RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DA LISTA 2 DE GEOMETRIA PLANA

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Setembro 
Licenciatura Plena em Matemática Graduação 
Módulo II 
EXERCÍCIO 6 
 
 
01. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a) Todo retângulo é um paralelogramo. V 
b) Todo paralelogramo é retângulo. F 
c) Todo quadrado é retângulo. V 
d) Todo retângulo é quadrado. F 
e) Todo paralelogramo é losango. F 
f) Todo quadrado é losango. V 
g) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado. F 
h) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango. V 
i) Se um paralelogramo tem dois ângulos de vértices consecutivos congruentes, então ele é um retângulo. V 
j) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. V 
k) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. F 
l) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. F 
m) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então ele é um paralelogramo. V 
n) As diagonais de um losango são congruentes. F 
o) As diagonais de um retângulo são perpendiculares. F 
p) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos. F 
q) As diagonais de um paralelogramo são bissetrizes dos seus ângulos. F 
r) As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares. V 
s) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango. V 
t) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos dele. F 
u) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado. F 
v) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado. V 
x) Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz dos dois ângulos, então ela é perpendicular a outra diagonal. V 
 
02. Determine os ângulos dos quadriláteros ABCD abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Determine o valor de x nos casos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DO EXERCÍCIO 6 
GEOMETRIA PLANA – 2023.2 
2x + x + x + 5 + x + 30 = 360 
 5x = 360 – 35 
 5x = 325 
 x = 65° 
Os ângulos do quadrilátero ABCD são: 
130°, 70°, 95° e 65° 
Note que 𝑚(�̂�) = 90° − 𝑥 e 𝑚(�̂�) = 180° − 2𝑥 + 20°, então: 
2x + 3x + 90 – x + 180 – 2x + 20 = 360 
 2x = 360 – 290 
 2x = 70 
 x = 35° 
Os ângulos do quadrilátero ABCD são: 55°, 105°, 70° e 130° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Se 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ e 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ são bissetrizes, determine x nos casos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Se 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ e 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ são bissetrizes, determine. 
 
 
 
 
 
 a 
 
 a b a b 
 a b b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. Se 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ , 𝐶𝑄̅̅ ̅̅ e 𝐷𝑄̅̅ ̅̅ são bissetrizes, determine x + y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. ABCD é trapézio de bases 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Se 𝐷𝑃̅̅ ̅̅ e 𝐶𝑃̅̅ ̅̅ são bissetrizes, determine x e 𝐵�̂�𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo APB, temos que: 
a + b + 110 = 180 ⇒ a + b = 70° 
No quadrilátero ABCD, temos que: 
 2a + 2b + C + D = 360° 
2(a + b) + C + D = 360° 
 2.70 + C + D = 360° 
 C + D = 360 – 140 
 �̂� + �̂� = 220° 
No triângulo APB, temos que: 
a + b + 120 = 180 ⇒ a + b = 60° 
No quadrilátero ABCD, temos que: 
 2a + 2b + C + D = 360° 
2(a + b) + C + C – 10 = 360° 
 2.60 + C + C – 10 = 360° 
 2C = 360 – 120 + 10 
 2C = 250° 
 �̂� = 125° 
 
 
 
08. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O perímetro do paralelogramo é 34 cm. 
 
 
11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base excede a altura em 4 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 m e que a base excede em 4 m o 
triplo da altura. 
 
 
 
 
 
 
 
14. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o seu perímetro mede 84 m e que a soma dos lados menores 
representa 2/5 da soma dos lados maiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Prove que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo cortam-se em ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b + b + h + h = 40 cm ⇒ 2b + 2h = 40 ⇒ b + h = 20 (I) 
b = h + 4 (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
h + 4 + h = 20 ⇒ h = 8 cm e com isso b = 12 cm. 
Os lados do retângulo são 8 cm, 8 cm, 12 cm e 12 cm. 
𝑎) 𝑥 = 
3𝑥 − 5
2
 ⇒ 3𝑥 − 5 = 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 5 
b + b + h + h = 288 m ⇒ 2b + 2h = 288 ⇒ b + h = 144 (I) 
b = 3h + 4 (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
3h + 4 + h = 144 ⇒ h = 35 m e com isso b = 109 m. 
Considerando o lado maior sendo b e lado menor sendo a. 
b + b + a + a = 84 cm ⇒ 2b + 2a = 84 ⇒ b + a = 42 (I) 
𝑎 + 𝑎 = 
2
5
(𝑏 + 𝑏) (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
𝑏 + 
2𝑏
5
 = 42 ⇒ b = 30 m e com isso a = 12 m. 
 
16. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um 
ângulo de 110°. Determine o maior ângulo do trapézio. 
O maior ângulo do trapézio mede 130°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual à terça parte de um reto. Determine os 
quatro ângulos do losango. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55°. Determine o valor dos ângulos 
agudos. 
No losango, temos que as diagonais são bissetrizes do seus 
ângulos internos. Os ângulos agudos desse losango medem 
70°, cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. A base maior de um trapézio isósceles mede 12 cm e a base menor 8 cm. Calcule o comprimento dos lados não 
paralelos, sabendo que o perímetro é 40 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamando de x os lados não-paralelos do trapézio isósceles, então temos: 
12 + 8 + x + x = 40 
 2x = 40 – 20 
 2x = 20 
 x = 10 
O comprimento dos lados não-paralelos é 10 cm, cada um. 
 
20. Determine as medidas dos ângulos formados pelas bissetrizes internas de um trapézio em que dois ângulos agudos 
consecutivos medem 80° e 60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Com um arame de 36 m de comprimento construímos um triângulo equilátero e com o mesmo arame construímos 
depois um quadrado. Determine a razão entre o lado do triângulo e o lado do quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. No triângulo ABC de lados AB = 9, BC = 14 e AC = 11, os pontos D, E e F são pontos médios de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 
respectivamente. Calcule o perímetro do triângulo DEF.No triângulo equilátero, como o arame de 36 m foi utilizado para contorná-lo completamente, então a 
medida de cada lado desse triângulo é 12 m. 
No quadrado, que foi contornado pelo mesmo arame de 36 m, tem como medida de cada lado 9 m. 
Então a razão entre o lado do triângulo e o lado do quadrado é: 
12
9
=
4
3
 
 
𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ é base média relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , então: 
BC = 2 . 7 = 14 cm 
 
𝑀𝑅̅̅̅̅̅ é base média relativa ao lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , então: 
BC = 2 . 8 = 16 cm 
 
𝑁𝑅̅̅ ̅̅ é base média relativa ao lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , então: 
BC = 2 . 4 = 8 cm 
Logo o perímetro do triângulo ABC é igual a: 14 cm + 16 cm + 8 cm = 38 cm 
 
 
 
 
23. Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo MN = 7 cm, NR = 4 cm e MR = 8 cm, e M, N e R, pontos médios dos 
lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Seja ABCD um trapézio de base maior 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e base menor 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Sejam M o ponto médio do lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e N o ponto 
médio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Os pontos P e Q são os pontos de interseção de 𝑀𝑁 ̅̅ ̅̅ ̅̅ com as diagonais 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , respectivamente. Dados 
AB = a e CD = b, calcule MN, MP, MQ, NP, NQ e PQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. Em um trapézio são dadas as bases AB = 20 cm e CD = 12 cm. Considere os pontos P e Q médios das diagonais 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ e, depois, os pontos R e S médios dos lados 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Calcule a medida dos segmentos 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ , 𝑅𝑄̅̅ ̅̅ e 𝑅𝑆̅̅̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 2𝑥 + 2 =
𝑥 + 3 + 4𝑥 − 3
2
 ⇒ 4𝑥 = 4 = 5𝑥 ⇒ 𝑥 = 4 
b) 𝑥 = 
𝑦 + 2
2
 ⇒ 2𝑥 = 𝑦 + 2 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 2 (𝐼) 
 𝑦 = 
𝑥+𝑦+1
2
⇒ 2𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 1 (𝐼𝐼) 
 Igualando (I) e (II), temos: 2𝑥 − 2 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 3 e com isso y = 4 
 
28. Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo 30° é igual à metade do lado não 
perpendicular às bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. Pelo ponto médio M da base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ de um triângulo isósceles ABC traçamos os segmentos 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ e 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ respectivamente 
paralelos aos lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ do triângulo. Prove que APMQ é um losango. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BONS ESTUDOS! 
 
 
 
 
 
 
 
BONS ESTUDOS!