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Parte 3
Espac¸os vetoriais com produto
interno
Estudaremos K-espac¸os vetoriais com produto interno, onde K = R
ou K = C. Definiremos produto interno e estudaremos as suas propriedades.
Apresentaremos o conceito de norma e a importante desigualdade de Cauchy-
Schwarz. Em espac¸os vetoriais reais introduziremos o conceito de aˆngulo,
motivando a definic¸a˜o de ortogonalidade em K-espac¸os vetoriais, onde K = R
ou K = C. Definiremos conjuntos ortogonais e ortonormais, bases ortogonais
e ortonormais. Apresentaremos o processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-
Schmidt.
Definiremos a adjunta de uma transformac¸a˜o linear entre espac¸os ve-
toriais de dimensa˜o finita com produto interno, daremos a relac¸a˜o entre as
representac¸o˜es matriciais da transformac¸a˜o linear T e sua adjunta T ⋆ com
respeito a bases ortonormais.
Estudaremos operadores unita´rios e faremos a classificac¸a˜o dos opera-
dores unita´rios do plano e do espac¸o, equivalentemente, a classificac¸a˜o dos
operadores ortogonais do plano e do espac¸o.
Estudaremos operadores auto-adjuntos e demonstraremos o Teorema
espectral.
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95 UFF
M.L.T.Villela
UFF 96
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Produto interno
O conceito de produto interno em um espac¸o vetorial real generaliza
o conhecido produto escalar de vetores no plano e no espac¸o, aprendido em
Geometria Anal´ıtica, definido por
~u · ~v = ‖u‖ ‖v‖ cosθ,
onde θ e´ o aˆngulo entre ~u e ~v.
Definic¸a˜o 1 (Produto interno)
Seja V um K-espac¸o vetorial, onde K = R ou K = C. Uma func¸a˜o
〈 , 〉 : V × V −→ K
(u, v) 7−→ 〈u, v〉
e´ um produto interno se, e somente se, tem as seguintes propriedades:
(a) 〈u+ v,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v,w〉, para quaisquer u, v,w ∈ V;
(b) 〈λ · u, v〉 = λ · 〈u, v〉, para quaisquer λ ∈ K e u, v ∈ V; Se z=a+bi∈ C, enta˜o
z=a−bi e´ o conjugado de
z. Mais ainda, z∈ R se, e
somente se, z= z.
(c) 〈v, u〉 = 〈u, v〉, para quaisquer u, v ∈ V;
(d) 〈u, u〉 ≥ 0, para todo u ∈ V, e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0V.
Quando V e´ um R-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 dizemos que
V e´ um espac¸o vetorial euclidiano. Nesse caso, a propriedade (c) se reescreve
como 〈v, u〉 = 〈u, v〉, para quaisquer u, v ∈ V, em virtude da conjugac¸a˜o ser
a func¸a˜o identidade em R.
Quando V e´ um C-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 dizemos
que V e´ um espac¸o vetorial hermitiano.
Exemplo 1
Consideremos o K-espac¸o vetorial Kn, onde K = R ou K = C.
Sejam u = (x1, . . . , xn) e v = (y1, . . . , yn) ∈ Kn. O produto interno usual de
Kn e´ definido por
〈u, v〉 = x1 · y1 + · · ·+ xn · yn =
n∑
j=1
xj · yj.
De fato, a func¸a˜o acima esta´ definida em Kn× Kn e tem valores em K.
Vamos agora verificar a validade das quatro propriedades do produto interno.
Sejam w = (z1, . . . , zn) ∈ Kn e λ ∈ K. Enta˜o:
(a)
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A´lgebra Linear II
Produto interno
〈u+ v,w〉 (1)= 〈(x1 + y1, . . . , xn+ yn), (z1, . . . , zn)〉
(2)
=
n∑
j=1
(xj + yj) · zj
(3)
=
n∑
j=1
(xj · zj + yj · zj)
(4)
=
n∑
j=1
xj · zj +
n∑
j=1
yj · zj
(5)
= 〈u,w〉+ 〈v,w〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
da adic¸a˜o em Kn ; em (2), a
definic¸a˜o do produto interno
usual de Kn ; em (3), a
distributividade em K; em
(4), a comutatividade e a
associatividade da adic¸a˜o em
K e em (5), novamente, a
definic¸a˜o do produto interno
usual de Kn .
(b)Em (1) usamos a definic¸a˜o
da multiplicac¸a˜o por escalar
em Kn ; em (2), a definic¸a˜o
do produto interno usual de
Kn ; em (3), a
distributividade em K; em
(4), novamente, a definic¸a˜o
do produto interno usual de
Kn .
〈λ · u, v〉 (1)= 〈(λ · x1, . . . , λ · xn), (y1, . . . , yn)〉
(2)
=
n∑
j=1
(λ · xj) · yj
(3)
= λ ·
(
n∑
j=1
xj · yj
)
(4)
= λ · 〈u, v〉Em (1) usamos a definic¸a˜o
do produto interno usual; em
(2) as propriedades da
conjugac¸a˜o; em (3) a
comutatividade da
multiplicac¸a˜o em K e
propriedade da conjugac¸a˜o e
em (4), a definic¸a˜o do
produto interno usual.
(c) 〈u, v〉 (1)=
n∑
j=1
xj · yj (2)=
n∑
j=1
xj · yj (3)=
n∑
j=1
yj · xj (4)= 〈v, u〉.
(d) 〈u, u〉 =
n∑
j=1
xj · xj =
n∑
j=1
|xj|
2 ≥ 0.
Ale´m disso, 〈u, u〉 = 0 se, e somente se,
n∑
j=1
|xj|
2 = 0 se, e somente se, xj = 0,
para j = 1, . . . , n se, e somente se, u = (0, . . . , 0).
Exemplo 2
Seja C([a, b]) = {f : [a, b] −→ R ; f e´ func¸a˜o cont´ınua }.
Como a soma de func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua e a multiplicac¸a˜o de
um nu´mero real por func¸a˜o cont´ınua e´ uma func¸a˜o cont´ınua, enta˜o C([a, b])
e´ um R-espac¸o vetorial com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de func¸o˜es e mul-
tiplicac¸a˜o de um nu´mero real por uma func¸a˜o.
Sejam f, g ∈ C([a, b]). Definimos 〈f, g〉 =
∫b
a
f(t) · g(t)dt.
Vamos mostrar que a expressa˜o acima e´ um produto interno em C([a, b]).
De fato, sejam f, g, h ∈ C([a, b]) e λ ∈ R.
(a)
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Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
〈f+ g, h〉 (1)=
∫b
a
(f+ g)(t) · h(t)dt
(2)
=
∫b
a
(f(t) + g(t)) · h(t)dt
(3)
=
∫b
a
(f(t) · h(t) + g(t) · h(t))dt
(4)
=
∫b
a
f(t) · h(t)dt+
∫b
a
g(t) · h(t)dt
(5)
= 〈f, h〉+ 〈g, h〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de 〈 , 〉; em (2), a definic¸a˜o
da soma em C([a,b]); em
(3), a distributividade em
C([a,b]; em (4), que a
integral da soma de func¸o˜es
e´ a soma das integrais e em
(5), novamente, a definic¸a˜o
de 〈 , 〉.
(b)
〈λ · f, g〉 (1)=
∫b
a
(λ · f)(t) · g(t)dt
(2)
=
∫b
a
(λ · f(t)) · g(t)dt
(3)
= λ ·
∫b
a
f(t) · g(t)dt
(4)
= λ · 〈f, g〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de 〈 , 〉; em (2), a definic¸a˜o
da multiplicac¸a˜o de um
nu´mero real por uma func¸a˜o;
em (3), propriedade da
integral; em (4), novamente,
a definic¸a˜o de 〈 , 〉.
(c) 〈g, f〉 =
∫b
a
g(t) · f(t)dt =
∫b
a
f(t) · g(t)dt = 〈f, g〉.
(d) 〈f, f〉 =
∫b
a
f(t)2dt ≥ 0.
E´ claro que se f = 0, enta˜o
∫b
a
f(t)2dt = 0. Reciprocamente, suponhamos
que f 6= 0 em [a, b]. Enta˜o, existe c ∈ [a, b] tal que f(c) 6= 0. Seja 2m =
f(c)2 > 0. Como f(t)2 e´ cont´ınua para t ∈ [a, b], dado ǫ = m existe δ > 0
tal que para todo t ∈ I = (c − δ, c + δ) ∩ [a, b], temos |f(t)2 − f(c)2| < m,
logo −m < f(t)2− f(c)2 < m e f(t)2 > f(c)2−m = 2m−m = m, para todo
t ∈ I.
Enta˜o, f(t)2 ≥ g(t), onde g(t) =
{
m, se t ∈ I
0, se t ∈ [a, b] e t 6∈ I.
Seja ξ o comprimento do intervalo I.
Logo,
∫b
a
f(t)2dt ≥
∫b
a
g(t)dt ≥ m · ξ > 0.
Proposic¸a˜o 1 (Outras propriedades do produto interno)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Valem as seguintes
propriedades:
(a) 〈0V, u〉 = 〈u, 0V〉 = 0, para todo u ∈ V;
(b) 〈u, λ · v〉 = λ〈u, v〉, para quaisquer u, v ∈ V e λ ∈ K;
(c) 〈u, v+w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉, para quaisquer u, v,w ∈ V.
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A´lgebra Linear II
Produto interno
Demonstrac¸a˜o:
(a) 〈0V, u〉 = 〈0 · u, u〉 = 0 · 〈u, u〉 = 0.
(b) 〈u, λ · v〉 = 〈λ · v, u〉 = λ · 〈v, u〉 = λ · 〈v, u〉 = λ · 〈u, v〉.
(c) 〈u, v + w〉 = 〈v+w,u〉 = 〈v, u〉+ 〈w,u〉 = 〈v, u〉 + 〈w,u〉 = 〈u, v〉 +
〈u,w〉. �
Definic¸a˜o 2 (Matriz conjugada e matriz adjunta)
Seja A = (aij) ∈Mm×n(K). Definimos a matriz conjugada de A, por
A = (aij),
onde i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Verifique que A
t
=At , para
qualquer A∈Mm×n(K). Definimos a matriz adjunta de A por A
∗ = At = (aji).
Exemplo 3
Consideremos as matrizes com coeficientes complexos A =


1+ 2i 2− 3i
3 4+ i
5− 2i 3+ 3i


e B =
(
1+ i 2− 3i 6+ 2i
)
.
Enta˜o, A∗ =
(
1− 2i 3 5+ 2i
2+ 3i 4− i 3− 3i
)
e B∗ =


1− i
2+ 3i
6− 2i

 .
Lembramos que a func¸a˜o K-linear trac¸o, tr : Mn×n(K) −→ K, e´ definida
por tr(A) =
n∑
j=1
ajj, para cada A = (aij) ∈Mn×n(K).
No pro´ximo Exemplo, usando essa func¸a˜o, vamos construir um produto
interno em Mn×n(K).
Exemplo 4
Sejam A,B ∈ Mn×n(K). Definimos 〈A,B〉 = tr(AB∗). Vamos mostrar que
esta func¸a˜o e´ um produto interno em Mn×n(K). De fato, temos as seguintes
propriedades, para A,B, C ∈Mn×n(K) e λ ∈ K:
(a)
〈A,B+ C〉 (1)= tr(A(B+ C)∗)
(2)
= tr(A(B∗ + C∗))
(3)
= tr(AB∗ +AC∗)
(4)
= tr(AB∗) + tr(AC∗)
(5)
= 〈A,B〉+ 〈A,C〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
do produto interno; em (2),
que a adjunta da soma e´ a
soma das adjuntas; em (3), a
distributividade emMn×n(K); em (4), que trac¸o
e´ linear e em (5), a definic¸a˜o
do produto interno.
(b)
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Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
〈λ ·A,B〉 (1)= tr((λ ·A)B∗)
(2)
= tr(λ · (AB∗))
(3)
= λ · tr(AB∗)
(4)
= λ · 〈A,B〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
do produto interno; em (2),
propriedade da multiplicac¸a˜o
de um escalar em K por um
produto de matrizes; em (3),
que a func¸a˜o trac¸o e´
K-linear; em (4), a definic¸a˜o
do produto interno.
(c)
〈B,A〉 (1)= tr(BA∗)
(2)
= tr(BAt)
(3)
= tr(B ·At)
(4)
= tr(BAt)
(5)
= tr(BAt)
(6)
= tr((AB
t
)t)
(7)
= tr(AB
t
)
(8)
= tr(AB∗)
(9)
= 〈A,B〉
Em (1) usamos a definic¸a˜o
do produto interno; em (2),
a definic¸a˜o de adjunta; em
(3) e (4), propriedades da
conjugada de matrizes; em
(5) que tr(C) = tr(C); em
(6), propriedade da
transposta; em (7), que
tr(Ct) = tr(C); em (8) a
definic¸a˜o de adjunta e em
(9), a definic¸a˜o do produto
interno.
(d) Seja A = (aij), para i, j = 1, . . . , n. Enta˜o, A
∗ = (aji) e
〈A,A〉 = tr(AA∗)
=
n∑
j=1
(A ·A∗)jj
=
n∑
j=1
(
n∑
k=1
ajkajk
)
=
n∑
j=1
(
n∑
k=1
|ajk|
2
)
≥ 0.
Mais ainda, 〈A,A〉 = 0 se, e somente se,
n∑
j=1
(
n∑
k=1
|ajk|
2
)
= 0 se, e somente
se, |ajk|
2 = 0, para j, k = 1, . . . , n se, e somente se, ajk = 0, para j, k =
1, . . . , n se, e somente se, A = 0.
Definic¸a˜o 3 (Norma)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Para cada v ∈ V, a
norma de v e´ o nu´mero real definido por ‖v‖ =
√
〈v, v〉.
Exemplo 5
No Rn com o produto interno usual, para cada v = (x1, . . . , xn), temos
xj ∈ R, para j = 1, . . . , n, e ‖v‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n.
Exemplo 6
No Cn com o produto interno usual, para cada v = (z1, . . . , zn), temos zj ∈ C,
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Produto interno
para j = 1, . . . , n, e ‖v‖ = √|z1|2 + · · ·+ |zn|2.
Escrevendo zj = aj + bji, com aj, bj ∈ R temos que |zj|2 = a2j + b2j , para
j = 1, . . . , n, e ‖v‖ =
√
(a21 + b
2
1) + · · ·+ (a2n+ b2n).
Proposic¸a˜o 2 (Propriedades da norma)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Valem as seguintes
propriedades, para quaisquer v ∈ V e λ ∈ K:
(a) ‖λ · v‖ = |λ| · ‖v‖;
(b) ‖v‖ > 0, para v 6= 0V.
Demonstrac¸a˜o:
(a) ‖λ ·v‖2 = 〈λ ·v, λ ·v〉 = λ ·〈v, λ ·v〉 = (λ ·λ) ·〈v, v〉 = |λ|2 ·‖v‖2 = (|λ| ·‖v‖)2.
Logo, ‖λ · v‖ = |λ| · ‖v‖.
(b) ‖v‖2 = 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 se, e somente se, v = 0V. Logo, ‖v‖2 > 0,
se v 6= 0V. Portanto, ‖v‖ > 0, se v 6= 0V. �
Teorema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Enta˜o,
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖.
Demonstrac¸a˜o: Se v = 0V, enta˜o a desigualdade e´ va´lida.
Suponhamos v 6= 0V.
Seja w = u− 〈u,v〉‖v‖2 v.
Enta˜o, 〈w, v〉 = 〈u, v〉− 〈u,v〉‖v‖2 〈v, v〉 = 0 e
0 ≤ 〈w,w〉 =
〈
w,u−
〈u,v〉
‖v‖2 v
〉
= 〈w,u〉− 〈u,v〉‖v‖2 〈w, v〉
= 〈w,u〉
=
〈
u −
〈u,v〉
‖v‖2 v, u
〉
= 〈u, u〉− 〈u,v〉‖v‖2 〈v, u〉
= ‖u‖2− |〈u,v〉|2‖v‖2 .
〈w,v〉 = 0
〈v,u〉 = 〈u,v〉.
Logo, 0 ≤ ‖u‖2 − |〈u,v〉|2‖v‖2 . Assim, 0 ≤ ‖u‖2‖v‖2 − |〈u, v〉|2, que e´
equivalente a |〈u, v〉|2 ≤ ‖u‖2‖v‖2. Portanto, |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖. �
Lembre que se x,a ∈ R e
a≥ 0, enta˜o |x|≤ a e´
equivalente a
−a≤ x≤ a.
Observac¸a˜o: Seja V um R-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉, isto e´, um
espac¸o vetorial euclidiano. Enta˜o, para quaisquer u, v ∈ V, temos que 〈u, v〉
e´ um nu´mero real e a desigualdade de Cauchy-Schwarz |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ e´
equivalente a
−‖u‖ ‖v‖ ≤ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖.
Quando u 6= 0V e v 6= 0V, enta˜o ‖u‖ ‖v‖ 6= 0 e
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Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
−1 ≤ 〈u,v〉‖u‖ ‖v‖ ≤ 1.
Portanto, existe um u´nico θ ∈ [0, π] tal que cosθ = 〈u,v〉‖u‖ ‖v‖ .
Nesse caso, chamamos θ de aˆngulo entre u e v.
Exemplo 7
Sejam u = (1,−1, 0, 0), v = (1, 0, 0, 0), w = (1, 1, 0, 0) ∈ R4 com o produto
interno usual.
Temos ‖u‖ = √12 + (−1)2 + 02 + 02 = √2, ‖v‖ = √12 + 02 + 02 + 02 =√
1 = 1, ‖w‖ = √12 + 12 + 02 + 02 = √2, 〈u, v〉 = 1·1+(−1)·0+0·0+0·0 = 1
e 〈u,w〉 = 1 · 1+ (−1) · 1+ 0 · 0+ 0 · 0 = 0.
Logo, cosθ = 〈u,v〉‖u‖·‖v‖ =
1√
2
=
√
2
2
e cos θ′ = 〈u,w〉‖u‖·‖w‖ =
0√
2·√2 =
0
2
= 0.
Enta˜o, o aˆngulo entre u e v e´ θ = π
4
e o aˆngulo entre u e w e´ θ′ = π
2
.
Proposic¸a˜o 3 (Desigualdade triangular)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Para quaisquer u, v
em V, temos
‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.
Demonstrac¸a˜o:
0 ≤ ‖u+ v‖2 = 〈u+ v, u+ v〉
= 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉
= ‖u‖2+ 〈u, v〉+ 〈u, v〉+ ‖v‖2
= ‖u‖2+ 2Re(〈u, v〉) + ‖v‖2
≤ ‖u‖2+ 2|Re(〈u, v〉)| + ‖v‖2
≤ ‖u‖2+ 2|〈u, v〉| + ‖v‖2
≤ ‖u‖2+ 2‖u‖ ‖v‖+ ‖v‖2
= (‖u‖+ ‖v‖)2 . �
Se z=a+bi∈ C, enta˜o
z+z= 2a= 2Re(z) e
|z|2 = z · z
= a2 +b2
≥ a2 = (Re(z))2.
Logo, |z|≥ |Re(z)|.
Com o conceito de norma podemos definir uma me´trica em um espac¸o
vetorial com produto interno.
Definic¸a˜o 4 (Distaˆncia)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Para u, v ∈ V,
definimos a distaˆncia d(u, v) entre u e v por
d(u, v) = ‖u− v‖.
Proposic¸a˜o 4 (Propriedades da distaˆncia)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. A func¸a˜o distaˆncia
tem as seguintes propriedades, para quaisquer u, v,w ∈ V:
(a) d(u, v) ≥ 0;
(b) d(u, v) = d(v, u);
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A´lgebra Linear II
Produto interno
(c) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).
Demonstrac¸a˜o:
(a) d(u, v) = ‖u− v‖ ≥ 0.
(b) d(u, v) = ‖u− v‖ = ‖(−1) · (v− u)‖ = | − 1| · ‖(v− u)‖ = d(v, u).
(c)
d(u, v) = ‖u− v‖
= ‖(u−w) + (w− v)‖
≤ ‖u−w‖+ ‖w− v‖
= d(u,w) + d(w, v). �
A desigualdade segue da
desigualdade triangular.
Motivados pela definic¸a˜o de aˆngulo em espac¸os vetoriais euclidianos
vamos definir o conceito de ortogonalidade em espac¸os vetoriais com produto
interno euclidianos ou hermitianos.
Definic¸a˜o 5 (Vetores ortogonais)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Dizemos que os
vetores u, v ∈ V sa˜o ortogonais se, e somente se, 〈u, v〉 = 0.
Exemplo 8
No R3 com o produto interno usual os vetores u = (1, 1, 1) e v = (1,−1, 0)
sa˜o ortogonais, pois 〈u, v〉 = 1 · 1+ 1 · (−1) + 1 · 0 = 1− 1+ 0 = 0.
Exemplo 9
Sejam f(t) = cos(πt) e g(t) = sen(πt) em C([0, 1]) com o produto interno
〈f, g〉 =
∫1
0
f(t)g(t)dt. Temos que∫1
0
f(t)g(t)dt =
∫1
0
cos(πt) sen(πt)dt
=
∫1
0
1
2
sen(2πt)dt
=
[
−
cos(2πt)
4π
]1
0
= 0.
Logo, essas func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [0, 1] sa˜o ortogonais.
Exemplo 10
Em qualquer espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 temos
〈0V, v〉 = 〈v, 0V〉 = 0,
para todo v ∈ V. Logo, 0V e´ vetor ortogonal a qualquer vetor de V.
Definic¸a˜o 6 (Conjunto ortogonal ou ortonormal)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Consideremos o
conjunto S = {v1, . . . , vn} ⊂ V. S e´ chamado ortogonal se, e somente se,
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UFF 104
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
〈vj, vk〉 = 0, para todo 1 ≤ j 6= k ≤ n. S e´ chamado ortonormal se, e
somente se, e´ ortogonal e ‖vj‖ = 1, para todo j = 1, . . . , n.
Exemplo 11
Consideremos o R3 com o produto interno usual.
O conjunto {(1, 1, 1), (1,−1, 0), (1, 1,−2)} e´ ortogonal.
O conjunto
{
( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
), ( 1√
2
,− 1√
2
, 0), ( 1√
6
, 1√
6
,− 2√
6
)
}
e´ ortonormal.
Definic¸a˜o 7 (Vetor unita´rio)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. O vetor v ∈ V e´
chamado de unita´rio se, e somente se, ‖v‖ = 1.
Exemplo 12
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Para cada v ∈ V,
v 6= 0V, os vetores v‖v‖ e − v‖v‖ teˆm norma 1 e sa˜o chamados de unita´rios da
direc¸a˜o de v.
Proposic¸a˜o 5 (Propriedades de conjuntos ortogonais ou ortonormais)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Seja {v1, . . . , vn} ⊂ V
um conjunto ortogonal de vetores na˜o-nulos. Enta˜o:
(a) {v1, . . . , vn} e´ linearmente independente;
(b) Seja W = [v1, . . . , vn]. Enta˜o,
w ∈W se, e somente se, w = 〈w, v1〉〈v1, v1〉v1 + · · ·+
〈w, vn〉
〈vn, vn〉vn.
Em particular, se {v1, . . . , vn} e´ conjunto ortonormal, enta˜o {v1, . . . , vn}
e´ linearmente independente sobre K e
w ∈W se, e somente se, w = 〈w, v1〉v1 + · · ·+ 〈w, vn〉vn.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Sejam a1, . . . , an ∈ K e suponhamos que
0V = a1v1 + · · ·+ anvn.
Enta˜o, para cada j = 1, . . . , n, temos〈vk,vj〉 = 0, para k 6= j.0 = 〈0V, vj〉 =
〈 n∑
k=1
akvk, vj
〉
=
n∑
k=1
ak〈vk, vj〉 = aj〈vj, vj〉 = aj‖vj‖2.
Como vj 6= 0V, temos que ‖vj‖ 6= 0 e aj = 0, para todo j = 1, . . . , n.
(b) Seja W = [v1, . . . , vn]. Temos que w ∈ W se, e somente se, existem a1,
. . . , an ∈ K tais que w = a1v1 + · · ·+ anvn.
Logo, para cada j = 1, . . . , n, temos que
〈w, vj〉 =
〈 n∑
k=1
akvk, vj
〉
=
n∑
k=1
ak〈vk, vj〉 = aj〈vj, vj〉.
Instituto de Matema´tica
105 UFF
A´lgebra Linear II
Produto interno
Como vj 6= 0V, temos que 〈vj, vj〉 6= 0, aj = 〈w,vj〉〈vj,vj〉 , para j = 1, . . . ,n, e
w =
〈w,v1〉
〈v1,v1〉v1 + · · ·+
〈w,vn〉
〈vn,vn〉vn.
A u´ltima afirmac¸a˜o e´ o´bvia. �
Exemplo 13
Consideremos C2 com o produto interno usual.
O conjunto β = {v1 = (1, i), v2 = (1,−i)} e´ uma base ortogonal de C
2, pois
dimC C
2 = 2, 〈v1, v2〉 = 1 · 1+ i · (−i) = 1+ i2 = 1−1 = 0 e, pela Proposic¸a˜o
anterior, β e´ C-linearmente independente.
Definic¸a˜o 8 (Complemento ortogonal)
Sejam V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 e seja W um sub-
espac¸o de V. O complemento ortogonal de W e´ o conjunto
W⊥ = {v ∈ V ; 〈v,w〉 = 0, para todo w ∈W}.
Exemplo 14
Se W = {0V}, enta˜o W
⊥ = V.
Exemplo 15
Temos que V⊥ = {0V}. De fato, seja u ∈ V⊥. Logo, 〈u, v〉 = 0, para todo
v ∈ V. Em particular, tomando v = u, temos que 〈u, u〉 = 0. Enta˜o,
‖u‖ = 0 e u = 0V. Portanto, V⊥ = {0V}.
Exemplo 16
Se W = [(1, 1)] ⊂ R2, enta˜o W⊥ = {(x, y) ∈ R2 ; x+ y = 0}.
Geometricamente, W e´ a reta de equac¸a˜o y = x e W⊥ e´ a reta y = −x.
Exemplo 17
Se W = [(1, 1,−1)] ⊂ R3, enta˜o
W⊥ = {v = (x, y, z) ∈ R3 ; 〈v,w〉 = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; 〈(x, y, z), (a, a,−a)〉= 0, para todo a ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; ax+ ay− az = a(x+ y − z) = 0, para todo a ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ y− z = 0}.
Geometricamente, W e´ a reta r pela origem gerada por (1, 1,−1) e W⊥ e´ o
plano pela origem ortogonal a` reta r.
Proposic¸a˜o 6 (Propriedades do complemento ortogonal)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. SejaW um subespac¸o
de V. Valem as seguintes propriedades:
(a) W⊥ e´ um subespac¸o de V.
(b) Se W = [w1, . . . , wr], enta˜o
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UFF 106
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
W⊥ = {v ∈ V ; 〈v,wj〉 = 0, para j = 1, . . . , r}.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Como 0 = 〈0V, w〉, para todo w ∈W, enta˜o 0V ∈W⊥. Sejam u, v ∈W⊥.
Enta˜o, para qualquer w ∈ W , temos 〈u,w〉 = 0, 〈v,w〉 = 0 e 〈u + v,w〉 =
〈u,w〉 + 〈v,w〉 = 0 + 0 = 0. Logo, u + v ∈ W⊥. Para qualquer a ∈ K e
qualquer w ∈W, temos 〈a · u,w〉 = a〈u,w〉 = a · 0 = 0. Logo a · u ∈W⊥.
(b) Seja U = {v ∈ V ; 〈v,wj〉 = 0, para j = 1, . . . , r}.
Vamos mostrar que U = W⊥.
Seja v ∈ W⊥. Como 〈v,w〉 = 0, para todo w ∈ W, e wj ∈ W, para
j = 1, . . . , r, enta˜o 〈v,wj〉 = 0, para j = 1, . . . , r, logo v ∈ U, mostrando que
W⊥ ⊂ U.
Sejam v ∈ U e a1, . . . , ar ∈ K. Consideremos w = a1w1 + · · ·+ arwr.
Enta˜o, 〈v,w〉 =
〈
v,
r∑
j=1
ajwj
〉
=
r∑
j=1
aj · 〈v,wj〉 =
r∑
j=1
aj · 0 = 0. Como na˜o
ha´ restric¸a˜o quanto aos valores de aj em K, temos que w assume todos os
valores poss´ıveis em W. Assim, 〈v,w〉 = 0, para todo w ∈ W. Portanto,
v ∈W⊥, mostrando que U ⊂W⊥. �
Exemplo 18
Consideremos W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y− z = 0}.
Enta˜o, W = {(x, y, z) ∈ R3 ; 〈(x, y, z), (1, 1,−1)〉 = 0}.
Geometricamente, W e´ o plano passando pela origem perpendicular a` reta r
gerada por (1, 1,−1).
Assim, W⊥ = [(1, 1,−1)] e´ a reta r.
Exemplo 19
Seja W = { (x, y, z,w) ∈ R4 ; x+ y+ z−w = 0 e x− y+ z−w = 0}.
Vamos determinar equac¸o˜es para W⊥.
Primeiramente, constru´ımos uma base deW. Sabemos que dimR W = 2, pois
W e´ o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo de r = 2 equac¸o˜es
com n = 4 inco´gnitas, cujo grau de liberdade e´ dimR W = n− r = 2.
Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema obtemos:
(
1 1 1 −1
1 −1 1 −1
)
∼
(
1 1 1 −1
0 −2 0 0
)
∼
(
1 1 1 −1
0 1 0 0
)
∼
(
1 0 1 −1
0 1 0 0
)
Logo,
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107 UFF
A´lgebra Linear II
Produto interno
W = { (x, y, z,w) ∈ R4 ; x + z−w = 0 e y = 0}
= { (x, y, z,w) ∈ R4 ; x = −z +w e y = 0}
= { (−z+w, 0, z,w) ; z,w ∈ R}
= { (−z, 0, z, 0) + (w, 0, 0,w) ; z,w ∈ R}
= { z(−1, 0, 1, 0) +w(1, 0, 0, 1) ; z,w ∈ R}.
Portanto, W = [(−1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)]. Pelo item (b) da Proposic¸a˜o ante-
rior, temos que W⊥ = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; −x + z = 0 e x+w = 0}.
Proposic¸a˜o 7 (Propriedade adicional do complemento ortogonal)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 e dimKV = n. Seja
W um subespac¸o de V. Enta˜o,V = W ⊕W⊥.
Demonstrac¸a˜o: Devemos mostrar que W ∩W⊥ = {0V} e V = W +W⊥.
Seja v ∈W ∩W⊥. Enta˜o, 〈v,w〉 = 0, para todo w ∈W, pois v ∈W⊥.
Como v ∈ W, podemos tomar w = v e assim, 0 = 〈v, v〉 = ‖v‖2. Logo,
v = 0V e W ∩W⊥ = {0V}.
Se W = {0V}, enta˜o W
⊥ = V e, claramente, V = W ⊕W⊥.
〈wk,wj〉 = δkj , onde
δkj =
{
1, se k= j
0, se k 6= j.
A seguir mostraremos que e´
sempre poss´ıvel construir
uma base ortonormal em
espac¸os vetoriais na˜o-nulos
de dimensa˜o finita com
produto interno.
Suponhamos que W 6= {0V}. Como dimKV = n, enta˜o dimKW = r,
para algum r, tal que 1 ≤ r ≤ n. Seja {w1, . . . , wr} uma base ortonormal de
W.
Dado v ∈ V, consideremos projW(v) =
r∑
k=1
〈v,wk〉wk.
Primeiramente, observamos que, para cada j = 1, . . . , r, temos que
〈projW(v), wj〉 = 〈v,wj〉, pois
〈projW(v),wj〉 =
〈 r∑
k=1
〈v,wk〉wk,wj
〉
=
r∑
k=1
〈v,wk〉〈wk,wj〉
=
r∑
k=1
〈v,wk〉δkj
= 〈v,wj〉.
E´ claro que projW(v) ∈ W. Definimos u = v − projW(v). Afirmamos
que u ∈W⊥.
De fato,
〈u,wj〉 = 〈v− projW(v), wj〉
= 〈v,wj〉− 〈projW(v), wj〉
= 〈v,wj〉− 〈v,wj〉
= 0.
Portanto, v = projW(v) + u ∈W +W⊥, logo V = W +W⊥.
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UFF 108
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Como a soma e´ uma soma direta, segue que
dimKW
⊥ = dimKV − dimKW. �
A demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o anterior motiva a definic¸a˜o de projec¸a˜o
ortogonal de um vetor v ∈ V sobre um subespac¸o W de V.
Definic¸a˜o 9 (Projec¸a˜o ortogonal de v sobre W)
Seja V um K-espac¸o vetorial de dimensa˜o finita com produto interno 〈 , 〉 e
seja W 6= {0V} um subespac¸o de V. Para cada v ∈ V, a projec¸a˜o ortogonal
de v sobre W e´ o vetor
projW(v) = 〈v,w1〉w1 + · · ·+ 〈v,wr〉wr,
onde {w1, . . . , wr} e´ uma base ortonormal de W.
Vamos ilustrar o conceito acima com os nossos conhecimentos de vetores
no plano e espac¸o, aprendidos num curso de Geometria Anal´ıtica. E´ muito
importante a projec¸a˜o ortogonal sobre a direc¸a˜o de um vetor do plano ou do
espac¸o, em virtude de poder significar a componente de uma forc¸a.
Exemplo 20
Seja w ∈ V, w 6= 0V, e seja W = [w]. Dado v ∈ V, a projec¸a˜o ortogonal
de v sobre W, denotada por projW(v), e´ o vetor da direc¸a˜o de w tal que
u = v− projW(v) e´ ortogonal a w.
--�
�
�
�
�
�
�
��36
wprojW(v)
u = v− projW(v)
v
Assim, existe a ∈ K tal que projW(v) = aw e 0 = 〈u,w〉. Portanto,
0 = 〈u,w〉 = 〈v− projW(v), w〉 = 〈v− aw,w〉 = 〈v,w〉− a〈w,w〉.
Logo, a = 〈v,w〉〈w,w〉 e projW(v) =
〈v,w〉
〈w,w〉w.
Observamos que definindo w1 =
w
‖w‖ , temos
projW(v) =
〈v,w〉
〈w,w〉 w =
〈v,w〉
‖w‖2 w =
〈
v, w‖w‖
〉
w
‖w‖ = 〈v,w1〉w1.
Exemplo 21
Vamos determinar a projec¸a˜o ortogonal de v = (1, 2) sobre o subespac¸o W
do R2 gerado por w = (1,−1).
Como 〈w,w〉 = 1 · 1 + (−1) · (−1) = 2, enta˜o ‖w‖ = √2 e o vetor w1 =
1
‖w‖w =
(
1√
2
,− 1√
2
)
e´ um unita´rio na direc¸a˜o de w e e´ uma base ortonormal
de W.
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A´lgebra Linear II
Produto interno
Assim,
projW(v) = 〈v,w1〉w1
=
〈
(1, 2),
(
1√
2
,− 1√
2
)〉(
1√
2
,− 1√
2
)
=
(
1 · 1√
2
+ 2 ·
(
− 1√
2
))(
1√
2
,− 1√
2
)
= − 1√
2
(
1√
2
,− 1√
2
)
=
(
−1
2
, 1
2
)
Exemplo 22
Vamos determinar a projec¸a˜o ortogonal de v = (1, 2, 1) sobre o plano Π de
equac¸a˜o x+ y− z = 0.
Todo plano passando pela origem e´ um subespac¸o do R3 de dimensa˜o 2.
Primeiramente, vamos construir uma base ortonormal para o plano dado.
Escolhemos v1 ∈ Π, v1 6= (0, 0, 0), digamos v1 = (1, 1, 2).
Agora procuramos v2 = (a, b, c) 6= (0.0.0), tal que
v2 ∈ Π⇐⇒ a+ b− c = 0 e
〈v1, v2〉 = 0⇐⇒ a+ b+ 2c = 0.
Portanto, v2 e´ uma soluc¸a˜o na˜o-nula do sistema linear homogeˆneo
acima.
Reduzindopor linhas a matriz associada ao sistema, obtemos:(
1 1 2
1 1 −1
)
∼
(
1 1 2
0 0 −3
)
∼
(
1 1 2
0 0 1
)
∼
(
1 1 0
0 0 1
)
.
Logo, a+ b = 0 e c = 0. Enta˜o, v2 = (a,−a, 0), onde a ∈ R e a 6= 0.
Escolhemos v2 = (1,−1, 0). Como {v1, v2} e´ uma base ortogonal de Π,
‖v1‖ =
√
6 e ‖v2‖ =
√
2, temos que{
w1 =
v1
‖v1‖ =
(
1√
6
, 1√
6
, 2√
6
)
, w2 =
v2
‖v2‖ =
(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)}
e´ uma base ortonormal de Π. Logo,
projΠ(v) = 〈v,w1〉w1 + 〈v,w2〉w2
= 1+2+2√
6
(
1√
6
, 1√
6
, 2√
6
)
+ 1−2√
2
(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
=
(
5
6
, 5
6
, 10
6
)
+
(
−1
2
, 1
2
, 0
)
=
(
1
3
, 4
3
, 5
3
)
.
Agora vamos justificar a existeˆncia de bases ortonormais em espac¸os
vetoriais na˜o-nulos de dimensa˜o finita. A partir de uma base qualquer do
espac¸o vetorial, constru´ımos uma base ortonormal, pelo processo de ortonor-
malizac¸a˜o de Gram-Schmidt.
M.L.T.Villela
UFF 110
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Teorema 2 (Gram-Schmidt)
Todo K-espac¸o vetorial V na˜o-nulo de dimensa˜o finita com produto interno
〈 , 〉 admite uma base ortonormal.
Demonstrac¸a˜o: Como todo espac¸o vetorial V 6= {0V} tem uma base e dimensa˜o
de V e´ finita, enta˜o escolhemos {v1, . . . , vn} uma base de V.
Tome u1 = v1 e seja w1 =
u1
‖u1‖ .
Construiremos u2 ortogonal a w1 e no espac¸o gerado por v1 e v2. Seja
u2 6= 0V , pois v2 6∈ [w1].
u2 = v2 − 〈v2, w1〉w1 ∈ [w1]⊥ = [v1]⊥.
Seja w2 =
u2
‖u2‖ .
Observamos que [v1, v2] = [w1, v2] = [w1, u2] = [w1, w2].
Construiremos u3 ortogonal a w1 e w2 e no espac¸o gerado por v1, v2 e
v3. Seja
u3 = v3 − (〈v3, w1〉w1 + 〈v3, w2〉w2) ∈ [w1, w2]⊥ = [v1, v2]⊥.
u3 6= 0V , pois v3 6∈ [w1,w2].
Seja w3 =
u3
‖u3‖ .
Observamos que [v1, v2, v3] = [w1, w2, v3] = [w1, w2, u3] = [w1, w2, w3].
Suponhamos constru´ıdo wr, onde 1 ≤ r < n, com [v1, . . . , vr] =
[w1, . . . , wr] Definimos
ur+1 = vr+1 − (〈vr+1, w1〉w1 + · · ·+ 〈vr+1, wr〉wr),
com ur+1 ∈ [w1, . . . , wr]⊥ = [v1, . . . , vr]⊥.
Tomamos wr+1 =
ur+1
‖ur+1‖ .
Continuamos o processo, ate´ que todos os vetores da base escolhida
inicialmente tenham sido utilizados. �
Exemplo 23
Vamos construir uma base ortonormal para
W = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; x+ y+ z−w = 0}.
Como
W = {(x, y, z, x+ y+ z) ; x, y, z ∈ R}
= {x(1, 0, 0, 1) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1) ; x, y, z ∈ R}, ,
enta˜o {v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0, 1), v3 = (0, 0, 1, 1)} e´ uma base de W.
Seja w1 =
v1
‖v1‖ =
(
1√
2
, 0, 0, 1√
2
)
.
Temos
u2 = v2 − 〈v2, w1〉w1
= (0, 1, 0, 1) − 1√
2
(
1√
2
, 0, 0, 1√
2
)
= (0, 1, 0, 1) −
(
1
2
, 0, 0, 1
2
)
=
(
−1
2
, 1, 0, 1
2
)
.
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111 UFF
A´lgebra Linear II
Produto interno
Como ‖u2‖ =
√
1
4
+ 1+ 1
4
=
√
6
4
=
√
6
2
, enta˜o w2 =
u2
‖u2‖ =
1√
6
(−1, 2, 0, 1).
Temos
u3 = v3 − 〈v3, w1〉w1− 〈v3, w2〉w2)
= (0, 0, 1, 1) − 1√
2
(
1√
2
, 0, 0, 1√
2
)
− 1√
6
· 1√
6
(−1, 2, 0, 1)
= (0, 0, 1, 1) +
(
−1
2
, 0, 0,−1
2
)
+
(
1
6
,−2
6
, 0,−1
6
)
=
(
−1
3
,−1
3
, 1, 1
3
)
Temos ‖u3‖ =
√
1
9
+ 1
9
+ 1+ 1
9
=
√
4
3
= 2√
3
ew3 =
u3
‖u3‖ =
√
3
2
(
−1
3
,−1
3
, 1, 1
3
)
.
Obtemos, que {w1, w2, w3} e´ uma base ortonormal de W.
Encerramos com o Teorema de representac¸a˜o de funcionais lineares
(transformac¸o˜es lineares de V em K.
Teorema 3 (Representac¸a˜o de funcionais lineares)
Seja V um K-espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1. Se ϕ : V −→ K e´ um
funcional linear, enta˜o existe um u´nico uϕ ∈ V, tal que ϕ(v) = 〈v, uϕ〉, para
todo v ∈ V.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que exista um tal elemento uϕ ∈ V. Seja
{v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V e escreva uϕ =
n∑
k=1
xkvk. Como
ϕ(v) = 〈v, uϕ〉, para todo v ∈ V, em particular,
δjk =
{
1, se j= k
0, se j 6= k.
ϕ(vj) = 〈vj, uϕ〉
=
〈
vj,
n∑
k=1
xkvk
〉
=
n∑
k=1
xk〈vj, vk〉
=
n∑
k=1
xkδjk
= xj.
Assim, xj = xj = ϕ(vj).
Definimos, dessa maneira, uϕ :=
n∑
k=1
ϕ(vk)vk. Consideremos a func¸a˜o
T : V −→ K
v 7−→ 〈v, uϕ〉.
Segue das propriedades do produto interno, que T e´ K-linear. Temos que
T(vj) = 〈vj, uϕ〉 =
〈
vj,
n∑
k=1
ϕ(vk)vk
〉
=
n∑
k=1
ϕ(vk)〈vj, vk〉 =
n∑
k=1
ϕ(vk)δjk =
ϕ(vj). Como toda transformac¸a˜o linear esta´ perfeitamente determinada pelos
seus valores numa base, enta˜o T = ϕ. �
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UFF 112
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Exemplo 24
Seja ϕ : R3 −→ R definida porϕ(x, y, z) = 2x+3y+5z. Enta˜o, uϕ = (2, 3, 5)
e, para todo v = (x, y, z) ∈ R3, ϕ(v) = 〈v, uϕ〉.
Exemplo 25
Seja ϕ : C2 −→ C definida por ϕ(x, y) = (2 − 3i)x + (3 + 4i)y. Enta˜o, ϕ e´
C-linear e
ϕ(x, y) = x(2+ 3i) + y(3− 4i) = 〈(x, y), (2+ 3i, 3− 4i)〉.
Da unicidade de uϕ temos que uϕ = (2+ 3i, 3− 4i).
Exerc´ıcios
1. Mostre que f e´ um produto interno em V = R2, onde u = (x1, x2),
v = (y1, y2) e f(u, v) = 2x1y1 + x2y1 + x1y2 + x2y2.
2. Sejam p(t) = a0 + a1t + · · · + antn e q(t) = b0 + b1t + · · · + bntn
polinoˆmios quaisquer de Pn(R). Mostre que a func¸a˜o definida por
〈p(t), q(t)〉 = a0b0 + a1b1 + · · ·+ anbn
e´ um produto interno em Pn(R).
3. Seja V o espac¸o vetorial real das matrizes 2× 1 com coeficientes reais.
Seja A ∈ M2×2(R). Para X, Y ∈ V, definimos fA(X, Y) = YtAX, onde
Yt e´ a transposta de Y.
Mostre que fA e´ um produto interno em V se, e somente se, A = A
t,
a11 > 0, a22 > 0 e det(A) > 0, onde A =
(
a11 a12
a21 a22
)
.
4. Seja V = M2×2(R).
(a) Mostre que 〈A,B〉 = tr(BtA) e´ um produto interno em V, onde
tr(A) = a11 + a22.
(b) Determine a expressa˜o de 〈A,B〉, escrevendo A =
(
a11 a12
a21 a22
)
e B =
(
b11 b12
b21 b22
)
.
(c) Dadas A =
(
1 1
0 1
)
e B =
(
1 0
0 0
)
, determine 〈A,B〉, ‖A‖,
‖B‖ e d(A,B) = ‖A− B‖.
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113 UFF
A´lgebra Linear II
Produto interno
5. Seja V um C-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉.
Mostre que 〈v,w〉 = Re(〈v,w〉) + iRe(〈v, iw〉).
6. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Mostre que va-
lem as seguintes igualdades, conhecidas com identidades de polarizac¸a˜o,
para quaisquer v,w ∈ V:
Seja z=a+ ib∈ C.
Definimos Re(z) =a e
Im(z) =b.
(a) (Caso real: K = R) 〈v,w〉 = 1
4
‖v+w‖2 − 1
4
|v−w‖2.
(b) (Caso complexo: K = C)
〈v,w〉 = 1
4
‖v+w‖2 − 1
4
‖v−w‖2 + i
4
‖v+ iw‖2 − i
4
‖v− iw‖2.
Sugesta˜o: Use o Exerc´ıcio anterior.
7. Sejam V um R-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 e T : V −→ V
um isomorfismo. Mostre que pT(u, v) = 〈T(u), T(v)〉 e´ um produto
interno em V.
Lembramos que o corpo K e´
R ou C.
8. Mostre as seguintes propriedades da adjunta:
(a) (A+ B)∗ = A∗ + B∗, para quaisquer A,B ∈Mm×n(K).
(b) (AB)∗ = B∗A∗, para quaisquer A ∈Mm×p(K) e B ∈Mp×n(K).
(c) (A∗)∗ = A, para qualquer A ∈Mm×n(K).
9. Seja V = Mn×1(K). Seja Q uma matriz invert´ıvel de ordem n com
coeficientes em K. Para X, Y ∈ V , definimos 〈X, Y〉 = Y∗Q∗QX.
(a) Mostre que 〈 , 〉 e´ um produto interno em V.
(b) Escreva a fo´rmula do produto interno em V, nos casos Q = I e
K = C ou K = R.
10. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉. Mostre que:
(a)
〈 n∑
j=1
λj·uj, v
〉
=
n∑
j=1
λj·〈uj, v〉, para quaisquer λj ∈ K e v, uj ∈ V,
para j = 1, . . . , n.
(b)
〈
u,
n∑
j=1
λj·vj
〉
=
n∑
j=1
λj·〈u, vj〉, para quaisquer λj ∈ K e u, vj ∈ V,
para j = 1, . . . , n.
(c)
〈 m∑
j=1
λj · uj,
n∑
k=1
ξk · vk
〉
=
m∑
j=1
n∑
k=1
λj · ξk〈uj, vk〉, para quaisquer
uj, vk ∈ V e λj, ξk ∈ K, onde j = 1, . . . ,m e k = 1, . . . , n.
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UFF 114
Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
11. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R3 para mostrar que se
a > 0, b > 0 e c > 0, enta˜o
(a+ b+ c) · ( 1
a
+ 1
b
+ 1
c
) ≥ 9.
12. Sejam a, b, c nu´meros reais positivos, tais que a + b + c = 1. Use a
desigualdade de Cauchy-Schwarz no R3 para mostrar que(
1
a
− 1
) (
1
b
− 1
) (
1
c
− 1
) ≥ 8.
13. Mostre o teorema de Pitago´ras: se u ⊥ v =⇒ ‖u+ v‖2 = ‖u‖2+ ‖v‖2.
14. Mostre a lei do paralelogramo: ‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2,
para quaisquer u, v ∈ (V, 〈 , 〉).
15. Sejam x, y ∈ Rn. Mostre que |〈x, y〉| = ‖x‖ · ‖y‖ se, e somente se,
{x, y} e´ linearmente dependente.
16. Prove que se |〈x, y〉| = ‖x‖+‖y‖, enta˜o {x, y} e´ linearmente dependente.
Deˆ exemplo mostrando que a rec´ıproca desta afirmac¸a˜o e´ falsa.
17.Sejam x, y ∈ Rn, prove que se (x + y) ⊥ (x− y), enta˜o ‖x‖ = ‖y‖.
Interprete geometricamente.
18. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉.
(a) Mostre que se 〈u, v〉 = 0, para todo v ∈ V, enta˜o u = 0V.
(b) Mostre que se u e´ ortogonal a v, enta˜o todo mu´ltiplo escalar de u
tambe´m e´ ortogonal a v.
19. Encontre um vetor unita´rio ortogonal a v1 = (1, 1, 2) e a v2 = (0, 1, 3)
em R3.
20. Seja B = {v1, . . . , vn} base ortogonal de um espac¸o euclidiano V.
Sejam u = α1v1 + · · ·+ αnvn e v = β1v1 + · · ·+ βnvn.
Calcule 〈u, v〉, onde 〈 , 〉 indica o produto interno de V.
21. Seja Kn com o produto interno usual. Seja A ∈Mn×n(K).
(a) Mostre que se C = AA∗, enta˜o Ckj = 〈Ak, Aj〉, onde Ak e´ a
k-e´sima linha de A.
(b) Mostre que se AA∗ = I, enta˜o as linhas e as colunas de A sa˜o
ortonormais.
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A´lgebra Linear II
Produto interno
22. Seja A ∈Mn×n(K). Dizemos que A e´ matriz unita´ria se, e somente se,
AA∗ = A∗A = I. Quando K = R chamamos uma matriz unita´ria de
matriz ortogonal e, nesse caso, AAt = AtA = I.
(a) Mostre que as seguintes matrizes com coeficientes reais sa˜o orto-
gonais:
(i)

 cosθ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1

 (ii)

 1 0 00 1/√5 2/√5
0 −2/
√
5 1/
√
5


(iii)


1/
√
2 1/
√
6 1/
√
3
−1/
√
2 1/
√
6 1/
√
3
0 −2/
√
6 1/
√
3


(b) Mostre que as seguintes matrizes com coeficientes complexos sa˜o
unita´rias:
(i)
(
1√
3
1−i√
3
1+i√
3
−1√
3
)
(ii)


1
2
i
2
1
2
− i
2
i√
2
1√
2
0
1
2
i
2
−1
2
+ i
2


23. Seja A ∈Mn×n(R). Mostre que se A e´ ortogonal, enta˜o det(A) = 1 ou
det(A) = −1.
24. Seja A ∈Mn×n(C). Mostre que se A e´ unita´ria, enta˜o det(A) = x+iy,
com x2 + y2 = 1.
25. Ache o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores de R3:
(a) u = (1, 1, 1), v = (1/2,−1, 1/2)
(b) u = (1,−1, 0), v = (2,−1, 2)
26. Em V = P3(R) com o produto interno 〈p, q〉 =
∫1
0
p(t)q(t)dt, deter-
mine o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores:
(a) p(t) = t3−t−1, q(t) = t2+1, (b) p(t) = 2, q(t) = t3+t+1
27. (a) Esboce o subconjunto S =
{
u ∈ R3; ‖u‖ = 1} de R3, onde ‖ ‖ e´
a norma definida a partir do produto interno usual de R3.
(b) Esboce o subconjunto S =
{
u ∈ R2; ‖u‖1 = 1
}
de R2, onde ‖.‖1
e´ a norma do produto interno 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = 19x1y1+ 14x2y2.
28. Sejam A = (1, 2,−1), B = (−1, 0,−1) e C = (2, 1, 2) ∈ R3.
(a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A.
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Produto interno
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
(b) Calcule a medida da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa
BC.
(c) Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativa ao ve´rtice A.
29. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A = (0, 1, 2),
B = (−1, 0,−1) e C = (2,−1, 0).
30. Ache uma base ortogonal para os subespac¸os de R3 gerados pelos ve-
tores:
(a) (1, 1,−1), (1, 0, 1) (b) (2, 1, 1), (1, 3, 1).
31. Ache uma base ortogonal para o espac¸o soluc¸a˜o de:
(a)
{
2x+ y+ z = 0
y+ z = 0
(b) x− y+ z = 0
32. Seja W o subespac¸o do R5 gerado por u = (1, 2, 3,−1, 2) e
v = (2, 4, 7, 2,−1). Determine uma base para o complemento orto-
gonal W⊥ de W.
33. Considere V = C([0, 1]) com produto interno dado pela integral. De-
termine uma base ortonormal para cada subespac¸o W:
(a) W e´ o subespac¸o gerado por f(t) = t, g(t) = t2.
(b) W e´ o subespac¸o gerado por f(t) = 1+ t, g(t) = t2.
(c) W e´ o subespac¸o gerado por f(t) = cos(2πt), g(t) = sen(2πt).
34. Seja ϕ : C2 −→ C definida por ϕ(x, y) = (2+ 3i)x−(1+ 2i)y. Mostre
que ϕ e´ C-linear e determine u ∈ C2 tal que ϕ(v) = 〈v, u〉, para todo
v ∈ C2.
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A´lgebra Linear II
Produto interno
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A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
Vamos introduzir o conceito de adjunta de uma transformac¸a˜o linear e
relacionar as suas representac¸o˜es matriciais.
Proposic¸a˜o 8
Sejam V e W K-espac¸os vetoriais na˜o-nulos de dimensa˜o finita com produto
interno e T : V −→W uma K-transformac¸a˜o linear. Enta˜o, existe uma u´nica
transformac¸a˜o K-linear T ∗ : W −→ V tal que
〈T(v), w〉 = 〈v, T ∗(w)〉, (⋆)
para quaisquer v ∈ V e w ∈W.
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente, observamos que se V = {0V}, enta˜o T = 0 e
a u´nica func¸a˜o F : W −→ V e´ definida por F(w) = 0V, e´ K-linear e tem a
propriedade (⋆), isto e´, F = 0 = T ∗. Analogamente, se W = {0W}, enta˜o
T(v) = 0W, para todo v ∈ V, e T ∗ = 0.
Podemos supor que dimKV = n ≥ 1 e dimKW = m ≥ 1.
(Unicidade) Suponhamos que exista T ∗ : W −→ V K-linear com a propri-
edade (⋆). Seja L : W −→ V K-linear tal que 〈T(v), w〉 = 〈v, L(w)〉, para
quaisquer v ∈ V e w ∈ W. Seja {w1, . . . , wm} uma base ortonormal de W e
seja {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V. Enta˜o,
〈vk, T ∗(wj)〉 = 〈T(vk), wj〉 = 〈vk, L(wj)〉,
para todo k = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.
Das propriedades do produto interno, temos que
0 = 〈vk, T ∗(wj) − L(wj)〉 = 〈vk, (T ∗ − L)(wj)〉,
para todo k = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m. Toda transformac¸a˜o linear
esta´ perfeitamente
determinada pelos seus
valores numa base do
domı´nio.
Portanto, para cada j = 1, . . . ,m, temos (T ∗ − L)(wj) ∈ V⊥ = {0V},
isto e´, (T ∗−L)(wj) = 0V, que e´ equivalente a T ∗(wj) = L(wj). Logo, T ∗ = L.
(Existeˆncia) Seja {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V. Para cada w ∈W,
definimos T ∗(w) =
n∑
j=1
〈w, T(vj)〉vj.
Vamos mostrar que T ∗ e´ K-linear e tem a propriedade (⋆). De fato,
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de T∗; em (2), propriedade
do produto interno em V;
em (3), a distributividade da
adic¸a˜o de escalares de K e a
multiplicac¸a˜o de vetores de
V; em (4), a comutatividade
e a associatividade da adic¸a˜o
de vetores em V; e em (5), a
definic¸a˜o de T∗.
T ∗(w+w′)
(1)
=
n∑
j=1
〈w+w′, T(vj)〉vj
(2)
=
n∑
j=1
(〈w, T(vj)〉+ 〈w′, T(vj)〉)vj
(3)
=
n∑
j=1
(〈w, T(vj)〉vj + 〈w′, T(vj)〉vj)
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A´lgebra Linear II
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
(4)
=
n∑
j=1
〈w, T(vj)〉vj +
n∑
j=1
〈w′, T(vj)〉vj
(5)
= T ∗(w) + T ∗(w′),
para quaisquer w,w′ ∈W.
T ∗(aw)
(1)
=
n∑
j=1
〈aw, T(vj)〉vj
(2)
=
n∑
j=1
a〈w, T(vj)〉vj
(3)
= a
( n∑
j=1
〈w, T(vj)〉vj
)
(4)
= aT ∗(w),
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de T∗; em (2), propriedade
do produto interno em V;
em (3), a distributividade da
multiplicac¸a˜o de escalares de
K e a adic¸a˜o de vetores de V;
e em (4), novamente, a
definic¸a˜o de T∗.
para quaisquer a ∈ K e w ∈W. Portanto, T ∗ : W −→ V e´ K-linear.
Falta apenas mostrar a propriedade (⋆). Primeiramente, vamos mostrar
a propriedade (⋆) para vk, onde k = 1, . . . , n. Temos que:
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de T∗; em (2), propriedade
do produto interno em V;
em (3), que {v1,...,vn} e´
uma base ortonormal de V;
em (4), que so´ ha´
contribuic¸a˜o da parcela
j=k; e em (5), propriedade
do produto interno em W.
〈vk, T ∗(w)〉 (1)=
〈
vk,
n∑
j=1
〈w, T(vj)〉vj
〉
(2)
=
n∑
j=1
〈w, T(vj)〉〈vk, vj〉
(3)
=
n∑
j=1
〈w, T(vj)〉δkj
(4)
= 〈w, T(vk)〉
(5)
= 〈T(vk), w〉. (⋆⋆)
Seja v ∈ V. Escrevemos v =
n∑
k=1
akvk, com ak ∈ K. (⋆ ⋆ ⋆)
Enta˜o,
Em (1) usamos (⋆ ⋆ ⋆); em
(2), propriedade do produto
interno em V; em (3), a
igualdade (⋆⋆); em (4),
propriedade do produto
interno em W; em (5), que T
e´ K-linear; e em (6),
novamente, (⋆ ⋆ ⋆).
〈v, T ∗(w)〉 (1)=
〈 n∑
k=1
akvk, T
∗(w)
〉
(2)
=
n∑
k=1
ak〈vk, T ∗(w)〉
(3)
=
n∑
k=1
ak〈T(vk), w〉
(4)
=
〈 n∑
k=1
akT(vk), w
〉
(5)
=
〈
T
( n∑
k=1
akvk
)
, w
〉
(6)
= 〈T(v), w〉.
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UFF 120
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
Logo, vale a propriedade (⋆) para todo v ∈ V e w ∈W. �
Definic¸a˜o 10 (T ∗ a adjunta de T)
Dados V e W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita e T : V −→W K-linear, a
u´nica transformac¸a˜o K-linear T ∗ : W −→ V tal que
〈T(v), w〉 = 〈v, T ∗(w)〉,
para todo v ∈ V e w ∈W e´ chamada de adjunta de T .
Antes de darmos alguns exemplos, vamos mostrar a relac¸a˜o entre as
representac¸o˜es matriciais de T e sua adjunta T ∗, com respeito a bases orto-
normais.
Proposic¸a˜o 9 (Representac¸a˜omatricial da adjunta)
Sejam V e W K-espac¸os vetoriais na˜o-nulos de dimensa˜o finita. Sejam α e β
bases ortonormais de V e W, respectivamente. Sejam T : V −→ W K-linear
e T ∗ : W −→ V a sua adjunta. Enta˜o, T ∗]βα = (T ]αβ)∗.
Demonstrac¸a˜o: Sejam dimKV = n e dimKW = m. Digamos que as bases
ortonormais de V e W sejam α = {v1, . . . , vn} e β = {w1, . . . , wm}. Enta˜o,
A = T ]αβ = (T(v1)]β · · · T(vj)]β · · · T(vn)]β) ∈Mm×n(K),
onde T(vj)]β =


A1j
...
Amj

.
Logo, T(vj) = A1jw1 + · · ·+Akjwk + · · ·+Amjwm.
Portanto,
Em (1) usamos que
〈wℓ,wk〉 = δℓk ; em (2), a
propriedade (⋆) de T e T∗;
em (3), propriedade do
produto interno de V.
Akj
(1)
= 〈T(vj), wk〉
(2)
= 〈vj, T ∗(wk)〉
(3)
= 〈T ∗(wk), vj〉.
Seja B = T ∗]βα = (T
∗(w1)]α · · · T ∗(wk)]α · · · T ∗(wm)]α).
Enta˜o, para cada k = 1, . . . ,m, temos que T ∗(wk)]α =


B1k
...
Bnk

,
T ∗(wk) = B1kv1 + · · ·+ Bjkvj + · · ·+ Bnkvn e Bjk = 〈T ∗(wk), vj〉.
Portanto, Akj = Bjk, para k = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, mostrando que
A∗ = B. �
Agora e´ fa´cil dar exemplos.
Exemplo 26
Consideremos V = C2 e W = C, com o produto interno usual.
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A´lgebra Linear II
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
Seja T : C2 −→ C definida por T(x, y) = 2ix+(3−2i)y. Enta˜o, T e´ C-linear.
Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {1}. Essas bases sa˜o bases ortonormais de C2
e C, respectivamente.
Temos que T ]αβ = (2i 3− 2i) ∈M1×2(C). Pela Proposic¸a˜o anterior,
T ∗]βα =
(
T ]αβ
)∗
=
(
−2i
3+ 2i
)
.
Logo, para cada a ∈ C, temos
T ∗(a)]α = T ∗]βα · a]β =
(
−2i
3+ 2i
)
· a =
(
−2ia
(3+ 2i)a
)
.
Portanto, T ∗(a) = (−2ia, (2+ 3i)a), para cada a ∈ C.
Exemplo 27
Consideremos R2 e R3 com o produto interno usual e a transformac¸a˜o linear
T : R2 −→ R3
(x, y) 7−→ (x − y, 2x+ y, 3x+ 2y)
Como α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} sa˜o bases or-
tonormais e T ]αβ =


1 −1
2 1
3 2

, enta˜o T ∗]βα =
(
1 2 3
−1 1 2
)
, portanto
T ∗(x, y, z) = (x+ 2y+ z,−x+ y+ 2z).
Exerc´ıcios
1. Determine a matriz A∗, a adjunta de A ∈Mn×m(C):
(a)

 2 i 00 1 −5i
1 2− i 3

 (b)

 3− i 2 3i2− i −i 4
0 1+ 2i i


(c)


3 2 3i
2 −1 1− 2i
−3i 1+ 2i 1


2. Para cada transformac¸a˜o linear T : V −→ W, determine a adjunta de
T , isto e´, a transformac¸a˜o linear T ∗ : W −→ V, tal que
〈T(v), w〉 = 〈v, T ∗(w)〉, para quaisquer v ∈ V e w ∈W.
(a) T : C2 −→ C3 dada por T(x, y) = (2x+iy, (1−i)x+3iy, 2ix+3y).
(b) T : R2 −→ R2 definida por T(x, y) = (2x− y,−x + 3y).
(c) T : R3 −→ R2 definida por T(x, y, z) = (2x+ y− 3z, 3x− y+ 2z).
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UFF 122
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
3. Sejam S : V −→ W e T : V −→ W transformac¸o˜es K-lineares, onde V
e W sa˜o espac¸os vetoriais com produto interno e de dimenso˜es finitas.
Mostre que:
(a) (S+ T)∗ = S∗ + T ∗
(b) (kT)∗ = kT ∗
(c) (T ∗)∗ = T
4. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja I : V −→ V o operador linear identidade. Mostre que I∗ = I.
5. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja O : V −→ V o operador linear identicamente nulo, isto e´, O(v) =
0V, para todo v ∈ V. Mostre que O∗ = O.
6. Sejam S : W −→ U e T : V −→ W transformac¸o˜es K-lineares, onde
V, W e U sa˜o espac¸os vetoriais com produto interno e de dimenso˜es
finitas. Mostre que (S ◦ T)∗ = T ∗ ◦ S∗.
7. Seja T : V −→ W uma transformac¸a˜o K-linear invers´ıvel, onde V e
W sa˜o espac¸os vetoriais com produto interno e de dimenso˜es finitas.
Mostre que (T−1)∗ = (T ∗)−1.
8. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja T : V −→ V um operador K-linear e W um subespac¸o de V
invariante por T . Mostre que W⊥ e´ um subespac¸o de V invariante por
T ∗.
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123 UFF
A´lgebra Linear II
A adjunta de uma transformac¸a˜o linear
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UFF 124
Operadores auto-adjuntos
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Operadores auto-adjuntos
Vamos estudar um tipo especial de operadores lineares em espac¸os ve-
toriais com produto interno sobre K = R ou K = C.
Definic¸a˜o 11 (Operadores auto-adjuntos)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno 〈 , 〉 e dimensa˜o finita. O
operador linear T : V −→ V e´ dito auto-adjunto se, e somente se, T ∗ = T .
Observamos que, da unicidade do operador adjunto de T e da proprie-
dade (⋆) do adjunto, segue que
T e´ auto-adjunto se, e somente se, 〈T(v), w〉 = 〈v, T(w)〉,
para quaisquer v,w ∈ V.
Temos que, no caso dimKV = n ≥ 1,
T e´ auto-adjunto se, e somente se, (T ]αα)
∗
= T ]αα, para qualquer
base ortonormal α de V.
De fato, se T e´ auto-adjunto, enta˜o da definic¸a˜o segue que T = T ∗.
Logo, para toda base ortonormal α de V, temos T ]αα = T
∗]αα. Da Proposic¸a˜o
9, para qualquer base ortonormal α de V, temos que T ∗]αα = (T ]
α
α)
∗. Portanto,
T ]αα = (T ]
α
α)
∗.
Reciprocamente, seja α uma base ortonormal de V tal que T ]αα = (T ]
α
α)
∗.
Da Proposic¸a˜o 9, seque que T ∗]αα = T ]
α
α. Da unicidade da representac¸a˜o
matricial de transformac¸o˜es lineares, obtemos T ∗ = T .
Se a propriedade vale para
uma base ortonormal de V,
enta˜o vale para todas as
bases ortonormais de V.
Acabamos de demonstrar o seguinte resultado.
Quando K= R isso significa
que T]αα e´ matriz sime´trica.
Proposic¸a˜o 10 (Representac¸a˜o matricial de operador auto-adjunto)
Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimKV = n ≥ 1 e T um
operador em V.
T e´ auto-adjunto se, e somente se, para qualquer base ortonormal α de
V, temos T ]αα =
(
T ]αα
)∗
.
Agora e´ fa´cil dar exemplos.
Exemplo 28
Consideremos C2 com o produto interno usual e T : C2 −→ C2 definida por
T(x, y) = (x+(1+i)y, (1−i)x+2y). A base α = {(1, 0), (0, 1)} e´ ortonormal,
T ]αα =
(
1 1+ i
1− i 2
)
e (T ]αα)
∗
=
(
1 1− i
1+ i 2
)
=
(
1 1+ i
1− i 2
)
=
T ]αα. Logo, T e´ operador auto-adjunto.
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125 UFF
A´lgebra Linear II
Operadores auto-adjuntos
Exemplo 29
Consideremos R3 com o produto interno usual. O operador R-linear
T : R3 −→ R3 definido por
T(x, y, z) = (x+ 3y+ 4z, 3x+ 2y+ z, 4x+ y − z)
e´ auto-adjunto.
De fato, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base ortonormal do R3, a
matriz T ]αα =

 1 3 43 2 1
4 1 −1

 e T ∗]αα = (T ]αα)∗ = T ]αα.
E´ muito fa´cil construir e identificar operadores auto-adjuntos em espac¸os
vetoriais reais ou complexos.
Os operadores auto-adjuntos teˆm propriedades especiais que sera˜o es-
tudadas a seguir.
Proposic¸a˜o 11 (Propriedade de operador C-linear auto-adjunto)
Seja V um C-espac¸o vetorial com produto interno e dimC V = n ≥ 1. Se o
operador C-linear T : V −→ V e´ auto-adjunto, enta˜o existe um autovalor λ
de T e λ ∈ R.
O Teorema Fundamental da
A´lgebra e´ estudado em
A´lgebra II diz que todo
polinoˆmio na˜o-constante
com coeficientes complexos
tem uma raiz complexa.
Demonstrac¸a˜o: Seja p(λ) = det(λI−T) o polnoˆmio caracter´ıstico de T . Temos
que p(λ) ∈ C[λ] e´ um polinoˆmio moˆnico com coeficientes complexos de grau
n ≥ 1. Pelo Teorema Fundamental da A´lgebra, existe λ0 ∈ C, tal que
p(λ0) = 0. Enta˜o, λ0 e´ um autovalor de T .
Seja v ∈ V um autovetor de T associado ao autovalor λ0. Portanto,
v 6= 0V e T(v) = λ0v. Logo,
Em (1) e (6) usamos
propriedade do produto
interno; em (2) e (5), a
definic¸a˜o de v; em (3),
propriedade do operador
adjunto de T; em (4), que T
e´ auto-adjunto;
λ0〈v, v〉 (1)= 〈λ0v, v〉
(2)
= 〈T(v), v〉
(3)
= 〈v, T ∗(v)〉
(4)
= 〈v, T(v)〉
(5)
= 〈v, λ0v〉
(6)
= λ0〈v, v〉.
Como 〈v, v〉 = ‖v‖2 6= 0, cancelando 〈v, v〉 na igualdade acima, temos
que λ0 = λ0, que e´ equivalente a λ0 ∈ R. �
Proposic¸a˜o 12 (Propriedade de operador R-linear auto-adjunto)
Seja V um R-espac¸o vetorial com produto interno e dimR V = n ≥ 1. Se
o operador R-linear T : V −→ V e´ auto-adjunto, enta˜o existe um autovalor
λ ∈ R de T .
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UFF 126
Operadores auto-adjuntos
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Demonstrac¸a˜o: Sejam α = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V e A =
T ]αα ∈Mn×n(R). Como T e´ auto-adjunto,pela Proposic¸a˜o 10, A = A∗ = At.
Seja p(λ) = det(λIV − T) = det(λI−A), o polinoˆmio caracter´ıstico de T .
Fixemos β = {e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)}, a base canoˆnica
de Cn. Definimos TA : C
n −→ Cn como a u´nica transformac¸a˜o C-linear, tal
que TA]
β
β = A.
O polinoˆmio caracter´ıstico de TA e´ det(λICn−TA) = det(λI−A) = p(λ).
Pela Proposic¸a˜o 11, TA tem um autovalor λ0 ∈ R. Seja z ∈ Cn um autovetor
de TA associado ao autovalor λ0. Temos que
z = (z1, . . . , zn)
= (x1 + iy1, . . . , xn+ iyn)
= (x1, . . . , xn)︸ ︷︷ ︸
x∈Rn
+i (y1, . . . , yn)︸ ︷︷ ︸
y∈Rn
= x+ iy.
TA e´ C-linear.
Assim, TA(z) = TA(x+ iy) = TA(x) + iTA(y).
Como λ0z = λ0(x+ iy) = (λ0x) + i(λ0y), temos que TA(x) + iTA(y) =
TA(z) = λ0z = (λ0x) + i(λ0y), logo TA(x) = λ0x e TA(y) = λ0y.
Como z 6= 0Cn , temos que x 6= 0Rn ou y 6= 0Rn . Digamos que
x = (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0). Enta˜o, x e´ autovetor de TA associado ao
autovalor λ0, pois TA(x) = λ0x.
O vetor na˜o-nulo v = x1v1+ · · ·+xnvn ∈ V tem a seguinte propriedade
T(v)]α = T ]
α
α v]α = A


x1
...
xn

 . (1)
Por outro lado,
A


x1
...
xn

 = TA]ββ x]β = TA(x)]β = (λ0x)]β =


λ0x1
...
λ0xn

 . (2)
De (1) e (2) segue que T(v)]α =


λ0x1
...
λ0xn

.
Logo, T(v) = (λ0x1)v1+ · · ·+ (λ0xn)vn = λ0(x1v1+ · · ·+ xnvn) = λ0v.
Portanto, v e´ um autovetor de T associado ao autovalor λ0 ∈ R. �
Para enunciar o Teorema Espectral, principal resultado dessa Sec¸a˜o,
que garante que operadores auto-djuntos sa˜o diagonaliza´veis, precisamos de
uma propriedade do complemento ortogonal de subespac¸os invariantes por
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A´lgebra Linear II
Operadores auto-adjuntos
operadores auto-adjuntos e das obsevac¸o˜es a seguir.
Proposic¸a˜o 13 (Propriedade de subespac¸o invariante)
Seja V um K-espac¸o vetorial de dimensa˜o finita com produto interno. Se
T : V −→ V e´ um operador auto-adjunto eW e´ um subespac¸o de V invariante
por T , enta˜o W⊥ e´ invariante por T .
Demonstrac¸a˜o: Sejam T um oerador auto-adunto e W um subespac¸o de V,
tal que T(W) ⊂ W. Seja u ∈ W⊥. Vamos mostrar que T(u) ∈ W⊥, isto e´,
T(u) e´ ortogonal a todo w ∈W.
De fato, para todo w ∈W, temos
〈T(u), w〉 = 〈u, T ∗(w)〉 T∗=T= 〈u, T(w)〉 T(w)∈W= 0,
logo, T(u) ∈W⊥. �
Observac¸o˜es:
Fac¸a a verificac¸a˜o.
(1) Seja V um K-espac¸o vetorial. Se T : V −→ V e´ K-linear e W e´ um
subespac¸o de V invariante por T , enta˜o a func¸a˜o definida por
T1 : W −→ W
w 7−→ T(w)
e´ um operador K-linear.
(2) Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita. Se
T : V −→ V e´ operador auto-adjunto e W e´ um subespac¸o de V invariante
por T , enta˜o o operador linear
T1 : W −→ W
w 7−→ T(w)
e´ um operador auto-adjunto.
De fato, para quaisquer u,w ∈W, temos
〈T1(u), w〉 = 〈T(u), w〉 = 〈u, T ∗(w)〉 T
∗=T
= 〈u, T(w)〉 w∈W= 〈u, T1(w)〉.
Da unicidade de T1
∗, segue que T1
∗ = T1, logo T1 e´ auto-djunto.
Agora estamos prontos para o Teorema Espectral.
Teorema 4 (Espectral)
Seja V um K-espac¸o com produto interno e dimKV = n ≥ 1. Seja T : V −→ V
um operador K-linear auto-adjunto. Enta˜o, existe uma base ortonormal β
de V, formada por autovetores de T . Digamos que β = {v1, . . . , vn} e sejam
λ1, . . . , λn ∈ R os respectivos autovetores (na˜o necessariamente distintos).
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UFF 128
Operadores auto-adjuntos
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Nesse caso, T ]ββ =


λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn

 e´ matriz diagonal.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ por induc¸a˜o sobre n ≥ 1. Seja n = 1.
Enta˜o V = [v], para algum v ∈ V, v 6= 0V. Tomando v1 = v‖v‖ , temos que
‖v1‖ = 1, V = [v1] e T(v1) ∈ V = [v], logo T(v1) = λ1v1. Como T = T ∗,
sabemos que λ1 ∈ R. Nesse caso, β = {v1} e T ]ββ = (λ1) ∈M1×1(R).
Seja n ≥ 1 e suponhamos o teorema va´lido para operadores lineares
auto-adjuntos em espac¸os vetoriais de dimensa˜o n. Seja V um K-espac¸o
vetorial tal que dimKV = n+1 e seja T um operador linear auto-adjunto sobre
V. Pela Proposic¸a˜o 12, no caso K = R, ou Proposic¸a˜o 11, no caso K = C,
existe λ1 ∈ R um autovalor de T . Consideremos v1 autovetor de T associado
ao autovalor λ1 com ‖v1‖ = 1. Seja W = [v1]. Temos que V = W ⊕W⊥
e dimKW
⊥ = dimKV − dimKW⊥ = (n + 1) − 1 = n. Pela Proposic¸a˜o 13,
temos que T(W⊥) ⊂ W⊥ e, pela Observac¸a˜o (2), T1 : W⊥ −→ W⊥ definida
por T1(u) = T(u), para cada u ∈W⊥, e´ operador auto-adjunto. Por hipo´tese
de induc¸a˜o, existe uma base ortonormal β1 = {v2, . . . , vn+1} de W
⊥, formada
por autovetores de T1, associados aos autovalores λ2, . . . , λn+1 ∈ R de T1.
Assim, v1 ∈ W e T(v1) = λ1v1, vj ∈ W⊥ e T(vj) = T1(vj) = λjvj, para
j = 2, . . . , n+1. Tomando β = {v1, v2, . . . , vn+1}, obtemos a base ortonormal
de V formada por autovetores de T tal que T ]ββ =


λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn

 e´
matriz diagonal. �
Lembre que se
V =W⊕W⊥, enta˜o a unia˜o
de uma base β1 de W com
uma base β2 de W
⊥ e´ uma
base de V, mais ainda, se β1
e β2 sa˜o ortonormais, enta˜o
β=β1 ∪β2 e´ ortonormal.
Exemplo 30
Consideremos C2 com o produto interno usual e T : C2 −→ C2 o operador
C-linear definido por T(x, y) = (x− iy, ix+y). Tomando a base ortonormal
α = {(1, 0), (0, 1)} temos que A = T ]αα =
(
1 −i
i 1
)
e A∗ =
(
1 i
−i 1
)
=(
1 −i
i 1
)
= A. Portanto, T e´ operador auto-adjunto. Pelo Teorema espec-
tral, existe uma base ortonormal de C2 formada por autovetores de T , cujos
autovalores sa˜o reais.
Fazemos os ca´lculos sabendo que T e´ diagonaliza´vel.
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A´lgebra Linear II
Operadores auto-adjuntos
Temos que λI−A =
(
λ− 1 i
−i λ− 1
)
.
Enta˜o, p(λ) = det(λI − A) = (λ − 1)2 − (−i) · i = (λ − 1)2 − 1 = λ2 − 2λ.
Logo, λ = 0 ou λ = 2.
λ = 0
0 · I−A =
(
−1 i
−i −1
)
∼
(
1 −i
−i −1
)
∼
(
1 −i
0 0
)
.
O subespac¸o caracter´ıstico e´
Vλ=0 = {(x, y) ∈ C2 ; x− iy = 0} = {(iy, y) ; y ∈ C}.
Enta˜o, w1 = (1,−i) e´ autovetor associado ao autovalor λ = 0. Temos que
‖w1‖2 = 〈(1,−i), (1,−i)〉 = 1 · 1+(−i) · (−i) = 1+(−i) · i = 1+ 1 = 2, logo
v1 =
w1
‖w1‖ =
(
1√
2
,− i√
2
)
e´ unita´rio da direc¸a˜o de w1.
λ = 2
2 · I−A =
(
1 i
−i 1
)
∼
(
1 i
0 0
)
.
O subespac¸o caracter´ıstico e´
Vλ=0 = {(x, y) ∈ C2 ; x + iy = 0} = {(−iy, y) ; y ∈ C}.
Enta˜o, w2 = (−i, 1) e´ autovetor associado ao autovalor λ = 2. Temos que
‖w2‖2 = 〈(−i, 1), (−i, 1)〉 = (−i) · (−i) + (1) · (1) = (−i) · i+ 1 = 1+ 1 = 2,
logo v2 =
w2
‖w2‖ =
(
− i√
2
, 1√
2
)
e´ unita´rio da direc¸a˜o de w2.
Portanto, β = {v1, v2} e´ uma base ortonormal de C
2 tal que T ]ββ =
(
0 0
0 2
)
Exemplo 31
Consideremos R3 com o produto interno usual e T : R3 −→ R3 o opera-
dor R-linear definido por T(x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z).
Tomando a base ortonormal α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} temos que A =
T ]αα =


2 1 1
1 2 1
1 1 2

 e A∗ = At = A. Portanto, T e´ operador auto-adjunto.
Pelo Teorema espectral, existe uma base ortonormal de R3 formada por au-
tovetores de T , cujos autovalores sa˜o, obviamente, reais.
Fazemos os ca´lculos sabendo que T e´ diagonaliza´vel.
Temos que λI−A =

 λ− 2 −1 −1−1 λ− 2 −1
−1 −1 λ− 2

.
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UFF 130
Operadores auto-adjuntos
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Enta˜o, p(λ) = det(λI−A) = (λ− 2)3− 2− 3(λ− 2) = (λ− 1)2(λ− 4). Logo,
λ = 1 ou λ = 4.
λ = 1
I −A =


−1 −1 −1
−1 −1 −1
−1 −1 −1

 ∼


1 1 1
0 0 0
0 0 0

.
O subespac¸o caracter´ıstico e´
Como T e´ diagonaliza´vel,
enta˜o dimR Vλ=1 e´ a
multiplicidade alge´brica de
λ= 1 em p(λ). Logo,
dimR Vλ=1 = 2.Vλ=1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0}.
Vamos construir uma base ortogonal para o plano Vλ=1. Escolhemos
w1 = (1, 1,−2) ∈ Vλ=1. Precisamos de mais um vetor na˜o-nulo, digamos
w2 = (a, b, c) ∈ Vλ=1, tal que 〈w1, w2〉 = 0. Enta˜o,{
a+ b+ c = 0
a+ b− 2c = 0
⇐⇒ { a+ b+ c = 0
−3c = 0
⇐⇒ { a+ b = 0
c = 0
Portanto, w2 ∈ S = {(a,−a, 0), com a 6= 0}. Escolhemos w2 = (1,−1, 0).
Como ‖w1‖2 = 〈w1, w1〉 = 1+1+4 = 6 e ‖w2‖2 = 〈w2, w2〉= 1+1+0 = 2,
enta˜o v1 =
w1
‖w1‖ =
(
1√
6
, 1√
6
,− 2√
6
)
e v2 =
w2
‖w2‖ =
(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
formam uma
base ortonormal de Vλ=1.
Como existe uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T ,
R
3 = Vλ=1⊕(Vλ=1)⊥, Vλ=4 ⊂ (Vλ=1)⊥ e dimR Vλ=4 = 1 = dimR(Vλ=1)⊥, enta˜o
Vλ=4 = (Vλ=1)
⊥. Sem fazer ca´lculos, sabemos que w3 = (1, 1, 1), vetor nor-
mal ao plano Vλ=1, tem que ser autovetor de T associado ao autovalor λ = 4.
Como ‖w3‖2 = 〈w3, w3〉 = 1+1+1 = 3, tomando v3 = w3‖w3‖ =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
,
temos que β = {v1, v2, v3} e´ uma base ortonormal de R
3 formada por auto-
vetores de T , tal que a matriz T ]ββ =

 1 0 00 1 0
0 0 4

.
Exerc´ıcios
1. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja T : V −→ V um operador linear. Mostre que T+T ∗ e´ um operador
linear auto-adjunto.
2. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja T : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Mostre que se
T2(v) = 0, enta˜o T(v) = 0.
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A´lgebra Linear II
Operadores auto-adjuntos
3. Seja T : V −→ V um operador linear em um espac¸o vetorial complexo
com produto interno e dimensa˜o finita, tal que 〈T(v), v〉 e´ real para
todo v ∈ V. Mostre que T e´ auto-adjunto.
4. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Sejam T : V −→ V e S : V −→ V operadores lineares auto-adjuntos.
Mostre que S ◦ T e´ auto-adjunto se, e somente se, S ◦ T = T ◦ S.
5. Para cada matriz A, determine uma matriz ortogonal P e uma matriz
diagonal D tais que PtAP = D, onde A, P,D ∈Mn×n(R):
(a)

 2 1 11 2 1
1 1 2

 (b)

 7 −2 0−2 6 −2
0 −2 5

 (c)

 7 −2 −2−2 1 4
−2 4 1


(d)
(
1 2
2 −2
)
(e)
(
5 4
4 −1
)
(f)
(
7 3
3 −1
)
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UFF 132
Operadores unita´rios
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
Operadores unita´rios
Um movimento r´ıgido em um espac¸o vetorial real V de dimensa˜o finita
com produto interno e´ uma func¸a˜o f : V −→ V que preserva a distaˆncia entre
dois pontos, isto e´, temos que
‖u− v‖ = ‖f(u) − f(v)‖, para quaisquer u, v ∈ V.
Nesta Sec¸a˜o, estudaremos um tipo especial de operador linear, em
espac¸os vetoriais sobre K = R ou K = C de dimensa˜o finita com produto
interno, chamados de operadores unita´rios (caso complexo) ou operadores
ortogonais (caso real). Como uma aplicac¸a˜o da teoria apresentada, no caso
real classificaremos os operadores ortogonais do plano e do espac¸o. Ale´m
disso, introduziremos o conceito de movimento r´ıgido, tambe´m chamado de
isometria, uma func¸a˜o em espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o n ≥ 1 que
preserva distaˆncias. Veremos que um movimento r´ıgido nada mais e´ do que
um operador linear ortogonal seguido de uma translac¸a˜o.
Definic¸a˜o 12 (Operador unita´rio ou ortogonal)
Sejam V um espac¸o vetorial sobre K de dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno
〈 , 〉. O operador K-linear T : V −→ V e´ chamado operador unita´rio se, e
somente se, T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T = IV, onde IV : V −→ V e´ definido por IV(v) = v,
para todo v ∈ V. No caso K = R, um operador unita´rio e´ chamado de
operador ortogonal.
Observac¸a˜o: T e´ um operador unita´rio se, e somente se, T e´ um operador
linear invert´ıvel e T−1 = T ∗.
Exemplo 32
Consideremos R2 com o produto interno usual. O operador linear T no R2
definido por T(x, y) =
(
3
5
x + 4
5
y,−4
5
x+ 3
5
y
)
e´ operador ortogonal.
Lembre que . . .
uma matriz quadrada com
coeficientes em um corpo K
tem inversa a` esquerda se, e
somente se, tem inversa a`
direita, mais ainda, as
inversas a` esquerda e a`
direita sa˜o iguais.
De fato, α = {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base ortogonal do R2, T ]αα =
(
3
5
4
5
−4
5
3
5
)
,
T ∗]αα = (T ]
α
α)
∗ = (T ]αα)
t =
(
3
5
−4
5
4
5
3
5
)
e
(
3
5
4
5
−4
5
3
5
)(
3
5
−4
5
4
5
3
5
)
=
(
1 0
0 1
)
.
Logo, T ∗]αα = (T ]
α
α)
−1, que e´ equivalente a, T ∗ = T−1.
Exemplo 33
Consideremos o C-espac¸o vetorial C2 com o produto interno usual e o opera-
dor C-linear T : C2 −→ C2 definido por T(x, y) = ( 1√
2
x − i√
2
y,− i√
2
x + 1√
2
y
)
.
T e´ operador unita´rio.
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Operadores unita´rios
De fato, α = {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base ortogonal do C2, T ]αα =
(
1√
2
− i√
2
− i√
2
1√
2
)
,
T ∗]αα = (T ]
α
α)
∗ =
(
1√
2
i√
2
i√
2
1√
2
)
e
(
1√
2
− i√
2
− i√
2
1√
2
)(
1√
2
i√
2
i√
2
1√
2
)
=
(
1 0
0 1
)
.
Logo, T ∗]αα = (T ]
α
α)
−1, que e´ equivalente a, T ∗ = T−1.
A matriz adjunta de A e´ a
transposta e conjugada de A.
No seguinte resultado caracterizamos os operadores unita´rios em espac¸os
vetoriais de dimensa˜o finita.
Teorema 5 (Caracterizac¸a˜o dos operadores unita´rios)
Seja V um K-espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno. Seja
T : V −→ V um operador K-linear. As seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) T e´ unita´rio.
(ii) T preserva a norma, isto e´,
‖T(v)‖ = ‖v‖, para todo v ∈ V.
(iii) T preserva o produto interno, isto e´,
〈T(u), T(v)〉 = 〈u, v〉, para quaisquer u, v ∈ V.
(iv) T leva toda base ortonormal de V em uma base ortonormal de V, isto
e´, se {v1, . . . , vn} e´ qualquer base ortonormal de V, enta˜o {T(v1), . . . , T(vn)}
e´ uma base ortonormal de V.
(v) T leva alguma base ortonormal de V em alguma base ortonormal de V, isto
e´, existe {v1, . . . , vn}, uma base ortonormal de V, tal que {T(v1), . . . , T(vn)} e´
uma base ortonormal de V.
Demonstrac¸a˜o: Para obtermos a equivaleˆncia, vamos mostrar as implicac¸o˜es:
(i) =⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (v) =⇒ (iii)=⇒ (i).
(i) =⇒ (ii): Suponhamos que T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T = IV. Seja v ∈ V. Enta˜o,
Em (1) usamos propriedade
de T∗; em (2), a definic¸a˜o de
composic¸a˜o de func¸o˜es; em
(3), que T e´ unita´rio e em
(4), a definic¸a˜o da func¸a˜o IV .
〈T(v), T(v)〉 (1)= 〈v, T ∗(T(v))〉
(2)
= 〈v, (T ∗ ◦ T)(v)〉
(3)
= 〈v, IV(v)〉
(4)
= 〈v, v〉.
Veja o Exerc´ıcio 6 na Sec¸a˜o
1 da Parte 3.
(ii) =⇒ (iii): segue imediatamente das identidades de polarizac¸a˜o, que ex-
pressam o produto interno em termos de normas, e sera´ deixado como Exerc´ıcio.
(iii) =⇒ (iv): Seja {v1, . . . , vn} uma base ortonormal qualquer de V e supo-
nhamos que T preserve o produto interno. Enta˜o, em particular,
δjk =
{
1, j= k
0, j 6= k δjk = 〈vj, vk〉 = 〈T(vj), T(vk)〉, para k, j = 1, . . . , n,
mostrando que {T(v1), . . . , T(vn)} e´ uma base ortonormal de V.
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
(iv) =⇒ (v): e´ o´bvio.
(v) =⇒ (iii): Suponhamos que β = {v1, . . . , vn} seja uma base ortonormal de
V, tal que {T(v1), . . . , T(vn)} tambe´m seja uma base ortonormal de V. Enta˜o,
〈vj, vk〉 = δjk = 〈T(vj), T(vk)〉, (1)
para j, k = 1, . . . , n.
Sejam u, v ∈ V. Existem a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ K, unicamente deter-
minados, tais que u = a1v1+ · · ·+ anvn e v = b1v1+ · · ·+ bnvn. Como T e´
linear, enta˜o T(u) = a1T(v1)+· · ·+anT(vn) e T(v) = b1T(v1)+· · ·+bnT(vn).
Logo,
〈T(u), T(v)〉 =
〈 n∑
j=1
ajT(vj),
n∑
k=1
bkT(vk)
〉
=
n∑
j=1
〈
ajT(vj),
n∑
k=1
bkT(vk)
〉
=
n∑
j=1
aj
〈
T(vj),
n∑
k=1
bkT(vk)
〉
=
n∑
j=1
aj
(
n∑
k=1
〈T(vj), bkT(vk)〉
)
=
n∑
j=1
(
n∑
k=1
aj · bk〈T(vj), T(vk)〉
)
(1)
=
n∑
j=1
(
n∑
k=1
aj · bk〈vj, vk〉
)
=
n∑
j=1
(
n∑
k=1
〈ajvj, bkvk〉
)
=
n∑
j=1
〈
ajvj,
n∑
k=1
bkvk
〉
=
〈 n∑
j=1
ajvj,
n∑
k=1
bkvk
〉
= 〈u, v〉.
(iii) =⇒ (i): Suponhamos que T preserve o produto interno. Primeiramente,
T e´ invert´ıvel. De fato, se T(v) = 0V, enta˜o 0 = 〈T(v), T(v)〉 = 〈v, v〉 = ‖v‖2,
logo v = 0V, assim T e´ injetora e, pelo Teorema do nu´cleo e da imagem, T e´
sobrejetora, donde conclu´ımos que T e´ invert´ıvel.
Temos que, para quaisquer v,w ∈ V,
T ◦ T−1 = IV = T−1 ◦ T.〈T(v), w〉 = 〈T(v), (T ◦ T−1)(w)〉 = 〈T(v), T(T−1(v)〉 = 〈v, T−1(w)〉.
Da unicidade de T ∗, a partir dessa igualdade, segue que T−1 = T ∗. �
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Uma consequeˆncia interessante do Teorema anterior e´ que operadores
unita´rios preservam distaˆncias.
Corola´rio 1
Seja V um K-espac¸o vetorialde dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno. Se
T : V −→ V e´ um operador unita´rio, enta˜o T preserva distaˆncias, isto e´,
d(T(u), T(v)) = d(u, v), para quaisquer u, v ∈ V.
Demonstrac¸a˜o: Como T e´ linear e preserva normas, temos que
d(T(u), T(v)) = ‖T(u) − T(v)‖ = ‖T(u− v)‖ = ‖u− v‖ = d(u, v). �
Vejamos mais exemplos de operadores unita´rios.
Exemplo 34
Consideremos R2 com o produto interno usual.
O operador linear Rθ(x, y) = (x cosθ − y sen θ, x sen θ + y cosθ) e´ operador
ortogonal, pelo item (ii) do Teorema anterior, pois
‖Rθ(x, y)‖2 = (x cosθ− y sen θ)2 + (x sen θ+ y cosθ)2
= (x2 cos2θ− 2xy cosθ sen θ+ y2 sen2θ) + (x2 sen2θ
+2xy cosθ sen θ+ y2 cos2θ)
= x2(cos2θ+ sen2θ) + y2(sen2θ+ cos2θ)
= x2 + y2
= ‖(x, y)‖2.
Geometricamente, rotac¸o˜es em torno da origem sa˜o operadores lineares que
preservam comprimentos.
Exemplo 35
Consideremos R2 com o produto interno usual.
O operador linear T(x, y) = (y, x) e´ operador ortogonal, pelo item (v) do
Teorema anterior, pois {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base ortonormal do R2, tal que
{T(1, 0) = (0, 1), T(0, 1) = (1, 0)} e´ uma base ortonormal do R2.
Esse operador ortogonal e´ bem conhecido. Geometricamente, e´ a simetria
dos pontos do plano com respeito a` reta y = x.
Exemplo 36
Consideremos R3 com o produto interno usual.
O operador linear T(x, y, z) = (Rθ(x, y), z) e´ operador ortogonal, pelo item
(v) do Teorema anterior, pois {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}
e´ uma base ortonormal do R3, tal que sua imagem por T e´ o conjunto
dos vetores T(e1) = (Rθ(1, 0), 0) = (cosθ, sen θ, 0), T(e2) = (Rθ(0, 1), 0) =
(− sen θ, cosθ, 0) e T(e3) = (0, 0, 1), que forma uma base ortonormal do R
3.
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
Esse operador ortogonal e´ bem conhecido. Geometricamente, e´ a rotac¸a˜o dos
pontos do espac¸o em torno do eixo z, reta gerada por e3.
Geometricamente, quais sa˜o os operadores ortogonais do R2 e do R3?
Antes de classifica´-los, precisamos de mais algumas propriedades dos
operadores unita´rios.
Pelo Teorema Fundamental
da A´lgebra, quando K= C
qualquer operador linear T
em V tem autovalor, em
particular todo operador
C-linear unita´rio tem
autovalor.
Proposic¸a˜o 14 (Propriedades dos operadores unita´rios)
Sejam V um K-espac¸o vetorial com produto interno, dimKV = n ≥ 1 e
T : V −→ V um operador unita´rio, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) | det(T)| = 1. Em particular, se K = R, enta˜o det(T) = 1 ou det(T) = −1.
(ii) Se λ ∈ K e´ um autovalor de T , enta˜o |λ| = 1. Em particular, se K = R e
T tem autovalor λ, enta˜o λ = 1 ou λ = −1.
(iii) Se λ ∈ K e´ um autovalor de T , enta˜o (Vλ)⊥ e´ invariante por T e a func¸a˜o
S restric¸a˜o de T a
(
Vλ
)⊥
, isto e´, S = T |(
Vλ
)⊥, e´ um operador unita´rio.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Fixemos α uma base ortonormal de V. Como IV = T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T , temos
I = IV]
α
α = T ]
α
α T
∗]αα = T ]
α
α
(
T ]αα
)∗
. Assim,
1 = det(I) = det
(
IV]
α
α
)
= det
(
T ]αα
) · det ((T ]αα)∗)
= det
(
T ]αα
) · det (T ]αα)
= det(T) · det(T)
= | det(T)|2,
logo | det(T)| = 1. No caso K = R, a u´ltima afirmac¸a˜o e´ consequeˆncia de
det(T) ∈ R.
Como det(A) = det(At) e
A∗ e´ a transposta e
conjugada de A, da definic¸a˜o
de determinante segue que
det(A∗) = det(A).
No caso K= C sempre existe
um autovalor.(ii) Seja λ ∈ K um autovalor de T . Seja v ∈ V um autovetor de T associado
ao autovalor λ. Enta˜o, v 6= 0V, T(v) = λv e
Em (1) usamos que T
preserva norma e em (2),
propriedades do produto
interno.
〈v, v〉 (1)= 〈T(v), T(v)〉 = 〈λv, λv〉 (2)= λ · λ〈v, v〉.
Como ‖v‖ 6= 0, podemos cancelar 〈v, v〉 na igualdade acima, obtendo λ·λ = 1.
Logo, |λ|2 = 1, isto e´, |λ| = 1.
A u´ltima afirmac¸a˜o e´ clara.
(iii) Seja v ∈ (Vλ)⊥. Vamos mostrar que T(v) ∈ (Vλ)⊥. Seja w ∈ Vλ. Enta˜o,
0 = 〈v,w〉 = 〈T(v), T(w)〉 = 〈T(v), λw〉 = λ〈T(v), w〉.
Como λ · λ = 1, enta˜o λ 6= 0 e temos que 〈T(v), w〉 = 0, para todo w ∈ Vλ,
mostrando que T(v) ∈ (Vλ)⊥.
Como
(
Vλ
)⊥
e´ invariante por T , temos definida a func¸a˜o restric¸a˜o
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S :
(
Vλ
)⊥ −→ (Vλ)⊥
v 7−→ T(v),
que e´ linear, em virtude da restric¸a˜o de qualquer transformac¸a˜o linear a um
subespac¸o do domı´nio ser linear. Logo, S e´ um operador linear em
(
Vλ
)⊥
.
Por outro lado, para quaisquer u, v ∈ (Vλ)⊥,
〈S(u), S(v)〉 = 〈T(u), T(v)〉 = 〈u, v〉,
mostrando que S = T |(
Vλ
)⊥ preserva norma. Logo, S e´ um operador unita´rio
em
(
Vλ
)⊥
. �
Agora estamos prontos para entender, geometricamente, os operadores
ortogonais do plano.
Nesse caso, o produto
interno do R2 e´ o usual.
Proposic¸a˜o 15 (Classificac¸a˜o dos operadores ortogonais do R2)
Seja T : R2 −→ R2 um operador ortogonal. Enta˜o,
(i) se det(T) = 1, enta˜o T e´ uma rotac¸a˜o de θ radianos em torno da origem,
com 0 ≤ θ < 2π;
(ii) se det(T) = −1, enta˜o T e´ uma simetria com respeito a uma reta passando
pela origem.
Demonstrac¸a˜o: Seja a base ortonormal α = {(1, 0), (0, 1)} do R2 e considere-
mos T ]αα = A =
(
a b
c d
)
. Enta˜o, T ∗]αα = A
t =
(
a c
b d
)
.
Como A−1 = 1
det(A)
(
d −b
−c a
)
e det(A) = det(T) ∈ {1,−1}, temos
que A−1 =
(
d −b
−c a
)
ou A−1 =
(
−d b
c −a
)
.
Da igualdade T ∗ = T−1, obtemos que At = A−1. Logo,
(
a c
b d
)
=(
d −b
−c a
)
ou
(
a c
b d
)
=
(
−d b
c −a
)
. No primeiro caso, temos b =
−c e d = a e, no segundo caso, b = c e d = −a. Portanto, A =
(
a −c
c a
)
ou A =
(
a c
c −a
)
, com a2+c2 = 1, pois (a, c) = T(1, 0) e´ unita´rio. Assim,
existe um u´nico θ, com 0 ≤ θ < 2π, tal que a = cosθ e c = sen θ. Portanto,
A =
(
cosθ − sen θ
sen θ cos θ
)
= Rθ]
α
α ou A =
(
cosθ sen θ
sen θ − cosθ
)
.
Se det(T) = 1, enta˜o A = T ]αα = Rθ]
α
α, logo T = Rθ.
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
Suponhamos que det(T) = −1. Enta˜o, A = T ]αα =
(
cosθ sen θ
sen θ − cosθ
)
e´ uma matriz sime´trica. Pelo Teorema espectral, T e´ diagonaliza´vel em uma
base ortonormal β de autovetores. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ p(λ) =
det
(
λ− cosθ − sen θ
− sen θ λ+ cosθ
)
= (λ−cos θ)(λ+cosθ)−sen2θ = λ2−1. Nesse
caso, T tem os autovalores 1 e −1. Tomando v1 e v2 autovetores unita´rios
associados aos autovalores 1 e −1, respectivamente, temos que v1 e´ ortogonal
a v2, T(v1) = v1, T(v2) = −v2 e T ]
β
β =
(
1 0
0 −1
)
. Geometricamente, T
e´ a simetria dos pontos do plano com respeito a` reta passando pela origem
gerada por v1. �
A classificac¸a˜o dos operadores ortogonais do espac¸o e´ a interpretac¸a˜o
geome´trica do seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 16 (Operadores ortogonais em espac¸os vetoriais de dimensa˜o 3)
Sejam V um espac¸o vetorial real com produto interno de dimensa˜o 3 e
T : V −→ V um operador ortogonal, enta˜o existe uma base ortonormal β
de V tal que T ]ββ e´ de um dos seguintes tipos:
 1 0 00 cosθ − sen θ
0 sen θ cosθ

, para algum θ ∈ R com 0 ≤ θ < 2π, ou


−1 0 0
0 cosθ − sen θ
0 sen θ cosθ

, para algum θ ∈ R com 0 ≤ θ < 2π.
Nesse caso, a 6=a.
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente, observamos que, pelo Teorema Fundamental
da A´lgebra, as ra´ızes complexas na˜o reais de um polinoˆmio com coeficientes
reais ocorrem aos pares, a saber, a ∈ C e a 6∈ R e´ raiz se, e somente se, a
e´ raiz. Logo, todo polinoˆmio de grau ı´mpar com coeficientes reais tem pelo
menos uma raiz real.
O polinoˆmio caracter´ıstico de T , p(λ), e´ um polinoˆmio moˆnico com
coeficientes reais de grau 3. Logo, p(λ) tem pelo menos uma raiz real e o
operador ortogonal T tem autovalor λ1. Pela Proposic¸a˜o 14 item (ii), temos
λ1 = 1 ou λ1 = −1. Consideremos o subespac¸o caracter´ıstico Vλ1 . Sabemos
que V = Vλ1 ⊕
(
Vλ1
)⊥
. Temos treˆs casos a analisar.
Caso I: dimR Vλ1 = 3
Nesse caso, V = Vλ1 . Tomando uma base ortonormal β de Vλ1 , ob-
temos uma base ortonormal de V formada por autovetores de T tal que
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T ]
β
β =


λ1 0 0
0 λ1 0
0 0 λ1

. Essa matriz e´ do tipo(1), para λ1 = 1 com θ = 0,
ou do tipo (2) para λ1 = −1 com θ = π. Observe que se λ1 = 1, enta˜o
T = IV, e se λ1 = −1, enta˜o T = −IV.
Caso II: dimR Vλ1 = 2
Vλ1 ∩
`
Vλ1
´⊥
= {0V }.
Nesse caso, dimR
(
Vλ1
)⊥
= dimR V − dimR Vλ1 = 3 − 2 = 1. Pela
Proposic¸a˜o 14 item (iv), T
((
Vλ1
)⊥) ⊂ (Vλ1)⊥, logo todo v 6= 0V, tal que
v ∈ (Vλ1)⊥ = [v] tem a propriedade T(v) = λ2v com |λ2| = 1, mais ainda,
λ2 6= λ1, pois v 6∈ Vλ1 , assim v e´ um autovetor de T associado ao autovalor
λ2 6= λ1. Tomando {v1, v2} uma base ortonormal de Vλ1 e v3 ∈
(
Vλ1
)⊥
vetor
unita´rio, temos que ξ = {v1, v2, v3} e´ uma base ortonormal de V tal que
T ]ξξ =

 λ1 0 00 λ1 0
0 0 λ2

. As duas possibilidades sa˜o T ]ξξ =

 1 0 00 1 0
0 0 −1

 ou
T ]ξξ =

 −1 0 00 −1 0
0 0 1

. Apo´s uma reordenac¸a˜o dos elementos da base ξ,
obtemos a base ortonormal β = {v3, v1, v2} tal que T ]
β
β na primeira possibili-
dade e´ do tipo (2), para λ1 = −1 com θ = 0, ou na segunda possibilidade e´
do tipo (1), para λ1 = 1 com θ = π .
Caso III: dimR Vλ1 = 1
Vλ1 ∩
`
Vλ1
´⊥
= {0V }.
Nesse caso, dimR
(
Vλ1
)⊥
= dimR V − dimR Vλ1 = 3 − 1 = 2. Pela
Proposic¸a˜o 14 item (iv), T
((
Vλ1
)⊥) ⊂ (Vλ1)⊥ e a restric¸a˜o S de T a (Vλ1)⊥
e´ um operador ortogonal. Podemos supor que S na˜o e´ diagonaliza´vel. De
fato, caso contra´rio, T e´ diagonaliza´vel e o autovalor λ2 de S e´ um autovalor
de T . Como so´ ha´ uma possibilidade para λ2 6= λ1, devemos ter dimR Vλ2 = 2,
ja´ discutido no Caso II.
Tome uma base ortonormal
α de
`
Vλ1
´⊥
e fac¸a os
memos argumentos, ate´
obter a base ortonormal ξ
como mencionado ao lado. A
outra possibilidade na˜o pode
ocorrer, pois S na˜o e´
diagonaliza´vel.
Procedendo de maneira ana´loga a` demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 15,
existe uma base ortonormal de
(
Vλ1
)⊥
, digamos ξ = {v2, v3}, tal que
S]ξξ =
(
cosθ − sen θ
sen θ cosθ
)
, com 0 ≤ θ < 2π, θ 6= 0 e θ 6= π. Tomando
um vetor unita´rio v1 ∈ Vλ1 , temos que β = {v1, v2, v3} e´ uma base orto-
normal de V tal que T ]ββ =

 λ1 0 00 cosθ − sen θ
0 sen θ cosθ

, que e´ do tipo (1) para
λ1 = 1 ou do tipo (2) para λ2 = −1, com 0 ≤ θ < 2π, θ 6= 0 e θ 6= π. �
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
Agora estamos prontos para classificar os operadores ortogonais do
espac¸o.
Corola´rio 2 (Classificac¸a˜o dos operadores ortogonais do R3)
Seja T : R3 −→ R3 um operador ortogonal. Enta˜o,
(i) T e´ uma rotac¸a˜o de θ radianos em torno de uma reta passando pela origem,
com 0 ≤ θ < 2π;
(ii) T e´ uma simetria com respeito a um plano passando pela origem seguida
de uma rotac¸a˜o de θ radianos, com 0 ≤ θ < 2π, em torno da reta passando
pela origem normal ao plano.
Demonstrac¸a˜o: Seja β = {v1, v2, v3} uma base ortonormal do R
3, tal que
T ]
β
β e´ de um dos dois tipos da Proposic¸a˜o anterior. Basta interpretarmos,
geometricamente, cada um desses operadores ortogonais no R3.
(i) Se T ]ββ e´ do tipo (1), enta˜o T(v1) = v1, T(v2) = (cosθ)v2 − (sen θ)v3 e
T(v3) = (sen θ)v2 − (cosθ)v3, logo T e´ a rotac¸a˜o de θ radianos no plano Π
gerado por v2 e v3, em torno da reta gerada por v1, vetor normal ao plano
Π.
(ii) Se T ]ββ e´ do tipo (2), enta˜o T ]
β
β =


1 0 0
0 cosθ − sen θ
0 sen θ cosθ




−1 0 0
0 1 0
0 0 1

,
logo e´ a T e´ a simetria com respeito ao plano Π gerado por v2 e v3 seguida da
rotac¸a˜o de θ radianos em torno da reta r gerada por v1, o plano Π e´ normal
a r. �
Os operadores unita´rios preservam distaˆncias, conforme foi visto no
Corola´rio 1 do Teorema 5. Entretanto, ha´ func¸o˜es em espac¸os vetoriais V
com produto interno que preservam distaˆncias e na˜o preservam normas. Por
exemplo, fixe v0 ∈ V e seja f : V −→ V a translac¸a˜o por v0 definida por
f(v) = v+ v0. Enta˜o,
d(f(u), f(v)) = ‖f(u) − f(v)‖ = ‖(u+ v0) − (v+ v0)‖ = ‖u− v‖ = d(u, v).
Vamos aprofundar o estudo das func¸o˜es em um espac¸o vetorial real
de dimensa˜o finita que preservam distaˆncias (caso real), conhecidas como
movimentos r´ıgidos ou isometrias.
Definic¸a˜o 13 (Isometrias)
Seja V um R-espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno. A
func¸a˜o f : V −→ V e´ chamada uma isometria, se e somente se, f preserva
distaˆncias.
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141 UFF
A´lgebra Linear II
Operadores unita´rios
Proposic¸a˜o 17
Seja V um R-espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno. Se
f : V −→ V e´ uma isometria e f(0V) = 0V, enta˜o f e´ um operador ortogonal.
Demonstrac¸a˜o: Como ‖f(u) − f(v)‖ = ‖u − v‖, para quaisquer u, v ∈ V e
f(0V) = 0V, enta˜o
‖f(u)‖ = ‖f(u) − 0V‖ = ‖f(u) − f(0V)‖ = ‖u− 0v‖ = ‖u‖,
para todo u ∈ V. Logo, f preserva normas. Ale´m disso,
‖f(u) − f(v)‖ = 〈f(u) − f(v), f(u) − f(v)〉
= 〈f(u), f(u)〉− 〈f(u), f(v)〉− 〈f(v), f(u)〉+ 〈f(v), f(v)〉
= 〈f(u), f(u)〉− 2〈f(u), f(v)〉+ 〈f(v), f(v)〉
= ‖f(u)‖2− 2〈f(u), f(v)〉+ ‖f(v)‖2. (1)
Por outro lado,
‖f(u) − f(v)‖2 = ‖u− v‖2
= 〈u− v, u− v〉
= 〈u, u〉− 〈u, v〉− 〈v, u〉+ 〈v, v〉
= 〈u, u〉− 2〈u, v〉+ 〈v, v〉
= ‖u‖2− 2〈u, v〉+ ‖v‖2. (2)
Segue de (1) e (2) que 〈f(u), f(v)〉 = 〈u, v〉, para quaisquer u, v ∈ V.
Portanto, f preserva produto interno.
Seja {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V. Enta˜o,
〈f(vj), f(vk)〉 = 〈vj, vk〉 = δjk, para j, k = 1, . . . , n.
Logo, β = {f(v1), . . . , f(vn)} tambe´m e´ uma base ortonormal de V.
Seja v ∈ V. Escrevendo f(v) como combinac¸a˜o linear de β, temos:
f(v) =
n∑
j=1
〈f(v), f(vj)〉f(vj) =
n∑
j=1
〈v, vj〉f(vj). (3)
Agora podemos mostrar que f e´ R-linear. Segue de (3) que para quais-
quer u, v ∈ V e a ∈ R
f(u+ v) =
n∑
j=1
〈u+ v, vj〉f(vj)
=
n∑
j=1
(〈u, vj〉+ 〈v, vj〉)f(vj)
=
n∑
j=1
(〈u, vj〉f(vj) + 〈v, vj〉)f(vj)
=
n∑
j=1
〈u, vj〉f(vj) +
n∑
j=1
〈v, vj〉f(vj)
= f(u) + f(v).
M.L.T.Villela
UFF 142
Operadores unita´rios
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
f(au) =
n∑
j=1
〈au, vj〉f(vj)
=
n∑
j=1
a〈u, vj〉f(vj)
= a
(
n∑
j=1
〈u, vj〉f(vj)
)
= af(u).
Portanto, f e´ uma func¸a˜o R-linear que preserva produto interno. Pelo
Teorema 5, f e´ um operador ortogonal. �
Corola´rio 3 (Caracterizac¸a˜o das isometrias)
Seja V um R-espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1 com produto interno. Se
f : V −→ V e´ uma isometria, enta˜o f e´ um operador ortogonal S seguido da
translac¸a˜o T de f(0V), isto e´, f = T ◦ S, onde S : V −→ V e´ um operador
ortogonal e T : V −→ V e´ definida por T(v) = v+ f(0V).
Demonstrac¸a˜o: Definimos S : V −→ V por S(v) = f(v) − f(0V). Enta˜o,
f(v) = S(v) + f(0V) = T(S(v)) = (T ◦ S)(v).
Resta mostrar que S e´ um operador linear ortogonal. Como
‖S(u) − S(v)‖ = ‖(f(u) − f(0V))− (f(v) − f(0V))‖ = ‖f(u) − f(v)‖ = ‖u− v‖,
enta˜o S e´ uma isometria. Ale´m disso, S(0V) = 0V. Pela Proposic¸a˜o anterior,
S e´ um operador linear ortogonal. �
Exerc´ıcios
1. Seja V um K-espac¸o vetorial com produto interno e dimensa˜o finita.
Seja T : V −→ V um operador K-linear unita´rio. Mostre que se W e´
um subespac¸o de V invariante por T , enta˜o W⊥ e´ um subespac¸o de V
tambe´m invariante por T .
2. Mostre que os seguintes operadores lineares T : V −→ V sa˜o unita´rios:
(a) T(x, y) =
(
3x−y√
10
, −x+3y√
10
)
, para cada (x, y) ∈ V = R2.
(b) T(x, y, z) = 1
3
(x + 2y + 2z, 2x − 2y + z, 2x + y − 2z), para todo
(x, y, z) ∈ V = R3.
(c) T(x, y) = 1√
3
(x+(1−i)y, (1+i)x−y), para todo (x, y) ∈ V = C2.
(d) T(x, y) = 1
5
(3ix+ 4y,−4ix+ 3y), para todo (x, y) ∈ V = C2.
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A´lgebra Linear II
Operadores unita´rios
3. Deˆ todos os poss´ıveis polinoˆmios caracter´ısticos de um operador orto-
gonal do R2.
4. Deˆ todos os poss´ıveis polinoˆmios caracter´ısticos de um operador orto-
gonal do R3.
5. Os seguintes operadores lineares do R3 sa˜o operadores ortogonais. Mos-
tre como construir uma base β, base ortonormal do R3, tal que T ]ββ e´ de
um dos tipos descritos na Proposic¸a˜o 16 e deˆ o polinoˆmio caracter´ıstico
de T .
(a) T e´ a simetria com respeito a um plano passando pela origem.
(b) T e´ a simetria com respeito a origem.
(c) T e´ a simetria com respeito a uma reta passando pela origem.
6. Descreva as isometrias do R2.
7. Descreva as isometrias