oscar ACT

Prévia do material em texto

**Explicação:** A integral de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{2}{3} x^{3/2} \), avaliando de 0 a 1 
resulta em \( \frac{2}{3} \). 
 
33. **Problema 33:** Determine a derivada de \( f(x) = \arctan(x^2) \). 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{1 + x^4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 
\frac{2x}{1 + x^4} \). 
 
34. **Problema 34:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 
1}{x} = 2 \). 
 
35. **Problema 35:** Determine a integral \( \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Assim, a 
integral se torna \( \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 
36. **Problema 36:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
 a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
 c) \( 3x^2 \) 
 d) \( x^3 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = (x^3)' \ln(x) + x^3 (\ln(x))' = 
3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
37. **Problema 37:** Calcule a integral \( \int x^2 e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x dx \) e a integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
38. **Problema 38:** Qual é a série de Taylor de \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \)? 
 a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) 
 b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) 
 c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) 
 **Resposta:** b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \sin(x) \) é obtida a partir das derivadas em \( x = 
0 \), resultando em \( \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \). 
 
39. **Problema 39:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^2 + 1) \ln(x) \, dx \). 
 a) \( -1 \) 
 b) \( -2 \) 
 c) \( -\frac{1}{3} \) 
 d) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( -1 \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = (x^2 + 1) dx \). 
 
40. **Problema 40:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(5x)}{x} = 5 \). 
 
41. **Problema 41:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^3 \), resultando em \( \int_0^1 u^{1/3} 
\, du \). 
 
42. **Problema 42:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{3x^3}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
43. **Problema 43:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 2x + 1}{3x^2 + 5} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{4}{3} \) 
 c) 1