jux losango

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**Resposta**: a) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{10}{3}} \cdot \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} \, du\), resultando em \(\frac{5}{12}\). 
 
66. **Problema 66**: Calcule a derivada da função \(f(x) = \sqrt{x^3 + 2}\). 
 a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}}\) 
 b) \(\frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 2}}\) 
 c) \(\frac{1}{2\sqrt{x^3 + 2}}\) 
 d) \(\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 2}} \cdot 
3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}}\). 
 
67. **Problema 67**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -2 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador, 
resultando em 2. 
 
68. **Problema 68**: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{4}{5}\) 
 b) \(\frac{8}{15}\) 
 c) \(\frac{16}{15}\) 
 d) \(\frac{2}{15}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{8}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^4\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4}} \, du\), resultando em \(\frac{8}{15}\). 
 
69. **Problema 69**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x e^{x^2}\). 
 a) \(e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2} + x^2 e^{x^2}\) 
 c) \(2x e^{x^2}\) 
 d) \(x e^{x^2}\) 
 **Resposta**: a) \(e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x)' e^{x^2} + x (e^{x^2})' = 
e^{x^2} + x (2x e^{x^2}) = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\). 
 
70. **Problema 70**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 3 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -3 
 **Resposta**: a) 3 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\), resultando em 3. 
 
71. **Problema 71**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^6)^{\frac{2}{3}} \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{8}\) 
 b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{7}{10}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^6\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6} u^{\frac{1}{6}} \, du\), resultando em \(\frac{7}{10}\). 
 
72. **Problema 72**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^7 \ln(x)\). 
 a) \(7x^6 \ln(x) + x^6\) 
 b) \(7x^6 \ln(x) + 7x^5\) 
 c) \(7x^6 \ln(x) - x^6\) 
 d) \(7x^6 \ln(x) + 6x^5\) 
 **Resposta**: a) \(7x^6 \ln(x) + x^6\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^7)' \ln(x) + x^7 (\ln(x))' = 
7x^6 \ln(x) + x^6\). 
 
73. **Problema 73**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2}\). 
 a) -\(\frac{25}{2}\) 
 b) 0 
 c) -\(\frac{5}{2}\) 
 d) -\(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: a) -\(\frac{25}{2}\) 
 **Explicação**: Usamos a expansão em série de Taylor para \(\cos(5x)\): \(\cos(5x) 
\approx 1 - \frac{(5x)^2}{2}\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25x^2}{2}}{x^2} = -
\frac{25}{2}\). 
 
74. **Problema 74**: Determine o valor de \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{11}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{12}{13}\) 
 b) \(\frac{6}{11}\) 
 c) \(\frac{4}{15}\) 
 d) \(\frac{8}{15}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{12}{13}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} \, du\), resultando em \(\frac{12}{13}\). 
 
75. **Problema 75**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^8 e^{-x^2}\). 
 a) \(8x^7 e^{-x^2} - 2x^8 e^{-x^2}\) 
 b) \(8x^7 e^{-x^2} + 2x^8 e^{-x^2}\) 
 c) \(8x^7 e^{-x^2} - x^8 e^{-x^2}\) 
 d) \(8x^7 e^{-x^2} + 2x^8 e^{-x^2}\) 
 **Resposta**: a) \(8x^7 e^{-x^2} - 2x^8 e^{-x^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^8)' e^{-x^2} + x^8 (e^{-
x^2})' = 8x^7 e^{-x^2} - x^8 (2x e^{-x^2}) = 8x^7 e^{-x^2} - 2x^8 e^{-x^2}\). 
 
76. **Problema 76**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
 a) 6