8YOXG calculos 8YOXG

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c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3. 
 \] 
 
64. **Problema 64:** Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx = \frac{1}{2}. 
 \] 
 
65. **Problema 65:** Calcule a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\). 
 a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 b) \(2 \sec^2(x^2)\) 
 c) \(2x \tan(x^2)\) 
 d) \(x \sec^2(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = 2x \sec^2(x^2). 
 \] 
 
66. **Problema 66:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a fatoração, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^4 + x^3 + x^2 + x 
+ 1) = 5. 
 \] 
 
67. **Problema 67:** Determine a integral \(\int_0^1 (1 + x^4)^{-1} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 + x^4\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 + x^4)^{-1} \, dx = \frac{1}{4}. 
 \] 
 
68. **Problema 68:** Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 d) \(\frac{4}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}. 
 \] 
 
69. **Problema 69:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) \(-1\) 
 c) \(-2\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) \(-2\) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\cos(2x)\), temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{-2x^2 + O(x^4)}{x^2} = -2. 
 \] 
 
70. **Problema 70:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{2/3} \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{4}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{4}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^3\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^3)^{2/3} \, dx = \frac{2}{5}. 
 \] 
 
71. **Problema 71:** Determine a derivada de \(f(x) = x \ln(x)\). 
 a) \(\ln(x) + 1\) 
 b) \(\ln(x) - 1\) 
 c) \(\ln(x^2)\) 
 d) \(\ln(x) + x\) 
 **Resposta:** a) \(\ln(x) + 1\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto: