1HO equilibrio

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**Resposta: a)** Para encontrar as raízes, observe que a equação é uma função cúbica 
com raízes de unidade. Elas são obtidas pela fórmula \( z_k = e^{\frac{2k\pi i}{n}}, k = 0, 1, 
2 \), onde \( n=3 \). Assim, as raízes específicas são \( 1, e^{\frac{2\pi i}{3}}, e^{\frac{4\pi 
i}{3}} \), que se traduz para a forma cartesiana. 
 
7. Dado \( z = a + bi \) e \( w = c + di \), encontre \( z + w \) e determine sua forma baseada 
nos componentes reais e imaginários. 
a) \( (a + c) + (b + d)i \) 
b) \( (a - c) + (b - d)i \) 
c) \( (ac) + (bd)i \) 
d) \( (a + bi)(c + di) \) 
**Resposta: a)** A adição de números complexos é feita somando separadamente as 
partes reais e imaginárias. Assim, \( z + w = (a + c) + (b + d)i \). Essa operação é simples e 
direta, refletindo a definição de soma no conjunto dos números complexos. 
 
8. Se \( z = 2 + 3i \), determine \( \frac{1}{z} \) e expresse sua forma a + bi. 
a) \( \frac{2}{13} + \frac{3}{13} i \) 
b) \( -\frac{3}{13} + \frac{2}{13} i \) 
c) \( \frac{3}{2} \) 
d) \( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i \) 
**Resposta: a)** Para obter a inversa de um número complexo, multiplicamos numerador 
e denominador pelo conjugado: \( \frac{1}{z} = \frac{1}{2 + 3i} \cdot \frac{2 - 3i}{2 - 3i} = 
\frac{(2 - 3i)}{(2^2 + 3^2)} = \frac{2 - 3i}{13} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13} i \). 
 
9. Qual é o resultado da expressão \( (z_1 z_2) + (z_1 z_3) \) se \( z_1 = 1 + i, z_2 = 2 - 2i \), e 
\( z_3 = 3 + i \)? 
a) \( -3 + 7i \) 
b) \( 7 - 1i \) 
c) \( 8 - 3i \) 
d) \( 9 + 2i \) 
**Resposta: c)** Começamos calculando cada produto: \( z_1 z_2 = (1 + i)(2 - 2i) = 2 - 2i + 
2i - 2i^2 = 2 + 2 = 4 \) e \( z_1 z_3 = (1 + i)(3 + i) = 3 + i + 3i - 1 = 2 + 4i \). Então, a soma é \( 4 + 
(2 + 4i) = 6 + 4i \). 
 
10. O que representa a forma polar dos números complexos? 
a) Uma maneira de multiplicar números complexos 
b) Uma representação gráfica dos números complexos 
c) Uma forma que expressa a magnitude e o ângulo dos números complexos 
d) Uma técnica de fatoração em álgebra 
**Resposta: c)** A forma polar de um número complexo refere-se a representá-lo em 
termos de sua magnitude (norma) e ângulo (argumento) em relação ao eixo real. É 
expressa como \( re^{i\theta} \) ou \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \), onde \( r = |z| \) e \( 
\theta = \text{arg}(z) \). 
 
11. Encontre a parte real da expressão \( z = 3 + 4i, w = 1 - 2i \) para \( z \cdot w \). 
a) \( 1 \) 
b) \( 11 \) 
c) \( 10 \) 
d) \( 2 \) 
**Resposta: b)** A multiplicação de números complexos é dada por \( (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 
\cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i) = 3 - 6i + 4i + 8 = 11 - 2i \), onde a parte real 
é \( 11 \). 
 
12. Determine a diferença entre os números complexos \( z_1 = 4 + 5i \) e \( z_2 = 3 - 2i \). 
a) \( 7 + 7i \) 
b) \( 1 + 7i \) 
c) \( 1 + 3i \) 
d) \( 5 + 3i \) 
**Resposta: b)** Ao calcular \( z_1 - z_2 \), obtemos \( (4 + 5i) - (3 - 2i) = (4 - 3) + (5 + 2)i = 1 
+ 7i \). Essa operação ilustra a definição da subtração em números complexos. 
 
13. Qual é o resultado da expressão \( (2 + 3i)^2 \)? 
a) \( -5 + 12i \) 
b) \( -5 - 12i \) 
c) \( 4 + 12i - 9 \) 
d) \( -5 + 9i \) 
**Resposta: a)** Calculando, temos \( (2 + 3i)^2 = 4 + 12i + 9(-1) = 4 - 9 + 12i = -5 + 12i \). 
Essa operação utiliza a distribuição e a propriedade de \( i^2 = -1 \). 
 
14. Qual é o conjugado do número complexo \( z = -1 + 2i \)? 
a) \( -1 - 2i \) 
b) \( 1 - 2i \) 
c) \( 1 + 2i \) 
d) \( -2 - i \) 
**Resposta: a)** O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( 
\overline{z} = a - bi \). Portanto, o conjugado de \( -1 + 2i \) é \( -1 - 2i \), que é uma 
transformação simples. 
 
15. Se \( z_1 = 4 + i \) e \( z_2 = 1 - 3i \), qual é o valor de \( \frac{z_1}{z_2} \)? 
a) \( \frac{-9}{10} + \frac{10}{10}i \) 
b) \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3}i \) 
c) \( \frac{13}{10} + \frac{9}{10}i \) 
d) \( 3 + i \) 
**Resposta: c)** Para calcular \( \frac{z_1}{z_2} \), multiplicamos o numerador e o 
denominador pelo conjugado de \( z_2 \): 
\[ 
\frac{4 + i}{1 - 3i} \cdot \frac{1 + 3i}{1 + 3i} 
\] 
O resultado é \( \frac{4 + 12i + i + 3}{1 + 9} = \frac{7 + 13i}{10} \), que nos dá a resposta. 
 
16. Resolva a equação \( z^2 + z(3 - 4i) + (1 + 2i) = 0 \) e enuncie as raízes. 
a) \( -1 + 2i, -2 - i \) 
b) \( -3 + i, -1 - 2i \) 
c) \( 1 + i, 2 + i \) 
d) \( 1 - i, 3 + 4i \) 
**Resposta: b)** Aplicando a fórmula de Bhaskara: \( z = \frac{-(3 - 4i) \pm \sqrt{(3 - 4i)^2 - 
4(1 + 2i)}}{2} \). Calculamos o discriminante e conseguimos as raízes. 
 
17. Para \( z = r e^{i\theta} \) e \( w = s e^{i\phi} \), qual é o resultado de \( z w \)? 
a) \( r s e^{i(\theta + \phi)} \) 
b) \( r + s + i(\theta + \phi) \)