provas BCP

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**Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\), temos \(k 
= 5\). 
 
70. **Problema 70:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (6x^3 - 4x^2 + 2) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{6x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x\right]_0^1 = \left(1 - 
\frac{4}{3} + 2\right) = 1\). 
 
71. **Problema 71:** 
 Determine a solução da equação \(y' + 4y = 0\). 
 a) \(y = Ce^{-4x}\) 
 b) \(y = Ce^{4x}\) 
 c) \(y = 4e^{-x}\) 
 d) \(y = 4e^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-4x}\). 
 **Explicação:** A equação é separável. A solução geral é dada por \(y = Ce^{-4x}\). 
 
72. **Problema 72:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). 
 a) 5 
 b) 10 
 c) 1 
 d) 2 
 **Resposta:** a) 5. 
 **Explicação:** O determinante é \(ad - bc = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5\). 
 
73. **Problema 73:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** b) Converge. 
 **Explicação:** A série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}\) é uma série p com \(p = 5 > 
1\), portanto, converge. 
 
74. **Problema 74:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\). 
 a) \(2x\cos(x^2)\) 
 b) \(\cos(x^2)\) 
 c) \(x\cos(x^2)\) 
 d) \(2\cos(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x\cos(x^2)\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 2x\cos(x^2)\). 
 
75. **Problema 75:** 
 Calcule a integral \(\int (7x^3 + 1) \, dx\). 
 a) \(x^4 + x + C\) 
 b) \(7x^4 + x + C\) 
 c) \(7x^4 + C\) 
 d) \(x^4 + 7 + C\) 
 **Resposta:** b) \(7x^4 + x + C\). 
 **Explicação:** A integral é \(\int (7x^3 + 1) \, dx = \frac{7x^4}{4} + x + C\). 
 
76. **Problema 76:** 
 Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 6. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\), temos \(k 
= 6\). 
 
77. **Problema 77:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (5x^2 - 3x + 1) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta:** a) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 1\right) = 1\). 
 
78. **Problema 78:** 
 Determine a solução da equação \(y' + 2y = 0\). 
 a) \(y = Ce^{-2x}\) 
 b) \(y = Ce^{2x}\) 
 c) \(y = 2e^{-x}\) 
 d) \(y = 2e^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x}\). 
 **Explicação:** A equação é separável. A solução geral é dada por \(y = Ce^{-2x}\). 
 
79. **Problema 79:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\). 
 a) 1 
 b) 7 
 c) -1 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 7.