ensino da aula 1CY

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*Resposta: A) \( 4 + 4i \)* 
**Explicação:** Primeiro encontramos \( z^2 = (2e^{i\frac{\pi}{4}})^2 = 4e^{i\frac{\pi}{2}} = 
4(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0+i) = 4i \). 
 
38. Qual é o conjugado de \( z = -7 + 4i \)? 
A) \( 7 - 4i \) 
B) \( -7 - 4i \) 
C) \( -7 + 4i \) 
D) \( 7 + 4i \) 
*Resposta: A) \( 7 - 4i \)* 
**Explicação:** O conjugado de \( z = a + bi \) é \( \bar{z} = a - bi \), logo, \( \bar{z} = -7 - 4i \). 
 
39. Se \( z = 2 + 2i \), qual é o módulo de \( z \)? 
A) \( 2\sqrt{2} \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 4 \) 
D) \( 4\sqrt{2} \) 
*Resposta: A) \( 2\sqrt{2} \)* 
**Explicação:** O módulo é feito por \( |z| = \sqrt{2^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 
2\sqrt{2} \). 
 
40. Qual é a forma polar de \( z = 0 + 4i \)? 
A) \( 0 \) 
B) \( 4 \text{cis} \frac{\pi}{2} \) 
C) \( 4 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) 
D) \( -4 \text{cis} \frac{3\pi}{2} \) 
*Resposta: B) \( 4 \text{cis} \frac{\pi}{2} \)* 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = 4 \) e o argumento é \( \frac{\pi}{2} \), logo a forma polar 
é \( 4 \text{cis} \frac{\pi}{2} \). 
 
41. Se \( z_1 = 2 + 2i \) e \( z_2 = 2 - 2i \), qual é \( z_1 z_2 \)? 
A) \( 8 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 2 \) 
D) \( 4 \) 
*Resposta: A) \( 8 \)* 
**Explicação:** O produto é \( z_1 z_2 = (2+2i)(2-2i) = 4 - (2i)^2 = 4 + 4 = 8 \). 
 
42. Determine \( z^3 = 8 - 8i \). 
A) \( 2 + 2i \) 
B) \( 2(1 + i) \) 
C) \( 2(1 - i) \) 
D) \( 2(1 + 2i) \) 
*Resposta: B) \( 2(1 + i) \)* 
**Explicação:** A forma polar de \( 8 - 8i \) tem módulo \( 8\sqrt{2} \) e argumento \( \tan^{-
1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \). A raiz cúbica resulta na forma \( 2(1 + i) \). 
 
43. Qual é o valor de \( z \) se \( z^2 + 2z + 1 = 0 \)? 
A) \( -1 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( 0 \) 
D) \( -2 \) 
*Resposta: A) \( -1 \)* 
**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z + 1)^2 = 0 \), então a solução é \( z 
= -1 \). 
 
44. Se \( z = -3 + 4i \), qual é o argumento de \( z \)? 
A) \( \frac{3\pi}{4} \) 
B) \( \frac{5\pi}{4} \) 
C) \( \frac{7\pi}{4} \) 
D) \( 0 \) 
*Resposta: B) \( \frac{5\pi}{4} \)* 
**Explicação:** O argumento é dado por \( \tan^{-1}\left(\frac{4}{-3}\right) \), o que resulta 
em \( \frac{5\pi}{4} \). 
 
45. Se \( z_1 = 1+i \) e \( z_2 = 1-i \), qual é \( z_1^2 + z_2^2 \)? 
A) 2 
B) 0 
C) \( 2 + 0i \) 
D) \( 2 + 2i \) 
*Resposta: A) 2* 
**Explicação:** Calculando \( z_1^2 = 2i \) e \( z_2^2 = -2i \): \( z_1^2 + z_2^2 = 2i - 2i = 0 \). 
 
46. Se \( z = -1 + \sqrt{3}i \), qual é a forma polar de \( z \)? 
A) \( 2 \text{cis} \frac{5\pi}{6} \) 
B) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) 
C) \( 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \) 
D) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{6} \) 
*Resposta: C) \( 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \)* 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{1}) + \pi = \frac{2\pi}{3} \). 
 
47. Qual é a soma \( z + \bar{z} \) se \( z = 2 - 2i \)? 
A) \( 2 + 2i \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 4 \) 
D) \( 0 \) 
*Resposta: B) \( 2 \)* 
**Explicação:** Para \( z + \bar{z} = (2 - 2i) + (2 + 2i) = 4 \). 
 
48. Se \( z = 3 - i \), determine \( |z|^2 \). 
A) 10 
B) 8 
C) 9 
D) 12