explicação:** A distância entre dois números complexos \( z_1 \) e \( z_2 \) é dada por 
\( |z_1 - z_2| = |(2 + 3i) - (5 + 7i)| = |(-3 - 4i)| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 
5 \). 
 
12. **Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + 
i\sin(\frac{\pi}{3})) \)?** 
 a) \( 1 + i \) 
 b) \( 1 + 2i \) 
 c) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 d) \( 2 + \sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** c) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 
2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}i \). 
 
13. **Qual é a equação que representa a soma \( z_1 + z_2 \), onde \( z_1 = 3 + 4i \) e \( z_2 
= 1 - 2i \)?** 
 a) \( 4 + 2i \) 
 b) \( 2 + 6i \) 
 c) \( 4 + 6i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 + 2i \) 
 **Explicação:** A soma \( z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i \). 
 
14. **Qual é a equação resultante ao dividir \( (z^2 - 4) \) por \( (z - 2) \)?** 
 a) \( z + 2 \) 
 b) \( z - 2 \) 
 c) \( z^2 + 2 \) 
 d) \( z^2 - 2 \) 
 **Resposta:** a) \( z + 2 \) 
 **Explicação:** Dividindo \( z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2) \) por \( z - 2 \), obtemos \( z + 2 \). 
 
15. **Qual é o valor de \( z^2 \) se \( z = 3 - 2i \)?** 
 a) \( 9 - 12i - 4 \) 
 b) \( 9 + 12i - 4 \) 
 c) \( 5 - 12i \) 
 d) \( 5 + 12i \) 
 **Resposta:** a) \( 9 - 12i - 4 \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (3 - 2i)^2 = 9 - 12i + 4 = 5 - 12i \). 
 
16. **Qual é a conjugada do número complexo \( z = 5 + 6i \)?** 
 a) \( 5 - 6i \) 
 b) \( -5 + 6i \) 
 c) \( -5 - 6i \) 
 d) \( 6 - 5i \) 
 **Resposta:** a) \( 5 - 6i \) 
 **Explicação:** A conjugada de um número complexo \( z = a + bi \) é dada por \( 
\overline{z} = a - bi \). Assim, \( \overline{5 + 6i} = 5 - 6i \). 
 
17. **Qual é o valor de \( z \) que satisfaz a equação \( z^3 = -8 \)?**