provas BAE

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40. **Problema 40:** 
 Determine a solução da equação \(y' - 3y = 0\). 
 a) \(y = Ce^{3x}\) 
 b) \(y = Ce^{-3x}\) 
 c) \(y = 3e^{x}\) 
 d) \(y = Ce^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{3x}\). 
 **Explicação:** A equação é separável. A solução geral é dada por \(y = Ce^{3x}\). 
 
41. **Problema 41:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx\). 
 a) 1 
 b) \(\frac{5}{4}\) 
 c) \(\frac{7}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{4}\). 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{2x^4}{4} + x^3\right]_0^1 = \left[\frac{1}{2} + 
1\right] = \frac{3}{2}\). 
 
42. **Problema 42:** 
 Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 2}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + 
\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{2}{x^2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 
 
43. **Problema 43:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 4)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 4}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 4}\) 
 c) \(\frac{2}{x}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 4}\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 4}\). 
 
44. **Problema 44:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** b) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} - 1 + 
1\right) = \frac{1}{3}\). 
 
45. **Problema 45:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** b) Converge. 
 **Explicação:** A série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) é uma série p com \(p = 3 > 
1\), portanto, converge. 
 
46. **Problema 46:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \cos(2x)\). 
 a) \(-2\sin(2x)\) 
 b) \(-\sin(2x)\) 
 c) \(2\sin(2x)\) 
 d) \(\cos(2x)\) 
 **Resposta:** a) \(-2\sin(2x)\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = -2\sin(2x)\). 
 
47. **Problema 47:** 
 Calcule a integral \(\int (3x^2 + 2x) \, dx\). 
 a) \(x^3 + x^2 + C\) 
 b) \(x^3 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{3x^3}{3} + x^2 + C\) 
 d) \(3x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 + x^2 + C\). 
 **Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C\). 
 
48. **Problema 48:** 
 Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = 1\). 
 
49. **Problema 49:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^3 + 2) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \(\frac{5}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta:** b) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[x^4 + 2x\right]_0^1 = (1 + 2) - (0 + 0) = 3\).