teste de geometria BLVRPH

Prévia do material em texto

a) 2 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 4 
 **Resposta:** a) 2 
 **Explicação:** Multiplicando, temos \( z_1 z_2 = (1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 1 + 1 = 2 \). 
 
20. Se \( z = 2 + 3i \), qual é o módulo de \( z^2 \)? 
 a) 5 
 b) 25 
 c) 10 
 d) 20 
 **Resposta:** b) 25 
 **Explicação:** O módulo de \( z^2 \) é \( |z|^2 = |2 + 3i|^2 = \sqrt{2^2 + 3^2}^2 = 
\sqrt{13}^2 = 13 \). 
 
21. Qual é a forma polar de \( z = -2 - 2i \)? 
 a) \( 2 \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
 b) \( 2 \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 c) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( 2 \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Para \( z = -2 - 2i \), temos \( r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} \) e \( 
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{-2}{-2} \right) = \frac{5\pi}{4} \). 
 
22. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^{-1} \)? 
 a) \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \) 
 b) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \) 
 c) \( -1 + i \) 
 d) \( 1 - i \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \) 
 **Explicação:** Para encontrar a inversa, multiplicamos pelo conjugado: \( z^{-1} = 
\frac{1}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \). 
 
23. Qual é o resultado de \( z_1 - z_2 \) se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 4 - i \)? 
 a) -2 + 4i 
 b) -2 + 2i 
 c) 2 + 4i 
 d) 2 + 2i 
 **Resposta:** b) -2 + 4i 
 **Explicação:** Subtraindo, temos \( z_1 - z_2 = (2 - 4) + (3 + 1)i = -2 + 4i \). 
 
24. Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 + 4i \), qual é \( z_1 \cdot z_2 \)? 
 a) -5 + 10i 
 b) 11 + 10i 
 c) 11 - 10i 
 d) -11 + 10i 
 **Resposta:** b) 11 + 10i 
 **Explicação:** Multiplicando, temos \( z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i - 8 = -5 
+ 10i \). 
 
25. Qual é o valor de \( z^2 \) se \( z = 1 - i \)? 
 a) 2i 
 b) -2 
 c) 2 
 d) 0 
 **Resposta:** b) -2 
 **Explicação:** Calculando, temos \( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2 \). 
 
26. Se \( z = 1 + 2i \), qual é o argumento de \( z^2 \)? 
 a) \( 2 \tan^{-1}(2) \) 
 b) \( \tan^{-1}(2) \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \tan^{-1}(2) \) 
 **Explicação:** O argumento de \( z^2 \) é \( 2 \cdot \text{arg}(z) = 2 \tan^{-1}(2) \). 
 
27. Qual é a forma retangular de \( z = 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \)? 
 a) \( 2 + 2i \) 
 b) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 c) \( -1 + \sqrt{3}i \) 
 d) \( 1 - \sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** b) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é \( z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2 
\cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i = 1 + \sqrt{3}i \). 
 
28. Se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é \( z_1 + z_2 \)? 
 a) 2 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2i 
 **Resposta:** a) 2 
 **Explicação:** Somando, temos \( z_1 + z_2 = (1 + 1) + (i - i) = 2 + 0 = 2 \). 
 
29. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( z^3 \)? 
 a) 11 + 48i 
 b) -11 + 48i 
 c) 11 - 48i 
 d) 48 + 11i 
 **Resposta:** a) 11 + 48i 
 **Explicação:** Calculando \( (3 + 4i)^3 \) usando a fórmula de binômio, obtemos \( 27 + 
36i + 48i - 64 = 11 + 48i \). 
 
30. Qual é a parte imaginária de \( z = 5 - 3i \)? 
 a) 5