fazendo e apanhando AVJ

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6. **Questão 6:** Qual é o valor de \(\int_1^3 (2x^2 - 4x + 1) \, dx\)? 
 - a) 0 
 - b) 2 
 - c) 4 
 - d) 6 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Primeiro, encontramos a primitiva: 
 \[ 
 \int (2x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + x. 
 \] 
 Avaliando de 1 a 3: 
 \[ 
 \left[ \frac{2}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3 \right] - \left[ \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 1 \right]. 
 \] 
 Calculando: 
 \[ 
 = \left[ 18 - 18 + 3 \right] - \left[ \frac{2}{3} - 2 + 1 \right] = 3 - \left[-\frac{2}{3} + 1\right] = 3 + 
\frac{2}{3} - 1 = 2. 
 \] 
 
7. **Questão 7:** Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 + 4}\)? 
 - a) 0 
 - b) \(\frac{3}{5}\) 
 - c) \(\frac{5}{3}\) 
 - d) \(\infty\) 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Para calcular o limite, dividimos o numerador e o denominador pelo 
maior grau de \(x\) no denominador: 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}. 
 \] 
 
8. **Questão 8:** Qual é a integral definida \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 2 
 - d) \(\pi\) 
 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A primitiva de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\), então: 
 \[ 
 \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2. 
 \] 
 
9. **Questão 9:** Qual é a derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 - a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 - c) \(\frac{1}{2x}\) 
 - d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot 
u'\). Aqui, \(u = x^2 + 1\) e \(u' = 2x\): 
 \[ 
 g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}. 
 \] 
 
10. **Questão 10:** Qual é o valor de \(\int e^{2x} \, dx\)? 
 - a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 - b) \(2e^{2x} + C\) 
 - c) \(e^{2x} + C\) 
 - d) \(\frac{1}{2} e^{x} + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 **Explicação:** Para integrar \(e^{2x}\), usamos a regra da integral de \(e^{kx}\): 
 \[ 
 \int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C. 
 \] 
 Aqui, \(k = 2\), então: 
 \[ 
 \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C. 
 \] 
 
11. **Questão 11:** Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)? 
 - a) 0 
 - b) \(\frac{1}{6}\) 
 - c) \(\frac{1}{3}\) 
 - d) 1 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\sin(x)\): 
 \[ 
 \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5). 
 \] 
 Portanto, \(x - \sin(x) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)\). Assim, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}. 
 \] 
 
12. **Questão 12:** Qual é a integral definida \(\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\)?