Princípio dos Trabalhos Virtuais

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Estruturas Isostáticas e 
Hiperestáticas
Princípio dos Trabalhos Virtuais
(PTV)
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Importante ferramenta com aplicação variada no estudo da Estática
Aplicações:
• Cálculo de deslocamentos
• Determinação de incógnitas de estruturas hiperestáticas
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método da Energia 
𝑈 =
1
2
∙ 𝑃 ∙ 𝛿 Energia de deformação
• Virtual: na realidade não está ocorrendo
• Deslocamento virtual: 
 - Deslocamento hipotético infinitesimal (rotação ou translação) de um 
ponto ou sistemas de pontos materiais em equilíbrio
 - Causado por uma ação externa independente das forças externas que 
mantém o sistema em equilíbrio
 - É infinitesimal para não alterar as condições de equilíbrio das forças e 
as configuração geométrica dos sistema
• Trabalho virtual: trabalho realizado pelas forças ou momentos atuantes em um 
ponto material ou corpo, quando o mesmo sofre um deslocamento virtual, não 
causados pelas forças ou momentos em ação
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método da Energia 
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Partículas
• Princípio d ’ Alembert: para uma partícula em equilíbrio, o trabalho virtual total 
realizado pelo sistema de forças reais agindo sobre o ponto, quando este sofre um 
deslocamento virtual qualquer, é nulo.
Deslocamento virtual
𝑅 = 0
𝑅 = 0
Sistema em equilíbrio
T = 𝑅 ∙ 𝛿 = 0
Equilíbrio Estático
Equilíbrio Energético
Equilíbrio Estático
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Corpos Rígidos
• Corpos rígidos: para um corpo rígido em equilíbrio, a soma dos 
trabalhos virtuais de todas as forças reais é nula para qualquer 
deslocamento virtual imposto
• Corpos elásticos: para um corpo elástico que atingiu a configuração de 
equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas e igual ao trabalho 
virtual das forças internas para todos os deslocamentos virtuais 
impostos (Texterno = Tinterno)
Soma de infinitas partículas, portanto o PTV pode ser extrapolado
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Cálculo de Deslocamentos
• Carregamento externo → esforços internos (N, V e M)
• Carregamento virtual → esforços internos ( ഥ𝑁, ത𝑉 𝑒 ഥ𝑀)
Qual é o deslocamento ?
Configuração geométrica antes de P = 
Configuração geométrica depois de P
Deslocamento virtual imposto
Estado de deslocamento
Estado de carregamento
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Cálculo de Deslocamentos
• Trabalho virtual das forças externas (reações não realizam trabalho): 
Texterno = P.
Estado de carregamento
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Cálculo de Deslocamentos
• Trabalho virtual dos esforços internos: para um corpo elástico que atingiu 
a configuração
Estado de carregamento
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método de Cálculo
𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = න ഥ𝑁 ∙ 𝑑𝑢 + න ത𝑉 ∙ 𝑑𝑣 + න ഥ𝑀 ∙ 𝑑𝜑
Esforços internos virtuais 
Deslocamentos reais
• Resistência dos Materiais:
𝑑𝑢 =
𝑁𝑑𝑠
𝐸𝐴
𝑑𝑣 =
∝ 𝑉𝑑𝑠
𝐺𝐴
𝑑𝜑 =
𝑀𝑑𝑠
𝐸𝐼
N – Esforço normal
V – Esforço cortante
M – Momento fletor
  - coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme resultante das 
tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seção transversal
I – Momento de inércia
E – Módulo de elasticidade
G – Módulo de elasticidade transversal
A – Área da seção transversal
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método de Cálculo
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método de Cálculo
• Barra prismática submetida a carga axial
d𝑢 = ෍
𝑖=1
𝑛
ഥ𝑁𝑖 ∙ 𝑙𝑖
𝐸𝑖 ∙ 𝐴𝑖
Resistência dos Materiais
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Deslocamento de Carga Axial (du)
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Método de Cálculo
•Observações importantes:
• N, V e M corresponde aos esforços internos do Estado de deslocamento e 
ഥ𝑁, ത𝑉 𝑒 ഥ𝑀 corresponde aos esforços internos do Estado de Carregamento
• As ações externas podem ser representadas por cargas (forças ou momentos), 
recalques de apoio ou por variação de temperatura
• É utilizado o princípio da superposição dos efeitos para o método de cálculo
• Princípio da superposição dos efeitos estabelece que em uma estrutura que 
obedece a Lei de Hooke e está submetida a um carregamento composto por 
diversas ações, o deslocamento total de qualquer ponto é a soma dos deslocamentos 
produzidos pelas ações individuais
• Barras articuladas
• Ações externas são aplicadas apenas nos nós
𝑃 ∙ 𝛿 = න ഥ𝑁𝑖 ∙ 𝑑𝑢 + න ത𝑉𝑖 ∙ 𝑑𝑣 + න ഥ𝑀𝑖 ∙ 𝑑𝜑
𝑃 ∙ 𝛿 = න ഥ𝑁 ∙ 𝑑𝑢𝑎 = ෍
𝑖=1
𝑛
ഥ𝑁𝑖 ∙ 𝑁𝑖 ∙ 𝑙𝑖
𝐸𝑖 ∙ 𝐴𝑖
P – Carregamento virtual
 - Deslocamento 
ഥ𝑁𝑖– Esforço da barra i devido ao estado de carregamento 
Ni – Esforço da barra i devido a carga no estado de deslocamento
li – Comprimento da barra i
Ei – Módulo de elasticidade da barra i
Ai – Área da seção transversal da barra i
Barras somente com esforços normais
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Elementos Somente com Carga Axial
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Elementos Fletidos
• Parcelas do trabalho virtual devidas à força cortante e a força normal 
podem ser desprezadas
P – Carregamento virtual
 - Deslocamento 
ഥ𝑀– Momento fletor no estado de carregamento 
M – Momento fletor no estado de deslocamento
l – Momento de inércia da seção transversal
E – Módulo de elasticidade 
𝑃 ∙ 𝛿 = න ഥ𝑁 ∙ 𝑑𝑢 + න ത𝑉 ∙ 𝑑𝑣 + න ഥ𝑀 ∙ 𝑑𝜑
𝑃 ∙ 𝛿 = න
ഥ𝑁 ∙ 𝑁
𝐸𝑖 ∙ 𝐴𝑖
𝑑𝑠 + න
ത𝑉 ∙ 𝑉
𝐺𝑖 ∙ 𝐴𝑖
𝑑𝑠 + න
ഥ𝑀 ∙ 𝑀
𝐸𝑖 ∙ 𝐼𝑖
𝑑𝑠
Deslocamentos desprezíveis
𝑃 ∙ 𝛿 = න
ഥ𝑀 ∙ 𝑀
𝐸𝑖 ∙ 𝐼𝑖
𝑑𝑠
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Tabela
• Procedimento:
• Traçar diagramas de momento fletor para os estados de deslocamento e 
carregamento
• Usar tabela para cada trecho sem descontinuidade
• Trechos contínuos com diagramas com lados invertidos utilizar sinal negativo
• Trechos contínuos com diagramas crescentes ou decrescentes invertidos utilizar 
sinal negativo
𝑃 ∙ 𝛿 = න
ഥ𝑀 ∙ 𝑀
𝐸𝑖 ∙ 𝐼𝑖
𝑑𝑠
Substitui as integrais utilizando equações de momento fletor para estruturas compostas por 
barras retas e momento de inércia constante
Princípio dos Trabalhos Virtuais | Tabela
Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre da viga abaixo, 
considerando EI constante:
Exercício 1
Calcular a inclinação do ponto B da viga, considerando EI constante 
igual a 104 tfm2
Exercício 2
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