Prévia do material em texto

\[ 
 \int_0^1 x^3 \sqrt{1 - x^2} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{8}\) 
 b) \(\frac{1}{10}\) 
 c) \(\frac{1}{12}\) 
 d) \(\frac{1}{14}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{10}\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\) e integramos. 
 
36. **Problema 36:** 
 Determine a integral: 
 \[ 
 \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx 
 \] 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 c) \(\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 d) \(\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes e a substituição. 
 
37. **Problema 37:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x\). 
 
38. **Problema 38:** 
 Determine a integral: 
 \[ 
 \int \tan(x) \, dx 
 \] 
 a) \(-\ln(\cos(x)) + C\) 
 b) \(\ln(\sin(x)) + C\) 
 c) \(-\ln(\sin(x)) + C\) 
 d) \(\ln(\cos(x)) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\ln(\cos(x)) + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) é conhecida e pode ser obtida pela substituição 
\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). 
 
39. **Problema 39:** 
 Calcule a integral: 
 \[ 
 \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C\) 
 b) \(\ln\left|x^2 - 1\right| + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} \ln\left|x^2 - 1\right| + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \ln\left|x + 1\right| + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C\) 
 **Explicação:** Usamos a decomposição em frações parciais. 
 
40. **Problema 40:** 
 Calcule o limite: 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2 + 3x - 1}{5x^2 + 4}\right) 
 \] 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{5}{2}\) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x^2\), resultando em 
\(\frac{2 + 0 + 0}{5 + 0} = \frac{2}{5}\). 
 
41. **Problema 41:** 
 Determine a integral: 
 \[ 
 \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{11}{4}\) 
 b) \(\frac{13}{3}\) 
 c) \(\frac{14}{3}\) 
 d) \(\frac{7}{3}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{14}{3}\) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \(\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}\), \(\int 2x^2 \, dx = 
\frac{2}{3}\), \(\int 3 \, dx = 3\), totalizando \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{14}{3}\). 
 
42. **Problema 42:** 
 Resolva a equação: 
 \[ 
 x^4 - 5x^2 + 4 = 0 
 \] 
 a) \(x = \pm 1, \pm 2\) 
 b) \(x = \pm 2\) 
 c) \(x = 0, \pm 2\) 
 d) \(x = 1, -1\) 
 **Resposta:** a) \(x = \pm 1, \pm 2\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(y = x^2\) para resolver a equação quadrática 
\(y^2 - 5y + 4 = 0\).