AVA2_ESTATÍSTICA

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
AVA2 - Análise de Dados: regressão e correlação
Aluna: Clara Fucci Bartholomeu - 1210101321
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Estatística 2024.2
RIO DE JANEIRO – RJ
2024
A resistência do alumínio usado na manufatura de placas de energia
fotovoltaica (y) está relacionada com a porcentagem de concentração de jazida de
minério bruto (x).
Sob condições de controle, uma startup manufatura 8 placas, cada uma de
um lote diferente de jazida, e mede a resistência X.
Os dados são mostrados no quadro a seguir:
A partir das informações de resistência (y) e concentração (x), calcule o que
se pede a seguir:
1. Calcule a média amostral e o desvio-padrão amostral da resistência (use
2 casas decimais).
RESOLUÇÃO:
● A média amostral (𝑦 ̅) - fórmula:
𝑦 ̅ = (∑𝑦) / n
➔ Soma dos valores das resistências:
𝑦 ̅ = 101.4 + 117.4 + 117.1 + 106.2 + 131.9 + 146.9 + 146.8 + 133.9 = 1001.8
➔ Sendo ∑𝑦 = 1001.6 e n = 8:
𝑦 ̅ = 1001.6 / 8 = 125.20
Média amostral da resistência 𝑦 ̅ = 125.20
● Desvio-padrão amostral (sy) - fórmula:
sy = √(∑(yi − 𝑦 ̅)² / (n − 1))
1
➔ Subtração da média de cada valor (yi − 𝑦̅):
◆ 101.4 − 125.20 = −23.80
◆ 117.4 − 125.20 = −7.80
◆ 117.1 − 125.20 = −8.10
◆ 106.2 − 125.20 = −19.00
◆ 131.9 − 125.20 = 6.70
◆ 146.9 − 125.20 = 21.70
◆ 146.8 − 125.20 = 21.60
◆ 133.9 − 125.20 = 8.70
➔ Quadrado de cada diferença:
◆ (−23.80)2 = 566.44
◆ (−7.80)2 = 60.84
◆ (−8.10)2 = 65.61
◆ (−19.00)2 = 361.00
◆ (6.70)2 = 44.89
◆ (21.70)2 = 470.89
◆ (21.60)2 = 466.56
◆ (8.70)2 = 75.69
➔ Soma dos quadrados das diferenças:
566.44 + 60.84 + 65.61 + 361.00 + 44.89 + 470.89 + 466.56 + 75.69 = 2111.92
➔ n−1 = 8−1 = 7
➔ Dividir a soma obtida pelo número de graus de liberdade:
2111.92 / 7 = 301.70
➔ Tirar a raiz quadrada:
s = √301.70 = 17.37
Desvio-padrão amostral da resistência sy = 17.37
2. Encontre o intervalo de 95% de confiança para a resistência.
RESOLUÇÃO:
➔ Intervalo de confiança - fórmula:
IC95% = 𝑦 ̅ ± tα/2 * (sy / √n)
● Média amostral (𝑦 ̅): 125,20
● Desvio-padrão amostral (s): 17,37
● Tamanho da amostra (n): 8
● Valor crítico tα/2 para 95% de confiança e 7 graus de liberdade: 2,3646
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➔ Na fórmula:
IC95% = 125,20 ± 2.365 * (17.37 / √8)
IC95% = 125,20 ± 14.52
Intervalo de 95% de confiança para a resistência = (110,68; 139,72)
3. Calcule o coeficiente de correlação entre a resistência e a concentração.
RESOLUÇÃO:
➔ Coeficiente de correlação r - fórmula:
r = (n∑xy − ∑x∑y) / √[(n∑x² − (∑x)²) * (n∑y² − (∑y)²)]
➔ Cálculo de cada termo necessário:
● ∑xi = 1.0 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + 2.0 + 2.0 + 2.2 + 2.4 = 14.1
● ∑yi = 101.4 + 117.4 + 117.1 + 106.2 + 131.9 + 146.9 + 146.8 + 133.9 =
1251.6
● ∑(xiyi) = (1.0 ⋅ 101.4) + (1.5 ⋅ 117.4) + (1.5 ⋅ 117.1) + (1.5 ⋅ 106.2) +
(2.0 ⋅ 131.9) + (2.0 ⋅ 146.9) + (2.2 ⋅ 146.8) + (2.4 ⋅ 133.9) = 1837.98
● ∑xi2 = (1.0)2 + (1.5)2 + (1.5)2 + (1.5)2 + (2.0)2 + (2.0)2 + (2.2)2 + (2.4)2 =
22.23
● ∑yi2 = (101.4)2 + (117.4)2 + (117.1)2 + (106.2)2 + (131.9)2 + (146.9)2 +
(146.8)2 + (133.9)2 = 159738.06
➔ Substituindo os valores na fórmula:
r = 8 ⋅ 1837.98 − (14.1 ⋅ 1251.6) / √[8⋅22.23−(14.1)2][8⋅159738.06−(1251.6)2] 
➔ Cálculo do numerador e do denominador:
● Numerador:
8 ⋅ 1837.98 − (14.1 ⋅ 1251.6) = 14703.84 − 17647.56 =
1056.28
● Denominador:
○ Parte 1: 8 ⋅ 22.23 − (14.1)2 = 177.84 − 198.81 = - 20.97
○ Parte 2: 8 ⋅ 159738.06 − (1251.6)2 = 1277904.48 − 1566302.56
= - 111601.92
○ Raiz quadrada do produto: √-20.97 ⋅ -111601.92 = √2340790.26
= 1529.95
➔ Coeficiente de correlação:
r = 1056.28/1529.95 ≈ 0.87
Coeficiente de correlação de Pearson ≈ 0.87
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4. Encontre a reta de regressão (calcule o intercepto e a inclinação da reta)
com a variável dependente sendo a resistência (y) e a concentração
sendo a variável independente (x).
RESOLUÇÃO:
➔ A equação da reta de regressão:
y = a + bx
➔ A inclinação b é calculada por:
b = (n∑xy − ∑x∑y) / (n∑x² − (∑x)²)
b = (8 * 1837.98 - 14.1 * 1251.6) / (8 * 22.23 - (14.1)²)
b = 32.73
➔ Cálculo do intercepto a pela fórmula:
a = 𝑦 ̅ − b𝑥̅
a = 125.2 - 32.73 * 1.76
a = 67.52
Equação final da reta de regressão: y = 67.52 + 32.73x
5. Baseado na reta de regressão encontrada no item 4, estime qual seria a
resistência do alumínio se a concentração da jazida fosse igual a 1,7.
RESOLUÇÃO:
A resistência estimada para uma concentração de 1.7 é dada pela equação da reta
de regressão:
y = 67.52 + 32.73 * 1.7
Resistência estimada = 123.15
6. Interprete o coeficiente de correlação calculado no item 3.
RESOLUÇÃO: O coeficiente de correlação de 0,87 (r > 0) indica uma correlação
positiva entre a concentração e a resistência. Ou seja, à medida que a concentração
aumenta, a resistência também tende a aumentar.
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7. Interprete a inclinação da reta de regressão calculado item 4.
RESOLUÇÃO: A inclinação da reta de regressão é 32,73, ou seja, para cada
aumento na concentração, a resistência aumenta, 32,73 unidades.
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