Fraudes e Roubo de Identidade

Prévia do material em texto

Em um ano recente, a forma mais comum de roubo de identidade 
relatada foi fraude de documentos/ benefícios do governo, que 
representou 36% dos casos. A segunda forma mais comum foi fraude 
de cartão de crédito, que respondeu por 30% dos casos.
11.1
Teste dos sinais
11.2
Testes de Wilcoxon
Estudo de caso
11.3
Teste de Kruskal-Wallis
11.4
Correlação de postos
11.5
Teste de corridas
Usos e abusos
Estatística real – Decisões reais
Tecnologia
C A P Í T U L O 11
Testes não paramétricos
Onde estamos
 Para onde vamos
Até este ponto no livro, você estudou dezenas de fórmu-
las e testes estatísticos diferentes que podem ajudar em 
um processo de tomada de decisão. Condições específicas 
tinham de ser satisfeitas a fim de usar essas fórmulas e 
testes.
Suponha que se acredite que, conforme o número de 
reclamações de fraude em um estado aumenta, o número de 
vítimas de roubo de identidade também aumenta. Essa cren-
ça pode ser confirmada por dados reais? A Tabela 11.1 mostra 
os números de reclamações de fraude e vítimas de roubo de 
identidade para 25 estados selecionados aleatoriamente em 
um ano recente. (Fonte: Federal Trade Commission.).
Tabela 11.1
Reclamações de fraude 10.092 3.504 71.328 35.533 34.375 8.594 4.064 15.886 10.970
Vítimas de roubo de identidade 2.301 1.266 24.370 22.801 7.432 7.183 637 3.454 4.374
Reclamações de fraude 48.507 63.115 11.354 241.262 85.622 24.539 79.208 38.947
Vítimas de roubo de identidade 13.653 20.718 2.353 101.367 30.176 17.470 15.632 8.246
Reclamações de fraude 4.346 78.412 28.416 318.698 111.261 19.700 53.111 3.582
Vítimas de roubo de identidade 810 32.125 6.821 147.382 33.886 11.048 45.575 875
Neste capítulo você estudará testes estatísticos adicionais 
que não necessitam que a distribuição da população satis-
faça quaisquer condições específicas. Cada um desses tes-
tes pode ser útil em aplicações da vida real.
Com os dados apresentados anteriormente, o número 
de reclamações de fraude F e o número de vítimas de roubo 
de identidade V podem ser relacionados pela equação de 
regressão V = 0.438F – 2.114,066. O coeficiente de correla-
ção é aproximadamente 0,971, então, há uma correlação 
positiva forte. Você pode determinar que a correlação é sig-
nificativa usando a Tabela B.11 no Apêndice B. Uma análise 
mais profunda dos dados, contudo, pode mostrar que as 
variáveis não parecem ter uma distribuição normal bivaria-
da, o que é um dos requisitos para usar o coeficiente de 
correlação de Pearson.
Assim, embora um simples teste de correlação possa 
indicar uma relação entre o número de reclamações de 
fraude e o número de vítimas de roubo de identidade, 
podem-se questionar os resultados porque os dados não 
se encaixam nos requisitos para o teste. Você estudará 
testes similares neste capítulo, como o teste de correlação 
de postos de Spearman, que lhe darão informações adicio-
nais. O coeficiente de correlação de postos de Spearman 
para esses dados é aproximadamente 0,920. Com α = 0,01, 
há de fato uma correlação significativa entre o número de 
reclamações de fraude e o número de vítimas de roubo de 
identidade para cada estado (veja a Figura 11.1).
Reclamações de fraude
V
ít
im
as
 d
e 
ro
u
b
o
 d
e 
id
en
ti
d
ad
e
x
y
100.000 200.000 300.000 400.000
50.000
100.000
150.000
200.000
Figura 11.1 Número de reclamações de fraude e vítimas de roubo 
de identidade para 25 estados.
584 Parte 4 Mais inferências estatísticas
O teste dos sinais para uma mediana populacional  O teste dos sinais 
usando amostras pareadas
O teste dos sinais para uma mediana 
populacional
Muitos dos testes de hipótese estudados até aqui impuseram um ou mais requisitos para 
uma distribuição populacional. Por exemplo, alguns testes requerem que uma população 
tenha uma distribuição normal e ou-tros testes requerem que as variâncias populacionais 
sejam iguais. O que você deve fazer quando tais requisitos não podem ser satisfeitos? 
Para esses casos, os estatísticos desenvolveram testes de hipóteses usados para dados 
com “distribuição livre”. Tais testes são chamados testes não paramétricos.
DEFINIÇÃO
Um teste não paramétrico é um teste de hipótese que não requer quaisquer condi-
ções específicas acerca das formas das distribuições populacionais ou dos valores de 
parâmetros populacionais.
Testes não paramétricos geralmente são mais fáceis de realizar do que os testes pa-
ramétricos correspondentes. No entanto, eles são, em geral, menos eficientes que testes 
paramétricos. Evidências mais fortes são necessárias para rejeitar uma hipótese nula 
usando os resultados de um teste não paramétrico. Consequentemente, sempre que pos-
sível, você deve usar um teste paramétrico. Um dos testes não paramétricos mais fáceis 
de realizar é o teste dos sinais. A única condição necessária para usar um teste dos sinais 
é que a amostra seja selecionada aleatoriamente.
DEFINIÇÃO
O teste dos sinais é um teste não paramétrico que pode ser usado para testar uma 
mediana populacional contra um valor hipotético k.
O teste dos sinais para uma mediana populacional pode ser unilateral à esquerda, 
unilateral à direita ou bilateral. As hipóteses nula e alternativa para cada tipo de teste são 
as seguintes:
Teste unilateral à esquerda:
 H0: mediana ≥ k e Ha: mediana k
Teste bilateral:
 H0: mediana = k e Ha: mediana ≠ k.
Para usar o teste de sinais, primeiro compare cada valor na amostra com a mediana 
hipotética k. Quando o valor estiver abaixo da mediana, atribua-lhe um sinal –; quando 
o valor estiver acima da mediana, atribua-lhe um sinal + e, quando o valor for igual à 
mediana, atribua-lhe um 0. Então, compare o número de sinais + e – (os zeros são igno-
rados). Quando houver uma grande diferença entre o número de sinais + e o número de 
sinais –, é provável que a mediana seja diferente do valor hipotético e você deve rejeitar 
a hipótese nula.
 11.1 Teste dos sinais
O que você deve aprender
 Como usar o teste dos sinais 
para testar uma mediana 
populacional.
 Como aplicar o teste dos 
sinais usando amostras 
pareadas para testar 
a diferença entre duas 
medianas populacionais 
(amostras dependentes).
Dica de estudo
Para testes não 
paramétricos, os 
estatísticos testam 
a mediana em vez da 
média.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 585
A Tabela B.8 no Apêndice B lista os valores críticos para o teste dos sinais para 
níveis de significância selecionados e tamanhos de amostras. Quando o teste de sinais é 
usado, o tamanho da amostra n é o número total de sinais + e –. Quando o tamanho da 
amostra é maior que 25, você pode usar a distribuição normal padrão para encontrar os 
valores críticos.
Estatística de teste para o teste dos sinais
Quando n ≤ 25, a estatística de teste para o teste dos sinais é x, o menor número dos 
sinais + ou –.
Quando n > 25, a estatística de teste para o teste de sinais é:
z =
( x + 0,5) – 0,5n
√n
2
em que x é o menor número de sinais + ou – e n é o tamanho da amostra, isto é, o 
número total dos sinais + e –.
Uma vez que x é definido como o menor número dos sinais + ou –, a região de re-
jeição está sempre na lateral esquerda. Consequentemente, o teste dos sinais para uma 
mediana populacional é sempre um teste unilateral à esquerda ou um teste bilateral. 
Quando o teste for bilateral, use apenas o valor crítico da lateral à esquerda. (Quando x 
é definido como o maior número dos sinais + ou –, a região de rejeição está sempre na 
lateral direita. Testes dos sinais unilaterais à direita são apresentados nos exercícios.)
INSTRUÇÕES
Realizando um teste dos sinais para uma mediana populacional
Em palavras Em símbolos
1. Verifique se a amostra é aleatória.
2. Identifique a afirmação. Declare as Formule H0 e Ha.
hipóteses nula e alternativa.
3. Especifique o nível de significância. Identifique α.
4. Determine o tamanho da amostra n, n = número total de sinais + e –
atribuindo sinais +, sinais –nula e alternativa estão 
listadas a seguir.
H0: ρs = 0 (Não há correlação entre o número de homens e o númerode mulheres 
matriculados em uma faculdade.)
Ha: ρs ≠ 0 (Há correlação significativa entre o número de homens e o número de 
mulheres matriculados em uma faculdade.) (Afirmação)
Capítulo 11 Testes não paramétricos 613
Cada conjunto de dados tem 10 valores. Como α = 0,05 e n = 10, o valor crítico é 
0,648. Para calcular a estatística de teste, você deve encontrar Σd2, a soma dos quadra-
dos das diferenças dos postos dos conjuntos de dados. Você pode usar uma tabela para 
calcular Σd2, conforme mostrado na Tabela 11.15.
Tabela 11.15 Operações para o cálculo do coeficiente de correlação rs
Júnior Posto Sênior Posto d d2
1.786 6 2.182 6,5 –0,5 0,25
4.246 10 4.415 10 0 0
1.419 5 1.537 5 0 0
1.188 3 1.236 3 0 0
2.394 7 2.182 6,5 0,5 0,25
1.079 1 919 1 0 0
4.049 9 4.209 9 0 0
3.595 8 3.741 8 0 0
1.102 2 1.086 2 0 0
1.345 4 1.282 4 0 0
Σd2 = 0,5
Uma vez que n = 10 e Σd2 = 0,5, a estatística de teste é:
rs = 1 –
6 d 2
n n2 – 1
= 1 –
6 0,5
10 102 – 1
≈ 0,997.
Como |rs| ≈ 0,997 > 0,648, você rejeita a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 5%, para con-
cluir que há correlação significativa entre o número de homens e o número de mulhe-
res matriculados em uma faculdade.
TENTE VOCÊ MESMO 1
A Tabela 11.16 mostra os preços (em dólares por alqueire) recebidos para aveia e trigo 
em uma amostra de sete agricultores americanos. Com α = 0,10, você pode concluir 
que há uma correlação significativa entre os preços da aveia e do trigo? (Adaptado de 
U.S. Department of Agriculture.)
Tabela 11.16 Preços relativos 
a aveia e trigo
Aveia Trigo
2,97
2,69
3,00
3,11
3,07
3,41
3,42
5,24
5,46
5,48
5,83
5,886
6,04
6,46
Dica de estudo
Lembre-se, no caso 
de empate entre os 
valores do par, use 
a média dos postos 
correspondentes.
 
Retratando 
o mundo
A tabela a seguir mostra os 
preços de varejo (em dólares 
por libra) para 100% carne 
moída e frango inteiro fresco 
para uma amostra aleatória de 
nove mercearias nos Estados 
Unidos. (Adaptado de U.S. Bureau of 
Labor Statistics.)
 
Carne Frango
4,03 1,64
3,95 1,62
3,97 1,60
3,99 1,58
4,04 1,54
4,10 1,52
4,10 1,49
4,36 1,47
4,39 1,44
 
Existe correlação significativa 
entre os preços da carne moída 
e do frango nas mercearias dos 
Estados Unidos? Use α = 0,10.
614 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Construindo habilidades básicas e vocabulário
1. Cite algumas vantagens do coeficiente de correlação de postos de Spearman sobre 
o coeficiente de correlação de Pearson.
2. Descreva os limites do coeficiente de correlação de postos de Spearman e do coefi-
ciente de correlação de Pearson.
3. O que significa quando rs é igual a 1? O que significa quando rs é igual a –1? O que 
significa quando rs é igual a 0?
4. Explique, com suas palavras, o que rs e ρs representam no Exemplo 1.
Usando e interpretando conceitos
Testando uma afirmação Nos exercícios 5 a 8, (a) identifique a afirmação 
e declare H0 e Ha, (b) encontre o valor crítico, (c) encontre a estatística de teste rs, 
(d) decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
5. Despesas agrícolas Em um relatório agrícola, um analista de commodities afir-
ma que há uma correlação significativa entre despesas com compra de sementes e 
despesas com fertilizantes e cal nos negócios agrícolas. A tabela a seguir mostra as 
despesas totais com compra de sementes e despesas com fertilizantes e cal para fa-
zendas em oito estados selecionados aleatoriamente, para um ano recente. Para o ní-
vel α = 0,05, há evidência suficiente para aceitar a afirmação do analista? (Adaptado 
de U.S. Department of Agriculture.)
Estado
Despesas com compra 
de sementes (em milhões 
de dólares)
Despesas com 
fertilizantes e cal 
(em milhões de dólares)
Califórnia 1.760 2.280
Flórida 510 430
Indiana 960 950
Lousiana 234 248
Minnesota 1.570 1.330
Carolina do Norte 400 430
Dakota do Sul 748 783
Wisconsin 760 680
6. Aparelhos de exercício A tabela a seguir mostra as pontuações gerais e os preços 
para uma amostra aleatória de nove modelos diferentes de equipamentos de exer-
cício elíptico. A pontuação geral representa a ergonomia, amplitude do exercício, 
facilidade de uso, construção, monitoramento cardíaco e segurança. Com α = 0,05, 
você pode concluir que há uma correlação significativa entre a pontuação geral e o 
preço? (Fonte: Consumer Report.)
Pontuação geral 77 75 73 71
Preço (em dólares) 3.700 1.700 1.300 900
Pontuação geral 66 66 64 62 58
Preço (em dólares) 1.000 1.400 1.800 1.000 700
11.4 EXERCÍCIOS
Capítulo 11 Testes não paramétricos 615
7. Consumo Pessoal A tabela mostra o gasto per capita (em milhares de dólares) 
para habitação e serviços públicos e para cuidados de saúde em nove estados dos 
Estados Unidos. Com α = 0,01, você pode concluir que existe uma correlação sig-
nificativa entre os gastos per capita com habitação e serviços públicos e com saú-
de? (Fonte: U.S. Bureau of Economic Analysis)
Habitação, utilidades 7,0 6,7 7,2 6,8 6,8 9,1 5,8 7,4 11,1
Assistência médica 5,3 6,6 7,2 7,6 7,0 11,3 6,3 8,2 7,7
8. Aspiradores de pó A tabela a seguir mostra as pontuações gerais e os preços para 
uma amostra aleatória de 12 modelos diferentes de aspiradores de pó. A pontuação 
geral representa limpeza de carpete e piso, fluxo de ar, manuseio, barulho e emis-
sões. Com α = 0,10, você pode concluir que há uma correlação significativa entre a 
pontuação geral e o preço? (Fonte: Consumer Report.)
Pontuação geral 65 71 69 47 55 38
Preço (em dólares) 150 200 550 350 471 90
Pontuação geral 47 47 47 57 34 65
Preço (em dólares) 80 130 210 190 300 260
Notas de teste e RNB Nos exercícios de 9 a 12, use a tabela a seguir, que mos-
tra as notas médias alcançadas em ciências e matemática por pessoas de 15 anos de 
idade, juntamente com as Rendas Nacionais Brutas (RNB) de nove países selecionados 
aleatoriamente para um ano recente. (A RNB é uma medida do valor total dos bens 
e serviços produzidos pela economia de um país.) (Fonte: Organization for Economic 
Cooperation and Development; The World Bank.)
País
Média de 
ciências
Média de 
matemática
RNB (em bilhões 
de dólares)
Canadá 503 491 53.730
França 404 384 7.850
Alemanha 518 512 43.440
Itália 503 500 46.980
Japão 393 379 3.870
México 468 487 32.200
Espanha 419 409 8.480
Suécia 499 502 53.800
Estados Unidos 495 515 87.950
9. Ciências e RNB Com α = 0,10, você pode concluir que há uma correlação signi-
ficativa entre as notas alcançadas em ciências e a RNB?
10. Matemática e RNB Com α = 0,10, você pode concluir que há uma correlação 
significativa entre as notas alcançadas em matemática e a RNB?
11. Ciências e matemática Com α = 0,10, você pode concluir que há uma correlação 
significativa entre as notas alcançadas em ciências e matemática?
12. Raciocínio Você pode usar os resultados dos Exercícios de 9 a 11 para determi-
nar se existe uma correlação significativa entre as pontuações dos testes e o RNB 
per capita com α = 0,10. Explique seu raciocínio.
616 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Expandindo conceitos
Testando o coeficiente de correlação de postos de Spearman para 
n > 30 Quando você está testando a significância do coeficiente de correlação de 
postos de Spearman e o tamanho da amostra n é maior que 30, você pode usar a seguin-
te expressão para encontrar o valor crítico.
z
n – 1
, z correspondente ao nível de signicância
Nos exercícios 13 e 14, teste o coeficiente de correlação de postos de Spearman.
13. Acidentes de trabalho A tabela a seguir mostra a média de horas trabalhadas por 
semana e o número de acidentes no local de trabalho para uma amostra aleatória 
de empresas dos Estados Unidos em um ano recente. Com α = 0,10, você pode 
concluir que há uma correlação significativa entre a média de horas trabalhadas e o 
número de acidentes no local de trabalho?
Horas 
trabalhadas 4643 41 40 41 42 45 45 42 45 44 44
Acidentes 22 25 18 17 20 22 28 29 24 26 26 25
Horas 
trabalhadas 45 46 47 47 46 46 49 50 50 42 41 42
Acidentes 27 29 29 30 29 29 30 30 30 23 22 23
Horas 
trabalhadas 41 41 41 41 40 39 38 39 39
Acidentes 21 19 18 18 17 16 16 16 16
14. Acidentes de trabalho na construção A tabela a seguir mostra a média de horas 
trabalhadas por semana e o número de acidentes no local de trabalho para uma 
amostra aleatória de empresas de construção dos Estados Unidos em um ano recen-
te. Com α = 0,05, você pode concluir que há uma correlação significativa entre a 
média de horas trabalhadas e o número de acidentes no local de trabalho?
Horas 
trabalhadas 38 38 37 38 38 40 39 39 39 40 39 41
Acidentes 11 11 9 10 10 17 15 14 14 16 15 17
Horas 
trabalhadas 41 42 41 41 41 42 42 42 42 41 41 39
Acidentes 17 21 18 18 18 22 21 19 21 18 17 12
Horas 
trabalhadas 38 38 39 39 36 37 36 37 37 37 37
Acidentes 12 11 13 12 6 6 6 6 7 8 7
Capítulo 11 Testes não paramétricos 617
O teste de corridas para aleatoriedade
O teste de corridas para aleatoriedade
Ao obter uma amostra de dados, é importante que eles sejam selecionados alea-
toriamente. Mas como você sabe se os dados amostrais são realmente aleatórios? Um 
modo de testar a aleatoriedade em um conjunto de dados é usar um teste de corridas 
para aleatoriedade.
Antes de usar o teste de corridas para aleatoriedade, você deve saber como determi-
nar o número de corridas em um conjunto de dados.
DEFINIÇÃO
Uma corrida é uma série de dados que possuem a mesma característica. Cada corrida 
é precedida e seguida por dados com uma característica diferente ou por nenhum 
dado. O número de dados em uma corrida é chamado de extensão da corrida.
EXEMPLO 1
Encontrando o número de corridas
Uma máquina de distribuição de líquidos foi projetada para encher garrafas de um 
litro. Um inspetor de controle de qualidade decide se cada garrafa é enchida até um 
nível aceitável: se passa na inspeção (P) ou se falha na inspeção (F). Determine o nú-
mero de corridas para cada série e encontre a extensão de cada corrida.
1. P P P P P P P P F F F F F F F F
2. P F P F P F P F P F P F P F P F
3. P P F F F F P F F F P P P P P P
SOLUÇÃO
1. Há duas corridas. Os primeiros 8 Ps formam uma corrida de extensão 8 e os pri-
meiros 8 Fs formam outra corrida de extensão 8, conforme mostrado a seguir:
P P P P P P P P F F F F F F F F
1ª corrida 2ª corrida
2. Há 16 corridas, cada uma com extensão 1, conforme mostrado a seguir:
P F P F P F P F P F P F P F P F
1ª
corrida
2ª
corrida…
…16ª
corrida
3. Há 5 corridas, a primeira de extensão 2, a segunda de extensão 4, a terceira de 
extensão 1, a quarta de extensão 3 e a quinta de extensão 6, conforme mostrado a 
seguir:
P P F F F F P F F F P P P P P P
1ª corrida 2ª corrida 3ª corrida 4ª corrida 5ª corrida
 11.5 Teste de corridas
O que você deve aprender
 Como usar o teste de 
corridas para determinar 
se um conjunto de dados é 
aleatório.
618 Parte 4 Mais inferências estatísticas
TENTE VOCÊ MESMO 1
Uma máquina produz um tipo de peça de motor. Um inspetor mede o diâmetro de cada 
peça e determina se a peça passa na inspeção (P) ou se falha na inspeção (F). Os re-
sultados são mostrados a seguir. Determine o número de corridas na série e encontre 
a extensão de cada corrida.
P P P F P F P P P P F F P F P P F F F P P P F P P P
Quando cada valor em um conjunto de dados pode ser categorizado em uma de duas 
categorias separadas, você pode usar o teste de corridas para aleatoriedade para determi-
nar se os dados são aleatórios.
DEFINIÇÃO
O teste de corridas para aleatoriedade é um teste não paramétrico que pode ser 
usado para determinar se uma sequência de dados amostrais é aleatória.
O teste de corridas para aleatoriedade considera o número de corridas em uma série 
de dados amostrais a fim de testar se a sequência é aleatória. Quando uma sequência tem 
muito poucas corridas ou corridas demais, geralmente ela não é aleatória. Por exemplo, 
a série:
P P P P P P P P F F F F F F F F
do Exemplo 1, parte 1, tem muito poucas corridas (apenas 2). A série:
P F P F P F P F P F P F P F P F
do Exemplo 1, parte 2, tem corridas demais (16). Então, esses dados amostrais provavel-
mente não são aleatórios.
Você pode usar um teste de hipótese para determinar se o número de corridas em 
uma série de dados amostrais é muito alto ou muito baixo. O teste de corridas é um teste 
bilateral, e as hipóteses nula e alternativa são apresentadas:
H0: A sequência de dados é aleatória.
Ha: A sequência de dados não é aleatória.
Ao usar o teste de corridas, faça n1 representar o número de dados que possui uma 
característica e n2 o número de dados que possui a segunda característica. Não importa 
qual característica você escolhe para ser representada por n1. Faça G representar o nú-
mero de corridas.
n1 = número de dados com uma característica.
n2 = número de dados com outra característica.
G = número de corridas.
A Tabela B.12 no Apêndice B lista os valores críticos para o teste de corridas para 
valores selecionados de n1 e n2 para o nível de significância α = 0,05. (Neste texto, 
você usará apenas o nível de significância α = 0,05 quando realizar testes de corridas.) 
Quando n1 ou n2 são maiores que 20, você pode usar a distribuição normal padrão para 
encontrar os valores críticos.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 619
Você pode calcular a estatística de teste para o teste de corridas da seguinte maneira.
Estatística de teste para o teste de corridas
Quando n1 ≤ 20 e n2 ≤ 20, a estatística de teste para o teste de corridas é G, o número 
de corridas.
Quando n1 > 20 ou n2 > 20, a estatística de teste para o teste de corridas é:
z =
G – μG
σG
Onde
μG =
2n1n2
n1 + n2
+ 1 e σG =
2n1n2( 2n1n2 – n1 – n2)
( n1 + n2) 2( n1 + n2 – 1)
.
INSTRUÇÕES
Testando a significância do coeficiente de correlação de postos de Spearman
Em palavras Em símbolos
1. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha
as hipóteses nula e alternativa.
2. Especifique o nível de Identifique α.
significância. (Use α = 0,05 
para o teste de corridas.)
3. Determine o número de dados Determine n1, n2 e G.
que possui cada característica 
e o número de corridas.
4. Determine os valores críticos. Quando n1 ≤ 20 e n2 ≤ 20, use a Tabela 
B.12 no Apêndice B. 
 Quando n1 > 20 ou n2 > 20, use a Tabela 
B.4 no Apêndice B.
5. Encontre a estatística de teste. Quando n1 ≤ 20 e n2 ≤ 20, use G.
 Quando n1 > 20 ou n2 > 20, use 
z =
G – μG
σG .
6. Tome uma decisão para rejeitar Se G é menor ou igual ao valor crítico
ou não rejeitar a hipótese nula. inferior ou maior igual ao valor crítico 
superior, então rejeite H0. Caso contrá-
rio, não rejeite H0.
 Ou, se z está na região de rejeição, 
então rejeite H0. Caso contrário, não 
rejeite H0.
7. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
620 Parte 4 Mais inferências estatísticas
EXEMPLO 2
Usando o teste de corridas
À medida que as pessoas entram em um concerto, um funcionário registra onde elas se 
sentam. Os resultados para 13 pessoas são mostrados a seguir, em que I representa os 
assentos na parte inferior e S representa os assentos na parte superior. Com α = 0,05, 
você pode concluir que a sequência de locais de assento não é aleatória?
I I I S S I S S S I I S I
SOLUÇÃO
A afirmação é “a sequência de locais de assento não é aleatória”. Para testar essa afir-
mação, use as hipóteses nula e alternativa.
H0: A sequência de locais de assento é aleatória.
Ha: A sequência de locais de assento não é aleatória. (Afirmação)
Para encontrar os valores críticos, primeiro determine n1, o número de Is; n2, o número 
de Ss; e G, o número de corridas.
I I I S S I S S S I I S I
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
corrida corrida corrida corrida corrida corrida corrida
n1 = número de Is = 7
n2 = número de Ss = 6
G = número de corridas = 7
Como n1 ≤ 20, n2 ≤ 20 e α = 0,05, use a Tabela B.12 para encontrar o valor crítico 
inferior 3 e o valor crítico superior 12. A estatísticade teste é o número de corridas 
G = 7. Uma vez que a estatística de teste G está entre os valores críticos 3 e 12, você 
não rejeita a hipótese nula.
Interpretação Não há evidência suficiente, ao nível de significância de 5%, para 
concordar com a afirmação de que a corrida de locais de assento não é aleatória. 
Então, aceita-se que a corrida de locais de assento é aleatória.
TENTE VOCÊ MESMO 2
Quando os alunos entram em um auditório para uma assembleia, um monitor registra 
onde eles estão sentados. Os resultados para 15 alunos são mostrados, onde P repre-
senta um assento na plateia e M representa um assento no mezanino. Em α = 0,05, 
você pode concluir que a sequência de localização dos assentos não é aleatória?
M P P P M M P P M P M M P P P
Capítulo 11 Testes não paramétricos 621
EXEMPLO 3
Usando o teste de corridas
Você quer determinar se a seleção de funcionários recentemente contratados em uma 
grande empresa é aleatória em relação ao gênero. Os gêneros de 36 funcionários re-
cém-contratados são mostrados a seguir: F representa o sexo feminino e M o sexo 
masculino. Com α = 0,05, você pode concluir que a sequência de funcionários não é 
aleatória?
M M F F F F M M M M M M F F F F F M M
M M M M M F F F M M M M F M M F M
SOLUÇÃO
A afirmação é: “a sequência de funcionários não é aleatória”. Para testar essa afirma-
ção, use as hipóteses nula e alternativa.
H0: A sequência de funcionários é aleatória.
Ha: A sequência de funcionários não é aleatória. (Afirmação)
Para encontrar os valores críticos, primeiro determine n1, o número de Fs; n2, o núme-
ro de Ms; e G, o número de corridas.
M M F F F F M M M M M M
1ª corrida 2ª corrida 3ª corrida
F F F F F M M M M M M M
4ª corrida 5ª corrida
F F F M M M M F M M F M
6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª
corrida corrida corrida corrida corrida corrida
n1 = número de Fs = 14
n2 = número de Ms = 22
G = número de corridas = 11
Como n2 > 20, use a Tabela B.4 no Apêndice B para encontrar os valores críticos. Uma 
vez que o teste é bilateral com α = 0,05, os valores críticos são:
–z0 = –1,96
e
z0 = 1,96.
Antes de calcular a estatística de teste, encontre os valores de μG e σG, como a seguir:
μG =
2n1n2
n1 + n2
+ 1
=
2 (14) (22)
14 + 22
+ 1
=
616
36
+ 1
≈ 18,11
622 Parte 4 Mais inferências estatísticas
σG =
2n1n2 2n1n2 – n1 – n2
n1 + n2
2 n1 + n2 – 1
=
2 14 22 2 14 22 – 14 – 22
14 + 22 2 14 + 22 – 1
≈ 2,81
Você poderá encontrar a estatística de teste da seguinte maneira.
z =
G – μG
σG
≈
11 – 18,11
2,81
≈ – 2,53
A Figura 11.5 mostra a localização das regiões de rejeição e a estatística de teste z. 
Como z está na área de rejeição, você rejeita a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância 5%, para aceitar a 
afirmação de que a sequência de funcionários em relação ao gênero não é aleatória.
z
�3 �2 �1 0 1 2 3
�z0 = �1,96z � �2,53 z0 = 1,96
� = 0,025
1
2
�
�
= 0,025
1
2
1 � = 0,95
Figura 11.5 Distribuição normal, regiões de rejeição e estatística de teste.
TENTE VOCÊ MESMO 3
Seja S um dia com neve em uma cidade pequena e N um dia sem neve na mesma cida-
de. Os resultados para a nevada para o mês inteiro de janeiro são mostrados a seguir. 
Com α = 0,05, você pode concluir que a série não é aleatória?
N N N S S N N S N S N N N N N S
N S N S N N S N S S N N N N N
Quando n1 ou n2 é maior que 20, você também pode usar o valor p para concluir um 
teste de hipótese para a aleatoriedade dos dados. No Exemplo 3, você pode calcular o 
valor-p como 0,0114. Já que pde corridas com dados quantitativos Nos exercícios de 21 a 23, use 
a seguinte informação para realizar um teste de corridas. Você também pode usar o tes-
te de corridas para aleatoriedade com dados quantitativos. Primeiro, calcule a media-
na. Então atribua um sinal de + aos valores acima da mediana e um sinal – aos valores 
abaixo da mediana. Ignore quaisquer valores que sejam iguais à mediana. Use α = 0,05.
21. Temperaturas máximas diárias A sequência mostra as temperaturas máximas 
diárias (em graus Fahrenheit) de uma cidade durante o mês de julho. Teste a afirma-
ção de que as temperaturas máximas diárias não ocorrem aleatoriamente.
84 87 92 93 95 84 82 83 81 87 92 98 99 93 84 85
86 92 91 95 84 92 83 81 87 92 98 89 93 84 85
22. Notas das provas A sequência mostra as notas das provas de uma turma, baseada 
na ordem em que os alunos terminaram o exame. Teste a afirmação de que as notas 
ocorrem aleatoriamente.
83 94 80 76 92 89 65 75 82 87 90 91 81 99 97 72
72 89 90 92 87 76 74 66 88 81 90 92 89 76 80
23. Use uma ferramenta tecnológica para gerar uma sequência de 30 números entre 1 
e 99, inclusive. Teste a afirmação de que a sequência de números não é aleatória.
USOS E
ABUSOS
Estatística no mundo real
Usos
Testes não paramétricos Antes de poder realizar vários dos testes de hipótese que 
você aprendeu nos capítulos anteriores, você tinha que garantir que certas condições 
sobre a população eram satisfeitas. Por exemplo, antes de poder executar um teste 
t, você tinha que verificar se a população era normalmente distribuída, ou o tama-
nho da amostra era de pelo menos 30. Uma vantagem dos testes não paramétricos 
mostrada neste capítulo é que eles são de distribuição livre. Isto é, eles não exigem 
qualquer informação em particular sobre a população ou populações sendo testa-
das. Outra vantagem dos testes não paramétricos é que eles são mais fáceis de ser 
realizados do que seus equivalentes paramétricos. Isso significa que eles são mais 
fáceis de entender e mais rápidos de usar. Testes não paramétricos podem ser usados 
frequentemente quando os dados estão no nível nominal ou ordinal.
Abusos
Evidência insuficiente É necessária evidência mais forte para rejeitar a hipótese 
nula em um teste não paramétrico do que em um correspondente teste paramétrico. 
Isto é, quando você está tentando apoiar uma afirmação representada pela hipótese 
alternativa, você pode precisar de uma amostra maior ao realizar um teste não pa-
ramétrico. Quando o resultado de um teste não paramétrico leva à não rejeição da 
hipótese nula, você deve investigar o tamanho da amostra utilizada. Pode ser que 
uma amostra maior produza resultados diferentes.
Usando um teste inapropriado Em geral, quando informações sobre a população 
(tais como a condição de normalidade) são conhecidas, é mais eficiente usar um 
teste paramétrico. Quando informações sobre a população não são conhecidas, no 
entanto, os testes não paramétricos podem ser úteis.
EXERCÍCIOS
1. Evidência insuficiente Dê um exemplo de um teste não paramétrico no qual 
não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.
2. Usando um teste inapropriado Discuta os testes não paramétricos descritos 
neste capítulo e relacione cada teste com seu correspondente paramétrico, que 
você estudou em capítulos anteriores.
626 Parte 4 Mais inferências estatísticas
O que você aprendeu Exemplo(s)
Exercícios 
de revisão
Seção 11.1
 Como usar o teste do sinal para testar uma mediana populacional 1, 2 1-3, 6
 Como usar o teste dos sinais para amostras pareadas para testar a 
diferença entre duas medianas populacionais (amostras dependentes)
3 4, 5
Seção 11.2
 Como usar o teste dos postos sinalizados de Wilcoxon e o teste da 
soma dos postos de Wilcoxon para determinar se duas amostras são 
selecionadas de populações que possuem a mesma distribuição
1, 2 7, 8
Seção 11.3
 Como usar o teste de Kruskal-Wallis para determinar se três ou 
mais amostras foram selecionadas de populações que apresentam a 
mesma distribuição
H =
12
N N + 1
R2
1
n1
+
R2
2
n2
+ . . . +
R2
k
nk
– 3 N + 1
1 9, 10
Seção 11.4
 Como usar o coeficiente de correlação de postos de Spearman para 
determinar se a correlação entre duas variáveis é significativa
rs = 1 –
6 d 2
n n2 – 1
1 11, 12
Seção 11.5
 Como usar o teste de corridas para determinar se uma sequência de 
dados é aleatória
G = Nümero de corridas, z =
G – μG
σG
, μG =
2n1n2
n1 + n2
+ 1,
σG =
2n1n2 2n1n2 – n1 – n2
n1 + n2
2 n1 + n2 – 1
1, 3 13, 14
A Tabela 11.17 resume os testes paramétricos e não paramétricos. Sempre use 
o teste paramétrico quando as condições para tal são satisfeitas.
Tabela 11.7 Resumo dos testes paramétricos e não paramétricos
Aplicação do teste Teste paramétrico Teste não paramétrico
Testes para uma amostra Teste z para uma média populacional
Teste t para uma média populacional
Teste dos sinais para uma mediana populacional
Testes para duas amostras
Amostras dependentes Teste t para a diferença entre médias Teste dos sinais para amostras pareadas
Teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Amostras independentes Teste z para a diferença entre médias
Teste t para a diferença entre médias
Teste da soma dos postos de Wilcoxon
Testes envolvendo três ou mais amostras ANOVA com um fator Teste de Kruskal-Wallis
Correlação Coeficiente de correlação de Pearson Coeficiente de correlação de postos de Spearman
Aleatoriedade (Sem teste paramétrico) Teste de corridas
 11 Resumo do capítulo
Capítulo 11 Testes não paramétricos 627
 11 Exercícios de revisão
Seção 11.1
Nos exercícios de 1 a 6, use um teste dos sinais para testar a afirmação seguindo as 
etapas.
(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
(b) Encontre o valor crítico.
(c) Encontre a estatística de teste.
(d) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.
(e) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
1. Um gerente de banco afirma que o número mediano de clientes, por dia, não passa 
de 650. Os números de clientes bancários, por dia, para 17 dias selecionados alea-
toriamente estão listados a seguir. Para nível de significância α = 0,01, você pode 
rejeitar a afirmação do gerente de banco?
675 665 601 642 554 653 639 650 645
550 677 569 650 660 682 689 590
2. Uma empresa afirma que a pontuação mediana de crédito para adultos americanos 
é de pelo menos 710. As pontuações de crédito de 13 adultos americanos selecio-
nados aleatoriamente estão listadas a seguir. Com α = 0,05, você pode rejeitar a 
afirmação da empresa? (Adaptado de Fair Isaac Corporation.)
750 782 805 695 700 706 625
589 690 772 745 704 710
3. Uma agência governamental afirma que a duração mediana da sentença para todos 
os prisioneiros federais é de 2 anos. Em uma amostra aleatória de 180 prisioneiros 
federais, 65 possuem durações de sentença que são inferiores a 2 anos, 109 pos-
suem durações de sentença que são superiores a dois anos e 6 possuem durações 
de sentença que são de 2 anos. Com α = 0,10, você pode rejeitar a afirmação da 
agência? (Adaptado de U.S. Sentencing Commision.)
4. Em um estudo testando os efeitos de suplementos de cálcio na pressão sanguínea 
masculina, 10 homens selecionados aleatoriamente tomaram um suplemento de 
cálcio por 12 semanas. A tabela a seguir mostra as medições da pressão sanguínea 
diastólica para cada indivíduo, tiradas antes e depois do período de 12 semanas de 
tratamento. Com α = 0,05, você pode rejeitar a afirmação de que não houve redução 
na pressão sanguínea diastólica? (Adaptado de American Medical Association.)
Paciente 1 2 3 4 5
Antes do tratamento 107 110 123 129 112
Depois do tratamento 100 114 105 112 115
Paciente 6 7 8 9 10
Antes do tratamento 111 107 112 136 102
Depois do tratamento 116 106 102 125 104
628 Parte 4 Mais inferências estatísticas
5. Em um estudo testando os efeitos de um suplemento de ervas na pressão sanguí-
nea masculina, 11 homens selecionados aleatoriamente tomaram um suplemento de 
ervas por 12 semanas. A tabela a seguir mostra asmedições da pressão sanguínea 
diastólica para cada in-divíduo, tiradas antes e depois do período de 12 semanas de 
tratamento. Para um nível de significância α = 0,05, você pode rejeitar a afirma-
ção de que não houve redução na pressão sanguínea diastólica? (Adaptado de The 
Journal of the American Medical Association.)
Paciente 1 2 3 4 5 6
Antes do tratamento 123 109 112 102 98 114
Após o tratamento 124 97 113 105 95 119
Paciente 7 8 9 10 11
Antes do tratamento 119 112 110 117 130
Após o tratamento 114 114 121 118 133
6. Uma associação afirma que o salário mediano anual de advogados é de US$ 
112.800. Em uma amostra aleatória de 125 advogados, 76 recebiam menos de 
US$ 112.800 e 49 recebiam mais de US$ 112.800. Com α = 0,05, você pode rejeitar 
a afirmação da associação? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Seção 11.2
Nos exercícios 7 e 8, use um teste de Wilcoxon para testar a afirmação seguindo as 
etapas:
(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
(b) Decida se deve usar um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon ou um teste da 
soma dos postos de Wilcoxon.
(c) Encontre o(s) valor(es) crítico(s).
(d) Encontre a estatística de teste.
(e) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.
(f) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
7. Um consultor de colocação profissional afirma que há uma diferença nos tempos 
totais necessários para obter o grau de doutorado, por homens e mulheres estu-
dantes de pós-graduação. A tabela a seguir mostra os tempos totais (em anos) para 
obter o doutorado para uma amostra aleatória de 12 mulheres e 12 homens estu-
dantes de pós-graduação. Com α = 0,01, você pode aceitar a afirmação do con-
sultor? (Adaptado de Survey of Earned Doctorates.)
Mulher 9 11 9 12 11 8 10 13 6 6 8 9
Homem 8 7 8 10 9 7 7 9 10 8 9 7
Capítulo 11 Testes não paramétricos 629
8. Um pesquisador médico afirma que um novo remédio afeta o número de horas sen-
tindo dor de cabeça que as pessoas que sofrem desse mal passaram. O número de 
horas com dor de cabeça (por dia) de 8 pacientes selecionados aleatoriamente antes 
e depois de tomar o remédio é mostrado na tabela a seguir. Com α = 0,05, você pode 
confirmar a afirmação do pesquisador?
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8
Horas de dor de cabeça (antes) 0,9 2,3 2,7 2,4 2,9 1,9 1,2 3,1
Horas de dor de cabeça (depois) 1,4 1,5 1.4 1,8 1,3 0,6 0,7 1,9
Seção 11.3
Nos exercícios 9 e 10, use o teste de Kruskal-Wallis para testar a afirmação seguindo 
as etapas.
(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
(b) Encontre o valor crítico e identifique a região de rejeição.
(c) Encontre a estatística de teste H.
(d) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.
(e) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
9. A tabela a seguir mostra as idades para uma amostra aleatória de doutorandos 
em três áreas de estudo. Com α = 0,01, você pode concluir que a distribuição das 
idades dos doutorandos em pelo menos uma área de estudo é diferente das de-
mais? (Adaptado de Survey of Earned Doctorates.)
Área de estudo Idade
Ciências da vida 31 32 34 31 30 32 35 31 32 34 29
Ciências físicas 30 31 32 31 30 29 31 30 32 33 30
Ciências sociais 32 35 31 33 34 31 35 36 32 30 33
10. A tabela a seguir mostra o salário inicial para uma amostra aleatória de graduados 
em quatro campos da engenharia. Com α = 0,05, você pode concluir que a distri-
buição dos salários iniciais em pelo menos um campo da engenharia é diferente das 
demais? (Adaptado de National Association of Colleges and Employers.)
Campo da 
engenharia Salário inicial (em milhares de dólares)
Engenharia 
química 71,7 72,0 72,2 71,4 71,7 71,2 70,5 72,1 72,1 72,5
Engenharia da 
computação 68,6 74,2 67,1 68,0 71,6 72,3 70,6 73,7 70,7 69,9
Engenharia 
elétrica 72,8 69,4 70,9 71,2 73,0 68,8 71,7 71,3 71,0 69,8
Engenharia 
mecânica 68,5 69,6 68,1 69,2 69,7 70,4 67,8 68,0 69,5 69,0
630 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Seção 11.4
Nos exercícios 11 e 12, use o coeficiente de correlação de postos de Spearman para 
testar a afirmação seguindo as etapas.
(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
(b) Encontre o valor crítico.
(c) Encontre a estatística de teste rs.
(d) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.
(e) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
11. A tabela mostra os tamanhos dos motores (em centímetros cúbicos) e os pre-
ços de seis motocicletas selecionadas aleatoriamente. Com α = 0,10, você pode 
concluir que existe uma correlação significativa entre o tamanho do motor e o 
preço? (Fonte: Hábito de motocicleta).
Tamanho do motor (em 
centímetros cúbicos) 1700 1000 999 645 471 399
Preço (em dólares) 16.799 8.999 11.599 8.799 6.699 5.999
12. A tabela mostra o número de problemas relatados por 100 veículos no primeiro 
e terceiro anos de propriedade de carros de oito marcas de automóveis selecio-
nadas aleatoriamente. Com α = 0,10, você pode concluir que existe uma correla-
ção significativa entre o número de problemas com o carro no primeiro e terceiro 
anos? (Adaptado do J.D. Power 2021 U.S. Initial Quality Study e do J.D. Power 2021 
U.S. Vehicle Dependability Study).
Primeiro ano 148 147 151 182 146 240 128 144
Terceiro ano 102 97 125 125 128 127 123 116
Seção 11.5
Nos exercícios 13 e 14, (a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) encontre os 
valores críticos, (c) encontre a estatística de teste, (d) decida se rejeita ou não a hipótese 
nula e (e) interprete a decisão no contexto da afirmação original. Use nível de signifi-
cância α = 0,05.
13. Um oficial da patrulha rodoviária fiscaliza veículos com excesso de velocidade em 
uma rodovia interestadual. O gênero dos últimos 25 motoristas que foram parados é 
mostrado a seguir; F representa as mulheres e M representa os homens. Você pode 
concluir que as paradas não foram aleatórias por gênero?
F M M M F M F M F F F M M
F F F M M M F M M F F M
14. A série mostra o status de partida dos últimos 18 ônibus a saírem de uma rodoviária, 
T representa um ônibus que saiu na hora e L representa um ônibus que saiu atrasa-
do. Você pode concluir que o status de partida dos ônibus não é aleatório?
T T T T L L L L T
L L L T T T T T T
Capítulo 11 Testes não paramétricos 631
 11 Problemas do capítulo
Faça estes problemas como se estivesse fazendo em sala. Depois, compare suas respos-
tas com as respostas dadas no final do livro.
Nos exercícios de 1 a 5, (a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) decida qual 
teste não paramétrico usar, (c) encontre o(s) valor(es) crítico(s), (d) encontre a estatís-
tica de teste, (e) decida se rejeita ou não a hipótese nula e (f) interprete a decisão no 
contexto da afirmação original.
1. Uma organização afirma que o número mediano de horas anuais de voluntariado é 
50. Em uma amostra aleatória de 75 pessoas que realizaram trabalho voluntário no 
ano passado, 47 trabalharam por menos de 50 horas, 23 trabalharam por mais de 50 
horas e 5 trabalharam por 50 horas. Com α = 0,05, você pode rejeitar a afirmação da 
organização? (Adaptado de VolunteerHub.)
2. Uma organização trabalhista afirma que há diferença no salário por hora de traba-
lhadores sindicalizados e não sindicalizados nos governos municipais e estaduais. 
A tabela a seguir mostra os salários por hora (em dólares) para uma amostra aleató-
ria de 10 trabalhadores sindicalizados e 10 trabalhadores não sindicalizados nos go-
vernos municipal e estadual. Com α = 0,10, você pode concordar com a afirmação 
da organização? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Sindicalizado Não sindicalizado
32,75 31,15 35,30 38,52 35,88
30,85 30,35 32,05 30,60 29,75
29,15 26,10 24,20 29,95 25,05
27,75 25,50 25,25 24,40 23,45
3. A tabela a seguir mostra os preços de venda para uma amostra aleatória de condo-
mínios de apartamentos em quatro regiões dos Estados Unidos. Com α = 0,01, você 
pode concluir que a distribuição dos preços de venda em pelo menos uma região é 
diferente das demais? (Adaptado de National Association of Realtors.)
Região Preço de venda (emmilhares de dólares)
Nordeste 314,4 307,4 299,8 332,1 327,8 311,9 321,3 300,5
Centro-Oeste 193,0 209,2 205,0 180,0 174,6 196,0 189,4 191,2
Sul 219,6 195,0 193,9 208,7 213,6 234,6 216,7 205,1
Oeste 389,1 372,5 426,3 400,6 360,5 396,3 390,6 376,9
4. A tabela a seguir mostra o número de e-mails enviados e o número de e-mails rece-
bidos em uma semana para uma amostra aleatória de nove pessoas. Considerando 
nível de significância α = 0,01, você pode concluir que há uma correlação significa-
tiva entre o número de e-mails enviados e recebidos?
E-mails enviados 30 30 25 26 24 18 18 25 28
E-mails recebidos 32 36 21 22 20 20 22 23 23
5. Um meteorologista quer determinar se os dias com chuva ocorrem aleatoriamente 
em abril em sua cidade natal. Para isso, o meteorologista registra se chove, em cada 
dia de abril. Os resultados são mostrados a seguir, R representa um dia com chuva e 
N representa um dia sem chuva. Com α = 0,05, o meteorologista pode concluir que 
os dias com chuva não são aleatórios?
N R R N N N N R N R R N R R R
N R R R R N N N N R N R N N R
632 Parte 4 Mais inferências estatísticas
 11 Teste do capítulo
Faça este teste como se estivesse fazendo uma prova em sala.
Nos exercícios de 1 a 5, (a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) decida qual 
teste não paramétrico usar, (c) encontre o(s) valor(es) crítico(s), (d) encontre a estatís-
tica de teste, (e) decida se rejeita ou não a hipótese nula e, (f) interprete a decisão no 
contexto da afirmação original.
1. O prefeito convocou os membros do conselho em uma reunião na ordem mostrada, 
em que R representa um membro do conselho republicano e D representa um mem-
bro do conselho democrata. Com α = 0,05, você pode concluir que a seleção dos 
membros não foi aleatória?
R D D D R R D R D D R D D D R R D
R R R R D R R R D D D R D R D R R
2. Um representante de uma agência de empregos deseja determinar se há diferença 
na renda familiar anual em quatro regiões dos Estados Unidos. O representante 
seleciona aleatoriamente sete domicílios em cada região e registra a renda familiar 
anual de cada um. A tabela mostra os resultados. Com α = 0,01, o representante 
pode concluir que a distribuição da renda familiar anual em pelo menos uma região 
é diferente das demais? (Adaptado do U.S. Census Bureau)
Região Renda familiar anual (em milhares de dólares)
Nordeste 78,2 71 79,6 78,7 73,9 76,4 75,5
Centro-Oeste 67,3 72,4 63,2 66,5 68,7 69,8 70
Sul 60 61,2 64,8 57,1 62 64,8 62,6
Oeste 78,3 76,2 72,9 75 73,9 75,5 77,4
3. Uma empresa de investimentos afirma que a idade mediana das pessoas com fundos 
mútuos é 50 anos. As idades (em anos) de 20 proprietários de fundos mútuos selecio-
nados aleatoriamente estão listadas a seguir. Com α = 0,01, há evidência suficiente 
para rejeitar a afirmação da empresa? (Adaptado de Investment Company Institute.)
4. Uma agência de emprego afirma que há diferença no salário semanal entre trabalha-
dores sindicalizados e não sindicalizados. A tabela a seguir mostra o salário semanal 
(em dólares) para uma amostra aleatória de nove trabalhadores sindicalizados e oito 
não sindicalizados. Para o nível de significância α = 0,05, você pode aceitar a afir-
mação da agência? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Sindicalizado 1.091 1.230 928 1.036 1.120 1.227 1.276 1.140 1.030 1.059 1.166
Não
sindicalizado 1.006 939 1.110 805 903 1.062 1.051 886 946 843
5. A tabela mostra as avaliações dos especialistas e os preços de uma amostra aleatória 
de oito novos sedãs de um ano recente. A classificação de revisão especializada é 
uma pontuação geral que representa uma avaliação detalhada e direta de um veí-
culo. Com α = 0,05, você pode concluir que existe uma correlação significativa 
entre a avaliação do especialista e o preço? (Fonte: Kelley Blue Book Co., Inc.)
Classificação de revisão 
de especialistas 4,8 4,7 4,6 4,5 4,4 4,3 4,2 4,1
Preço (em milhares de dólares) 20,9 22,0 26,3 25,7 21,1 17,0 27,5 26,2
Idades dos indivíduos 
proprietários de fundos mútuos
45 33 32 26 57
63 53 35 37 41
25 50 48 43 45
49 38 33 50 62
TABELA PARA O EXERCÍCIO 3
ESTATÍSTICA REAL
DECISÕES REAIS
Juntando tudo
Em um ano recente, de acordo com o Bureau of Labor Statistics, o número me-
diano de anos que trabalhadores assalariados estiveram contratados por seus 
empregadores atuais (o que é chamado de estabilidade de emprego) foi de 4,6 
anos. Informação sobre a estabilidade de emprego tem sido coletada desde 1996 
usando o Current Population Survey (CPS), uma pesquisa mensal de cerca de 
60.000 domicílios que fornece informação sobre emprego, desemprego, salário, 
demografia e outras características da população dos Estados Unidos com mais 
de 16 anos de idade. Com relação à estabilidade de emprego, as perguntas men-
suram por quanto tempo os trabalhadores têm permanecido com seus emprega-
dores atuais, não por quanto tempo eles planejam ficar com seus empregadores.
EXERCÍCIOS
1. Como você faria isso?
(a) Qual técnica de amostragem você usaria para selecionar a amostra para 
o CPS?
(b) Você acha que a técnica na parte (a) lhe dará uma amostra que é repre-
sentativa da população dos Estados Unidos? Por que ou por que não?
(c) Identifique possíveis falhas ou vieses na pesquisa com base na técnica 
que você escolheu na parte (a).
2. Há diferença?
Um representante do congresso afirma que a mediana da estabilidade para 
trabalhadores do seu distrito é menor que a mediana nacional de 4,6 anos. 
A afirmação é baseada nos dados do representante, que são mostrados na 
Tabela (Suponha que os empregados foram selecionados aleatoriamente.)
(a) É possível que a afirmação seja verdadeira? Quais perguntas você deve-
ria fazer sobre como os dados foram coletados?
(b) Como você testaria a afirmação do representante? Você poderia usar um 
teste paramétrico ou precisaria usar um teste não paramétrico?
(c) Declare a hipótese nula e a hipótese alternativa.
(d) Teste a afirmação usando α = 0,05. O que você pode concluir?
3. Comparando a estabilidade para homens e mulheres
Um representante do congresso afirma que há diferença entre as estabilida-
des medianas para homens e mulheres. A afirmação é baseada nos dados do 
representante, que são mostrados na Tabela (Suponha que os empregados 
foram selecionados aleatoriamente no distrito do representante.)
(a) Como você testaria a afirmação do representante? Você pode usar um 
teste paramétrico ou precisa usar um teste não paramétrico?
(b) Declare a hipótese nula e a hipótese alternativa.
(c) Teste a afirmação usando α = 0,05. O que você pode concluir?
Estabilidade 
de 20 funcionários
4,6 2,6 3,3
2,8 1,5 1,9
4,0 5,0 3,9
5,1 3,7 5,4
3,6 3,9 6,2
1,7 4,6 3,1
4,4 3,6
TABELA PARA O EXERCÍCIO 2
Homens Mulheres
3,9 4,4
4,4 4,9
4,7 5,4
4,3 4,3
4,9 4,0
3,8 1,8
3,6 5,1
4,7 5,1
2,3 3,3
6,5 2,2
0,9 5,2
5,1 3,0
1,3
4,0
TABELA PARA O EXERCÍCIO 3
TECNOLOGIA E XC E LM I N I TA B T I - 8 4 P L U S
Renda nos Estados Unidos e pesquisa econômica
O National Bureau of Economic Research (NBER) é uma orga-
nização privada de pesquisa, sem fins lucrativos, não partidária. 
O NBER fornece informação para um melhor entendimento de 
como a economia nos Estados Unidos funciona. Pesquisadores 
no NBER se concentram em quatro tipos de pesquisa empírica: 
desenvolver novas medidas estatísticas, estimar modelos quan-
titativos de comportamento econômico, avaliar os efeitos de 
políticas públicas na economia dos Estados Unidos e projetar 
os efeitos de propostas políticas alternativas.
Um dos interesses do NBER é a renda mediana de pessoas 
em diferentes regiões dos Estados Unidos. A Tabela 11.18 
mostra a renda anual (em dólares) de uma amostra aleatória 
de pessoas (15 anos de idade ou mais) em um ano recente em 
quatro regiões dos Estados Unidos: Nordeste, Centro-Oeste, 
Sul e Oeste.
EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 5, considere a renda anual das pessoas 
na Tabela 11.20. Use a = 0,05 para todos os testes.
1. Construa um boxplot para cada região. A renda mediana 
anual parece diferir entre regiões?2. Use uma ferramenta tecnológica para realizar um teste 
dos sinais para testar a afirmação de que a renda mediana 
anual no Centro-Oeste é superior a US$ 30.000.
3. Use uma ferramenta tecnológica para realizar um teste 
da soma dos postos de Wilcoxon para testar a afirmação 
de que a renda mediana anual no Nordeste e no Sul é a 
mesma.
4. Use uma ferramenta tecnológica para realizar um teste de 
Kruskal-Wallis para testar a afirmação de que as distri-
buições da renda anual para todas as quatro regiões são 
as mesmas.
5. Use uma ferramenta tecnológica para realizar uma 
ANOVA com um fator para testar a afirmação de que a 
renda média anual para todas as quatro regiões é a mesma. 
Suponha que as populações das rendas são normalmente 
distribuídas, as amostras são independentes e as variân-
cias populacionais são iguais. Como os seus resultados se 
comparam com os do Exercício 4?
Tabela 11.18 Renda anual de pessoas (em dólares)
Nordeste Centro-Oeste Sul Oeste
62.904 37.584 6.024 39.510
10.914 21.002 79.644 124.339
29.964 31.011 22.718 83.519
68.401 64.429 90.374 57.573
0 146.005 32.832 42.236
44.201 57.250 35.643 83.144
17.782 68.098 15.835 65.978
5.677 54.275 69.942 34.756
165.096 27.288 105.148 36.294
36.849 78.962 82.786 78.917
198.817 34.793 33.125 28.445
68.867 3.669 21.681 2.112
6. Repita os Exercícios 1, 3, 4 e 5 usando os dados da Tabela 
11.19. Ela mostra a renda anual (em dólares) de uma 
amostra aleatória de famílias, em um ano recente, em qua-
tro regiões dos Estados Unidos: Nordeste, Centro-Oeste, 
Sul e Oeste.
Tabela 11.19 Renda anual de famílias(em dólares)
Nordeste Centro-Oeste Sul Oeste
130.680 138.282 159.397 160.489
98.855 121.976 183.202 85.316
149.852 173.356 39.923 66.160
129.907 69.154 137.770 225.048
91.586 81.223 99.549 82.350
244.643 187.285 74.741 292.000
144.983 161.938 96.765 37.765
171.885 71.259 112.878 61.691
88.501 77.248 131.159 61.610
93.301 126.405 49.767 91.233
127.629 83.175 77.476 143.600
219.302 85.022 123.442 57.232
89.373 34.777 42.088 130.928
87.710 66.834 79.906 143.092
94.385 241.490 144.806 150.549
Soluções adicionais são fornecidas nos manuais de tecnologia que acompanham este livro.
A instrução técnica é fornecida para Minitab, Excel e TI-84 Plus.e zeros 
aos dados da amostra.
5. Determine o valor crítico. Quando n ≤ 25, use a Tabela B.8 
no Apêndice B. 
 Quando n > 25, use a Tabela B.4 
no Apêndice B. 
6. Encontre a estatística de teste. Quando n ≤ 25, use x = o menor 
número dos sinais + ou –.
 Quando n > 25, use
 
z =
( x + 0,5) – 0,5n
√n
2
.
7. Tome uma decisão para rejeitar ou Se a estatística de teste é menor
não rejeitar a hipótese nula. ou igual ao valor crítico, então rejeite 
H0. Caso contrário, não rejeite H0.
8. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
Dica de estudo
Já que os zeros são 
ignorados, há dois 
resultados possíveis 
quando comparamos 
uma entrada de dados 
com uma mediana 
hipotética: um sinal + 
ou um –. Se a mediana for k, então 
cerca da metade dos valores estará 
acima de k e metade estará abaixo.
Como tal, a probabilidade para cada 
sinal é 0,5. A Tabela B.8 no Apêndice 
B é construída usando a distribuição 
binomial em que p = 0,5.
Quando n > 25, você pode usar 
a aproximação normal (com 
uma correção de continuidade) 
para a binomial. Neste caso, use 
μ = np = 0,5n e
σ = √npq =
√n
2
.
586 Parte 4 Mais inferências estatísticas
EXEMPLO 1
Usando o teste dos sinais
O administrador do site de uma empresa afirma que o número mediano de visitantes, 
por dia, do site da empresa é de não mais de 1.500. Um funcionário duvida da pre-
cisão dessa afirmação. Os números de visitantes por dia, para 20 dias selecionados 
aleatoriamente, estão listados a seguir. Com a = 0,05, o funcionário pode rejeitar a 
afirmação do administrador?
1.469 1.462 1.634 1.602 1.500
1.463 1.476 1.570 1.544 1.452
1.487 1.523 1.525 1.548 1.511
1.579 1.620 1.568 1.492 1.649
SOLUÇÃO
A afirmação é “o número mediano de visitantes, por dia, do site da empresa é de não 
mais de 1.500”. Então, as hipóteses nula e alternativa são:
H0: mediana ≤ 1.500 (Afirmação) e Ha: mediana > 1.500.
Para comparar cada entrada de dados com a mediana hipotética de 1.500, subtraia 
1.500 de cada entrada de dados e atribua o sinal apropriado ou 0. Por exemplo, aqui 
estão as comparações para a primeira linha de entradas de dados.
1469 – 1500 = –31, atribua um sinal – 
1462 – 1500 = –38, atribua um sinal –
1634 – 1500 = +134, atribua um sinal +
1602 – 1500 = +102, atribua um sinal de +
1500 – 1500 = 0, atribua um 0
Os resultados da comparação de cada dado com a mediana hipotética 1.500 são mos-
trados a seguir:
– – + + 0
– – + + –
– + + + +
+ + + – +
Você pode perceber que há 7 sinais – e 12 sinais +. Então, n = 12 + 7 = 19. Como 
n ≤ 25, use a Tabela B.8 no Apêndice B para encontrar o valor crítico. O teste é uni-
lateral com α = 0,05 e n = 19. Logo, o valor crítico é 5. Como n ≤ 25, a estatística de 
teste x é o menor número dos sinais + ou –. Assim, x = 7. Uma vez que x = 7 é maior 
que o valor crítico, o funcionário não deve rejeitar a hipótese nula.
Interpretação Não há evidência suficiente, ao nível de significância de 5%, para o 
funcionário rejeitar a afirmação do administrador do site de que o número mediano de 
visitantes por dia do site da empresa é de não mais de 1.500.
TENTE VOCÊ MESMO 1
Uma agência imobiliária afirma que o número mediano de dias que uma casa fica no 
mercado, em sua cidade, é superior a 120. Um proprietário quer verificar a exatidão 
dessa afirmação. Os números de dias no mercado para 24 casas selecionadas alea-
toriamente são mostrados a seguir. Com α = 0,025, o proprietário pode confirmar a 
afirmação da agência?
118 167 72 79 76 106 102 113 73 119 162 114
120 93 135 147 77 157 115 88 152 70 65 91
Capítulo 11 Testes não paramétricos 587
EXEMPLO 2
Usando o teste dos sinais
Uma organização afirma que a frequência mediana anual dos museus dos Estados 
Unidos é de pelo menos 55.000 visitantes. Uma amostra aleatória de 100 museus re-
vela que as frequências anuais de 65 museus foram inferiores a 55.000, as frequências 
anuais de 33 museus foram superiores a 550.000 e, as frequências anuais de 2 museus 
foram de 550.000 visitantes. Com α = 0,01, há evidência suficiente para rejeitar a afir-
mação da organização? (Adaptado de American Association of Museums.)
SOLUÇÃO
A afirmação é “a frequência mediana anual dos museus dos Estados Unidos é de pelo 
menos 550.000 visitantes”. Então, as hipóteses nula e alternativa são:
H0: mediana ≥ 550.000 (Afirmação) e Ha: mediana 7 25, use a Tabela 4 no Apêndice B, a Tabela Normal Padrão, para encon-
trar o valor crítico. Como o teste é um teste de cauda esquerda com α = 0,01, o valor 
crítico é z0 = –2,33. Dos 100 museus de arte, existem 65 com sinal – e 33 com sinal +. 
Quando os 0 são ignorados, o tamanho da amostra é:
n = 65 + 33 = 98 e x = 33.
Com esses valores, a estatística de teste x é:
z
33 0,5 0,5 98
98 2
31
98
3,13.
A Figura 11.2 mostra a localização da região de rejeição e a estatística de teste z. 
Como z é menor que o valor crítico, ele encontra-se na região de rejeição. Logo, você 
rejeita a hipótese nula.
z
�3�4 �2 �1 0 1 2 3 4
z0 = �2,33
� = 0,01
z � �3,13
Figura 11.2 Distribuição normal, região de rejeição e estatística de teste.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 1%, para rejei-
tar a afirmação da organização de que a frequência mediana anual para museus nos 
Estados Unidos é de pelo menos 55.000 visitantes.
TENTE VOCÊ MESMO 2
Um website afirma que a idade mediana dos funcionários de museus nos Estados 
Unidos é 44 anos. Uma amostra aleatória de 95 funcionários de museus revela que 45 
deles têm menos de 40 anos, 48 têm mais de 40 anos e 2 têm 40 anos. Com α = 0,10, 
você pode rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado de American Association of 
Museums.)
Retratando 
o mundo
Um analista financeiro afirma que 
o dívida média de empréstimos 
estudantis no Estados Unidos 
é de $ 17.000. aleatoriamente 
amostra de dívidas de 
empréstimos estudantis no 
Estados Unidos revela que 42 
são menos de $ 17.000 e 35 são 
maiores de $ 17.000. (Adaptado de 
ValuePenguin.com)
Você usaria um teste paramétrico 
ou não paramétrico para testar a 
afirmação de que a dívida média 
de empréstimos estudantis nos 
Estados Unidos é de US$ 17.000? 
Explique seu raciocínio.
Dica de estudo
Antes de aplicar o teste 
de sinal, certifique-se que 
é garantido pelos dados. 
Por exemplo, suponha 
Exemplo 2 perguntou se 
você pode apoiar em vez 
de rejeitar a alegação. 
Porque menos da metade 
dos dados de amostra satisfazer a 
reivindicação, a amostra não pode 
apoiar a reivindicação. Em um caso 
como assim, não aplique o teste do 
sinal porque pode resultar em erro.
Dica de estudo
Ao realizar um teste 
de sinal bicaudal, 
lembre-se de usar 
apenas a cauda esquerda z 
valor crítico.
588 Parte 4 Mais inferências estatísticas
O teste dos sinais usando amostras pareadas
Na Seção 8.3 você aprendeu a aplicar um teste t para a diferença entre médias usando 
amostras dependentes. Esse teste exigia que ambas as populações fossem normalmente 
distribuídas. Quando a condição paramétrica de normalidade não pode ser satisfeita, 
você pode usar o teste dos sinais para amostras pareadas para testar a diferença entre 
duas medianas populacionais. Para realizar o teste dos sinais usando amostras pareadas 
para a diferença entre duas medianas populacionais, as condições a seguir devem ser 
atendidas:
1. Uma amostra de cada população deve ser aleatoriamente selecionada.
2. As amostras devem ser dependentes (pareadas).
O teste dos sinais usando amostras pareadas pode ser unilateral à esquerda, unilateral 
à direita ou bilateral. Esse teste é similar ao teste dos sinais para uma mediana popula-
cional única. No entanto, em vez de comparar cada valor com uma mediana hipotética 
e registrar +, – ou 0, você encontra a diferença entre valores correspondentes e registra 
o seu sinal. Geralmente, para encontrar a diferença, subtraia o valor representando a se-
gunda variável do valor representando a primeira variável. Então, compare o número de 
sinais + e – (os zeros são ignorados).Quando o número de sinais + é aproximadamente 
igual ao número de sinais –, provavelmente, em função do teste você não rejeitará a hi-
pótese nula. Quando há uma “grande “diferença entre o número de sinais + e o número 
de sinais –, provavelmente você rejeitará a hipótese nula.
INSTRUÇÕES
Realizando um teste de sinais para amostra pareadas
Em palavras Em símbolos
1. Verifique se as amostras são 
aleatórias e dependentes.
2. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha.
as hipóteses nula e alternativa.
3. Especifique o nível de significância. Identifique α.
4. Determine o tamanho da n = número total de sinais + e –
amostra n encontrando a diferença 
para cada par de dados. Atribua um 
sinal + a uma diferença positiva, 
um sinal – a uma diferença negativa 
e 0 a nenhuma diferença.
5. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.8 no Apêndice B.
6. Encontre a estatística de teste. x = o menor número dos sinais + ou –
7. Decida se rejeita ou não rejeita Se a estatística de teste é menor ou 
igual ao valor crítico, então rejeite H0. 
Caso contrário, não rejeite H0.
a hipótese nula.
8. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 589
EXEMPLO 3
Usando o teste dos sinais com amostras pareadas
Um psicólogo afirma que o número de infratores reincidentes diminuirá quando infra-
tores primários completarem um curso especial de reabilitação. Você seleciona alea-
toriamente 10 presídios e registra o número de infratores reincidentes durante um 
período de dois anos. Então, depois de infratores primários completarem o curso, você 
registra o número de infratores reincidentes em cada presídio por um outro período de 
dois anos. Os resultados são mostrados na Tabela 11.2. Para o nível de significância 
α = 0,025, você pode concordar com a afirmação do psicólogo?
Tabela 11.2 Infratores reincidentes em cada presídio no período de dois anos
Presídio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 21 34 9 45 30 54 37 36 33 40
Depois 19 22 16 31 21 30 22 18 17 21
SOLUÇÃO
Para testar a afirmação do psicólogo, use as hipóteses nula e alternativa a seguir:
H0: O número de infratores reincidentes não diminuirá.
Ha: O número de infratores reincidentes diminuirá. (Afirmação)
A Tabela 11.3 mostra o sinal das diferenças entre os dados “antes” e “depois”.
Tabela 11.3 Distribuição dos sinais relativos aos pares
Presídio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 21 34 9 45 30 54 37 36 33 40
Depois 19 22 16 31 21 30 22 18 17 21
Sinal + + – + + + + + + +
Você pode ver que há 1 sinal – e 9 sinais +. Então, n = 1 + 9 = 10. Como o teste é 
unilateral com α = 0,025 e n = 10, o valor crítico é 1. A estatística de teste x é o menor 
número de sinais + ou –. Logo, x = 1. Já que x é igual ao valor crítico, você rejeita a 
hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância 2,5%, para concor-
dar com a afirmação do psicólogo de que o número de infratores reincidentes dimi-
nuirá após o curso.
TENTE VOCÊ MESMO 3
Um pesquisador da área médica afirma que uma nova vacina diminuirá o número de 
resfriados em adultos. Você seleciona aleatoriamente 14 adultos e registra o número 
de resfriados que cada um teve durante um ano. Após dar a vacina a cada adulto, você 
registra novamente o número de resfriados que cada um teve no período de um ano. 
Os resultados são mostrados na Tabela 11.4. Com a = 0,05, você pode concordar com 
a afirmação do pesquisador?
Tabela 11.4
Adulto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Antes 
da vacina 3 4 2 1 3 6 4 5 2 0 2 5 3 3
Depois 
da vacina 2 1 0 1 1 3 3 2 2 2 3 4 3 2
590 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Construindo habilidades básicas e vocabulário
1. O que é um teste não paramétrico? Como um teste não paramétrico difere de um 
teste paramétrico? Quais são as vantagens e desvantagens de usar um teste não 
paramétrico?
2. Quando o teste dos sinais é usado, qual parâmetro populacional está sendo testado?
3. Descreva a estatística de teste para o teste dos sinais quando o tamanho da amostra 
n é inferior ou igual a 25 e quando n é superior a 25.
4. Com suas palavras, explique por que o teste de hipótese discutido nesta seção é 
chamado de teste dos sinais.
5. Explique como usar o teste dos sinais para testar uma mediana populacional.
6. Liste as duas condições que devem ser atendidas de modo a usar o teste dos sinais 
com amostras pareadas.
Usando e interpretando conceitos
Realizando um teste dos sinais Nos exercícios de 7 a 22, (a) identifique a 
afirmação e declare H0 e Ha, (b) encontre o valor crítico, (c) encontre a estatística de 
teste, (d) decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
7. Despesas de cartão de crédito Um contador de serviço financeiro afirma que a 
quantia mediana de novas despesas de cartão de crédito para o mês anterior foi de 
mais de US$ 500. Você seleciona aleatoriamente 12 contas de cartão de crédito e 
registra a quantia de novas despesas de cada uma para o mês anterior. As quantias 
(em dólares) estão listadas a seguir. Com α = 0,01, você pode aceitar a afirmação do 
contador? (Adaptado de Board of Governors of the Federal Reserve System.)
 976,16 138,26 1.368,03 0,00 241,61 334,34
 1.067,87 1.828,20 1.457,67 1.281,07 166,02 5,00
8. Temperatura Um meteorologista afirma que a temperatura mediana máxima 
diária para o mês de julho em Pittsburgh é de 83º Fahrenheit. As temperaturas má-
ximas (em graus Fahrenheit) para 15 dias de julho selecionados aleatoriamente 
em Pittsburgh estão listadas a seguir. Com α = 0,01, há evidência suficiente para 
rejeitar a afirmação do meteorologista? (Adaptado de U.S. National Oceanic and 
Atmospheric Administration.)
74 79 81 86 90 79 81 83 81 74 78 76 84 82 85
9. Preços de venda de casas Um corretor de imóveis afirma que o preço mediano de 
venda de novas casas residenciais vendidas em um mês recente é de US$ 500.000 
ou menos. Os preços de venda (em dólares) de 10 casas selecionadas aleatoriamente 
estão listados a seguir. Para um nível de significância α = 0,05, há evidência sufi-
ciente para rejeitar a afirmação do corretor? (Adaptado de National Association of 
Realtors.)
 400.000 595.000 475.000 299.900 410.000
 605.000 825.000 355.000 200.000 299.900
11.1 EXERCÍCIOS
Capítulo 11 Testes não paramétricos 591
10. Temperatura Durante uma previsão do tempo, um meteorologista afirma que 
a temperatura mediana máxima diária para o mês de janeiro em San Diego é de 
66º Fahrenheit. As temperaturas máximas (em graus Fahrenheit) para 16 dias de 
janeiro selecionados aleatoriamente em San Diego estão listadas a seguir. Com α = 
0,01, você pode rejeitar a afirmação do meteorologista? (Adaptado de U.S. National 
Oceanic and Atmospheric Administration.)
78 74 72 72 70 70 72 78 74 71 72 74 77 79 75 73
11. Seguro de saúde Um agente de seguros afirma que o valor médio anual que as 
famílias com cobertura de seguro de saúde do empregador no Havaí gastam em 
prêmios de seguro de saúde é de pelo menos US$ 600. Em uma amostra aleatória 
de 112 famílias, 65 famílias gastam menos de US$ 600 e 47 famílias gastam mais 
de US$ 600. Com α = 0,02, você pode rejeitar a afirmação do agente? (Adaptado do 
Fundo da Commonwealth)
12. Renda familiar Um contador afirma que a renda média anual de uma família de 
quatro pessoas na Califórnia é inferior a US$ 100.000. Em uma amostra aleatória de 
66 famílias de quatro pessoas, 42 famílias têm renda anual inferior a US$ 100.000 
e 24 famílias têm renda superior a US$ 100.000. Em α = 0,025, você pode apoiar a 
afirmação do contador? (Adaptado do U.S. Census Bureau)
13. Mídia social Um grupo de pesquisa afirma que a idade mediana de usuários de 
mídias sociais é superior a 32 anos. Em uma amostra aleatória de 20 usuários de mí-
dias sociais, 5 têm menos de 32 anos, 13 têm mais de 32 anos e 2 têm 32 anos. Com 
α = 0,05, você pode concordar com a afirmação do grupo de pesquisa? (Adaptado 
de Pew Research Center.)
14. Redes sociais Um grupo de pesquisa afirma que a idade médiados usuários de um 
site de rede social é inferior a 32 anos. Numa amostra aleatória de 20 utilizadores, 5 
têm menos de 32 anos, 13 têm mais de 32 anos e 2 têm 32 anos. Em α = 0,05, você 
pode apoiar a afirmação do grupo de pesquisa? (Adaptado do Pew Research Center)
15. Tamanho da unidade Uma organização de locatários afirma que o número me-
diano de cômodos em unidades alugadas é quatro. Você seleciona aleatoriamente 
120 unidades alugadas e obtém os resultados mostrados a seguir. Para o nível de 
significância α = 0,05, você pode rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado 
de U.S. Census Bureau.)
Tamanho da unidade
Número de 
unidades
Menos de 4 cômodos 29
4 cômodos 38
Mais de 4 cômodos 53
TABELA PARA O EXERCÍCIO 15 
Metragem quadrada
Número de 
unidades
Menos de 1.000 13
1.000 2
Mais de 1.000 7
TABELA PARA O EXERCÍCIO 16
16. Área quadrada Uma organização de locatários afirma que a área mediana qua-
drada de unidades alugadas é de 1.000 pés quadrados. Você seleciona aleatoriamente 
22 unidades alugadas e obtém os resultados mostrados a seguir. Com α = 0,10, você 
pode rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
17. Salário por hora Uma organização trabalhista afirma que o salário mediano por 
hora de analistas de sistemas de computador é de US$ 41,93. Em uma amostra 
aleatória de 45 analistas de sistemas, 18 ganham menos de US$ 41,93 por hora, 
25 ganham mais de US$ 41,93 por hora e 2 ganham US$ 41,93 por hora. Com um 
nível de significância α = 0,01, você pode rejeitar a afirmação da organização traba-
lhista? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
592 Parte 4 Mais inferências estatísticas
18. Salário por hora Uma organização trabalhista afirma que o salário mediano por 
hora de pedicuros é de US$ 70,00. Em uma amostra aleatória de 23 pedicuros, 17 
ganham menos de US$ 70,00 por hora, 5 ganham mais de US$ 70,00 por hora e 1 
ganha US$ 70,00 por hora. Com α = 0,05, você pode rejeitar a afirmação da organi-
zação trabalhista? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
19. Dor nas costas Um médico afirma que as pontuações da intensidade de dor nas 
costas diminuirão após um tratamento de acupuntura. A tabela a seguir mostra as 
pontuações da intensidade de dor nas costas para oito pacientes antes e depois de 
receberem acupuntura por oito semanas. Com α = 0,05, há evidência suficiente para 
concordar com a afirmação do médico? (Adaptado de Archives of Internal Medicine.)
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8
Pontuação da 
intensidade (antes) 59,2 46,3 65,4 74,0 79,3 81,6 44,4 59,1
Pontuação da 
intensidade (depois) 12,4 22,5 18,6 59,3 70,1 70,2 13,2 25,9 
20. Dor nas costas Um médico afirma que as pontuações da intensidade de dor nas 
costas diminuirão após tomar medicamentos anti-inflamatórios. A tabela a seguir 
mostra as pontuações da intensidade de dor nas costas para 12 pacientes antes e 
depois de tomarem medicamentos anti-inflamatórios por 8 semanas. Com α = 0,05, 
há evidência suficiente para concordar com a afirmação do médico? (Adaptado de 
Archives of Internal Medicine.)
Paciente 1 2 3 4 5 6
Pontuação da intensidade (antes) 71,0 42,1 79,1 57,5 64,0 60,4
Pontuação da intensidade (depois) 60,1 23,4 86,2 62,1 44,2 49,7
Paciente 7 8 9 10 11 12
Pontuação da intensidade (antes) 68,3 95,2 48,1 78,6 65,4 59,9
Pontuação da intensidade (depois) 58,3 72,6 51,8 82,5 63,2 47,9 
21. Melhorando as notas no SAT Uma agência de professores particulares afirma 
que, completando um curso especial, os estudantes melhorarão suas notas de com-
preensão de texto no SAT. Em parte de um estudo, 12 estudantes fazem a parte de 
compreensão de texto do SAT, completam o curso especial e, então, fazem a parte 
de compreensão de texto do SAT novamente. As notas dos estudantes são mostradas 
na tabela a seguir. Com nível de significância α = 0,05, há evidência suficiente para 
aceitar a afirmação da agência?
Estudante 1 2 3 4 5 6
Nota no primeiro SAT 300 450 350 430 300 470
Nota no segundo SAT 300 520 400 410 300 480
Estudante 7 8 9 10 11 12
Nota no primeiro SAT 530 200 200 350 360 250
Nota no segundo SAT 700 250 390 350 480 300 
Capítulo 11 Testes não paramétricos 593
22. Notas no SAT Um conselheiro de orientação educacional afirma que os estudan-
tes que fazem o SAT duas vezes melhoram suas notas no segundo exame. A tabela 
a seguir mostra as notas de compreensão de texto no SAT para 12 estudantes que 
fizeram o exame duas vezes. Com nível de significância α = 0,01, você pode aceitar 
a afirmação do conselheiro de orientação educacional?
Estudante 1 2 3 4 5 6
Nota no primeiro SAT 440 510 420 450 620 450
Nota no segundo SAT 440 570 510 470 610 450
Estudante 7 8 9 10 11 12
Nota no primeiro SAT 350 470 320 510 630 570
Nota no segundo SAT 370 530 290 500 640 600 
23. Sentindo sua idade Uma empresa de pesquisa conduz um levantamento selecio-
nando aleatoriamente adultos e perguntando a cada um: “Como você se sente em 
relação à sua idade?” Os resultados são apresentados na figura a seguir: (Adaptado 
de Pew Research Center.)
Mais novo
11
Mais
 velho
 3
Minha idade
9
(a) Use um teste dos sinais para testar a hipótese nula de que a proporção de adultos 
que se sentem mais velhos é igual à proporção de adultos que se sentem mais 
novos. Atribua um sinal + a cada adulto que respondeu “mais velho”, atribua 
um sinal – a cada adulto que respondeu “mais novo” e atribua um 0 a cada adul-
to que respondeu “minha idade”. Use α = 0,05.
(b) O que você pode concluir?
24. Contatando os pais Uma empresa de pesquisa conduz uma pesquisa selecionan-
do aleatoriamente adultos e perguntando a cada um: “com que frequência você en-
tra em contato com seus pais por telefone?” Os resultados são mostrados na figura 
a seguir. (Adaptado de Pew Research Center.)
Semanal-
mente
12
Diariamente
8
Outro
6
(a) Use um teste dos sinais para testar a hipótese nula de que a proporção de adul-
tos que entram em contato com seus pais por telefone semanalmente é igual à 
proporção de adultos o fazem diariamente. Atribua um sinal + a cada adulto 
que respondeu “semanalmente”, atribua um sinal – a cada adulto que respondeu 
“diariamente” e atribua um 0 a cada adulto que respondeu “outro”. Use α = 0,05.
(b) O que você pode concluir?
594 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Expandindo conceitos
Mais sobre testes dos sinais Quando você está aplicando um teste dos sinais 
para n > 25 e o teste é unilateral à esquerda, você sabe que pode rejeitar a hipótese nula 
quando a estatística de teste
z =
x + 0,5 – 0,5n
n
2
é menor ou igual ao valor crítico da lateral à esquerda, em que x é o menor número 
de sinais + ou –. Para um teste unilateral à direita, você pode rejeitar a hipótese nula 
quando a estatística de teste
z =
x – 0,5 – 0,5n
n
2
é maior ou igual ao valor crítico da lateral à direita, em que x é o maior número de 
sinais + ou –.
Nos exercícios de 25 a 28, use um teste unilateral à direita e (a) identifique a afirmação 
e declare H0 e Ha, (b) encontre o valor crítico, (c) encontre a estatística de teste, (d) 
decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) interprete a decisão no contexto da afir-
mação original.
25. Salário semanal Uma organização trabalhista afirma que o salário mediano se-
manal de trabalhadores do sexo feminino é inferior ou igual a US$ 600. Para testar 
essa afirmação, você seleciona aleatoriamente 50 trabalhadoras e pede que cada 
uma forneça seu salário semanal. A tabela a seguir mostra os resultados. Com nível 
de significância α = 0,01, você pode rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado 
de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Salário semanal
Número de 
trabalhadoras
Menos de US$ 600 18
US$ 600 3
Mais de US$ 600 29
TABELA PARA O EXERCÍCIO 25 
Salário semanal
Número de 
trabalhadores
Menos de US$ 900 25
US$ 900 2
Mais de US$ 900 48
TABELA PARA O EXERCÍCIO 26
26. Salário semanal Uma organização trabalhista afirma que o salário mediano se-
manal de trabalhadores do sexo masculino é de mais de US$ 900. Paratestar essa 
afirmação, você seleciona aleatoriamente 75 trabalhadores na faixa de 25 a 34 anos. 
A tabela a seguir mostra os resultados. Com α = 0,01, você pode suportar a afirma-
ção da organização? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
27. Idade das noivas Um conselheiro matrimonial afirma que a idade mediana das 
noivas na época do seu primeiro casamento é inferior ou igual a 27 anos. Em uma 
amostra aleatória de 65 noivas, 24 têm menos de 27 anos, 35 têm mais de 27 
anos e 6 têm 27 anos. Com α = 0,05, você pode rejeitar a afirmação do conselhei-
ro? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
28. Idade dos noivos Um conselheiro matrimonial afirma que a idade mediana dos 
noivos na época do seu primeiro casamento é superior a 28 anos. Em uma amostra 
aleatória de 56 noivos, 33 têm menos de 28 anos e 23 têm mais de 28 anos. Com 
α = 0,05, você pode concordar com a afirmação do conselheiro? (Adaptado de U.S. 
Census Bureau.)
Capítulo 11 Testes não paramétricos 595
teste dos postos sinalizados de Wilcoxon  O teste da soma dos postos 
de Wilcoxon
O teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Nesta seção você estudará o teste dos postos sinalizados de Wilcoxon e o teste da soma 
dos postos de Wilcoxon. Ao contrário do teste dos sinais da Seção 11.1, a força desses 
dois testes não paramétricos é que cada um considera a magnitude, ou tamanho, dos 
dados.
Na Seção 8.3 você usou um teste t junto com amostras dependentes para determinar 
se havia uma diferença entre duas populações. Para usar o teste t e testar tal diferença, 
você deve supor (ou saber) que as amostras dependentes são selecionadas aleatoriamente 
de populações que possuem uma distribuição normal. Mas o que você deve fazer quando 
a suposição de normalidade não pode ser feita? Em vez de aplicar o teste t usando duas 
amostras, você pode utilizar o teste dos postos sinalizados de Wilcoxon.
DEFINIÇÃO
O teste dos postos sinalizados de Wilcoxon é um teste não paramétrico que pode ser 
usado para determinar se duas amostras dependentes foram selecionadas de popula-
ções que possuem a mesma distribuição.
INSTRUÇÕES
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Em palavras Em símbolos
1. Verifique se as amostras são 
aleatórias e dependentes.
2. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha.
as hipóteses nula e alternativa.
3. Especifique o nível de significância. Identifique α.
4. Determine o tamanho da amostra n, 
que é o número de pares de dados cuja 
diferença não é 0.
5. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.9 no Apêndice B.
6. Encontre a estatística de teste ws. Cabeçalhos: Amostra 1, Amostra 
2, Diferença, Valor absoluto, 
Posto e Posto sinalizado. Posto 
sinalizado adota o mesmo sinal de 
sua diferença correspondente.
a. Complete uma tabela usando 
os cabeçalhos listados à direita.
b. Encontre a soma dos postos positivos 
e a soma dos postos negativos.
c. Selecione o menor valor absoluto 
das somas.
7. Decida se rejeita ou não a hipótese nula. Se ws é menor ou igual ao valor 
crítico, então rejeite H0. Caso contrá-
rio, não rejeite H0.
8. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
 11.2 Testes de Wilcoxon
O que você deve aprender
 Como usar o teste dos postos 
sinalizados de Wilcoxon 
para determinar se duas 
amostras dependentes são 
selecionadas de populações 
que possuem a mesma 
distribuição.
 Como usar o teste da soma 
dos postos de Wilcoxon 
para determinar se duas 
amostras independentes são 
selecionadas de populações 
que possuem a mesma 
distribuição.
Dica de estudo
Lembre-se de que o 
valor absoluto de um 
número é o seu valor, 
desconsiderando seu 
sinal. Um par de barras 
verticais, | |, é usado 
para denotar o valor absoluto. 
Por exemplo, |3| = 3 e |–7| = 7.
596 Parte 4 Mais inferências estatísticas
EXEMPLO 1
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Um fabricante de tacos de golfe afirma que os jogadores podem diminuir suas pon-
tuações (números de tacadas) usando seus tacos de golfe recém-projetados. A Tabela 
11.5 mostra as pontuações de 10 golfistas enquanto usam o modelo antigo e o modelo 
novo no mesmo campo de golfe. Com α = 0,05, você aceita a afirmação do fabricante?
Tabela 11.5 Distribuição das pontuações dos golfistas
Golfista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pontuação (modelo antigo) 89 84 96 74 91 85 95 82 92 81
Pontuação (modelo novo) 83 83 92 76 91 80 87 85 90 77
SOLUÇÃO
A afirmação é “os jogadores podem diminuir suas pontuações”. Para testar essa afir-
mação, use as seguintes hipóteses nula e alternativa:
H0: O novo modelo não diminui as pontuações.
Ha: O novo modelo diminui as pontuações. (Afirmação)
Esse teste dos postos sinalizados de Wilcoxon é um teste unilateral com α = 0,05 e, 
como um par de dados tem uma diferença 0, n = 9 em vez de 10. Da Tabela B.9 no 
Apêndice B, o valor crítico é 8. Para encontrar a estatística de teste ws, complete con-
forme mostra a Tabela 11.6.
Tabela 11.6 Operações para o cálculo da estatística de teste
Pontuação 
(modelo antigo)
Pontuação 
(modelo novo) Diferença
Valor 
absoluto Posto
Posto 
sinalizado
89 83 6 6 8 8
84 83 1 1 1 1
96 92 4 4 5,5 5,5
74 76 –2 2 2,5 – 2,5
91 91 0 0 – –
85 80 5 5 7 7
95 87 8 8 9 9
82 85 –3 3 4 – 4
92 90 2 2 2,5 2,5
81 77 4 4 5,5 5,5
A soma dos postos negativos é
−2,5 + (−4) = −6,5.
A soma dos postos positivos é
8 + 1 + 5,5 + 7 + 9 + 2,5 + 5,5 = 38,5.
A estatística de teste é o menor valor absoluto dessas duas somas. Como |−6,5|pela distribuição normal). Ao calcular 
a estatística de teste para o teste da soma dos postos de Wilcoxon, faça n1 representar 
o tamanho da amostra menor e n2 representar o tamanho da maior amostra. Quando as 
duas amostras tiverem o mesmo tamanho, não importa qual é n1 ou n2.
Para calcular a soma dos postos R, combinar ambas as amostras e classificar os 
dados combinados. Então, somar os postos para a menor das duas amostras. Quando as 
duas amostras têm o mesmo tamanho, você pode usar os postos de qualquer uma, mas 
deve usar os postos da amostra que você associa com n1.
Estatística de teste para o teste da soma dos postos de Wilcoxon
Para duas amostras independentes, a estatística de teste z para o teste de soma dos 
postos de Wilcoxon é:
z =
R μR
σR
Onde
R = soma dos postos para a menor amostra,
μR =
n1 n1 n2 1
2
, e σR =
n1n2 n1 n2 1
12
.
Retratando 
o mundo
Para ajudar a determinar quando 
pacientes com artroscopia no 
joelho podem voltar a dirigir após 
a cirurgia, os tempos de reação 
na direção (em milissegundos) 
de 10 pacientes com artroscopia 
no joelho direito foram medidos 
antes da cirurgia e 4 semanas 
após a cirurgia, usando um 
simulador de carro ligado a um 
computador. A tabela a seguir 
mostra os resultados. (Adaptado 
de Knee Surgery, Sports Traumatology, 
Arthroscopy Journal.)
 
Paciente
Tempo 
de 
reação 
antes da 
cirurgia
Tempo 
de 
reação 4 
semanas 
após a 
cirurgia
1 720 730
2 750 645
3 735 745
4 730 640
5 755 660
6 745 670
7 730 650
8 725 730
9 770 675
10 700 705
 
Com α = 0,05, você pode concluir 
que os tempos de reação 
mudaram significativamente 
quatro semanas após a cirurgia?
Dica de estudo
Use o teste dos 
postos sinalizados 
de Wilcoxon para 
amostras dependentes e o teste da 
soma dos postos de Wilcoxon para 
amostras independentes.
598 Parte 4 Mais inferências estatísticas
INSTRUÇÕES
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Em palavras Em símbolos
1. Verifique que as amostras são 
aleatórias e independentes.
2. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha.
as hipóteses nula e alternativa.
3. Especifique o nível de significância. Identifique α.
4. Determine o(s) valor(es) crítico(s) Use a Tabela B.4 no Apêndice B.
e a(s) região(ões) de rejeição.
5. Determine os tamanhos das amostras. n1 ≤ n2
6. Encontre a soma dos postos para R
a menor amostra. 
a. Liste os dados combinados 
em ordem crescente. 
b. Classifique os dados combinados. 
c. Adicione a soma dos postos 
para a menor amostra, n1.
7. Encontre a estatística de teste e z =
R – μR
σResboce a distribuição amostral.
8. Decida se rejeita ou não a Se z está na região de rejeição, 
hipótese nula. então rejeite H0. Caso contrário, 
não rejeite H0
9. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
EXEMPLO 2
Realizando um teste da soma dos postos de Wilcoxon
A Tabela 11.8 mostra os salários (em milhares de dólares) de uma amostra aleatória 
de 10 homens e 12 mulheres, representantes de vendas de produtos farmacêuticos. 
Com α = 0,10, você pode concluir que há diferença entre o salário dos homens e das 
mulheres?
Salário homens 78 93 114 101 98 94 86 95 117 99
Salários mulheres 86 77 101 93 85 98 91 87 84 97 100 90
SOLUÇÃO
A afirmação é “há diferença entre o salário dos homens e das mulheres”. Para testar 
essa afirmação, use as hipóteses nula e alternativa a seguir:
H0: Não há diferença entre o salário de homens e mulheres.
Ha: Há diferença entre o salário de homens e mulheres. (Afirmação)
Como o teste é bilateral com α = 0,10, os valores críticos são – z0 = –1,645 e z0 = 1,645. 
As regiões de rejeição são z 1,645.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 599
O tamanho da amostra para os homens é 10 e para as mulheres é 12. Uma vez que 10 
4 Mais inferências estatísticas
5. Salário por grau Um administrador de faculdade afirma que há uma diferença no 
salário de pessoas com grau de bacharel e aquelas com grau de pós-graduação. A ta-
bela a seguir mostra os salários (em milhares de dólares) de uma amostra aleatória 
de 11 bacharéis e 10 pessoas pós-graduadas. Com α = 0,05, há evidência suficiente 
para confirmar a afirmação do administrador? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
Bacharel 50 63 93 69 67 99 82 67 50 74 71
Pós-graduação 138 88 99 113 104 102 116 84 114 96
6. Dores de cabeça Um médico pesquisador quer determinar se um novo remédio 
afeta o número de horas de dor de cabeça pelas quais passam pessoas que sofrem 
desse mal. Para tanto, o pesquisador seleciona aleatoriamente sete pacientes e pede 
que cada um informe o número de horas de dor de cabeça (por dia) que cada um 
sente antes e depois de tomar o remédio. A tabela a seguir mostra os resultados. 
Com nível de significância α = 0,05, o pesquisador pode concluir que o novo remé-
dio afeta o número de horas de dor de cabeça?
Paciente 1 2 3 4 5 6 7
Horas de dor de cabeça (antes) 0,8 2,4 2,8 2,6 2,7 0,9 1,2
Horas de dor de cabeça (depois) 1,6 1,3 1,6 1,4 1,5 1,6 1,7
7. Salários de professores Um representante do sindicato de professores afirma que 
há uma diferença nos salários recebidos por professores em Wisconsin e Michigan. 
A tabela a seguir mostra os salários (em milhares de dólares) de uma amostra alea-
tória de 11 professores em Wisconsin e 12 professores em Michigan. Com α = 0,05, 
há evidência suficiente para aceitar a afirmação do representante? (Adaptado de 
National Education Association.)
Virginia 61 61 58 60 63 53 66 60 64 50 66
Missouri 40 46 37 49 56 46 51 53 59 66 46 57
8. Frequência cardíaca Um médico quer determinar se uma medicação experimen-
tal afeta a frequência cardíaca de um indivíduo. O médico seleciona aleatoriamente 
15 pacientes e mede a frequência cardíaca de cada um. Os indivíduos tomam, en-
tão, o medicamento e têm suas frequências cardíacas medidas novamente após uma 
hora. A tabela a seguir mostra os resultados. Para um nível de significância α = 0,05, 
o médico pode concluir que a medicação experimental afeta a frequência cardíaca 
de um indivíduo?
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8
Frequência cardíaca (antes) 72 81 75 76 79 74 65 67
Frequência cardíaca (depois) 73 80 75 79 74 76 73 67
Paciente 9 10 11 12 13 14 15
Frequência cardíaca (antes) 76 83 66 75 76 78 68
Frequência cardíaca (depois) 74 77 70 77 76 75 74
Capítulo 11 Testes não paramétricos 603
Expandindo conceitos
Teste dos postos sinalizados de Wilcoxon para n > 30 Quando você 
está realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon e o tamanho da amostra 
n é maior que 30, você pode usar a Tabela Normal Padrão e a fórmula a seguir para 
encontrar a estatística de teste.
z =
ws –
n n + 1
4
n n + 1 2n + 1
24
Nos exercícios 9 e 10, realize o teste dos postos sinalizados de Wilcoxon indicado usan-
do a estatística de teste para n > 30.
9. Aditivo de combustível Um engenheiro de petróleo quer saber se certo aditivo de 
combustível melhora o desempenho de um carro. Para decidir, o engenheiro regis-
tra o desempenho (em milhas por galão) de 33 carros selecionados aleatoriamente 
com e sem o aditivo de combustível. A tabela a seguir mostra os resultados. Com 
α = 0,10, o engenheiro pode concluir que o desempenho melhorou?
Carro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Sem aditivo 36,4 36,4 36,6 36,6 36,8 36,9 37,0 37,1 37,2 37,2 36,7
Com aditivo 37,7 36,9 37,0 37,5 38,0 38,1 38,4 38,7 38,8 38,9 36,3
Carro 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Sem aditivo 37,5 37,6 37,8 37,9 37,9 38,1 38,4 40,2 40,5 40,9 35,0
Com aditivo 38,9 39,0 39,1 39,4 39,4 39,5 39,8 40,0 40,0 40,1 36,3
Carro 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Sem aditivo 32,7 33,6 34,2 35,1 35,2 35,3 35,5 35,9 36,0 36,1 37,2
Com aditivo 32,8 34,2 34,7 34,9 34,9 35,3 35,9 36,4 36,6 36,6 38,3
10. Aditivo de combustível Um engenheiro de petróleo afirma que um aditivo de 
combustível melhora o desempenho. A tabela a seguir mostra o desempenho (em 
milhas por galão) de 32 carros selecionados aleatoriamente, medido com e sem o 
aditivo de combustível. Teste a afirmação do engenheiro de petróleo com α = 0,05.
Carro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Sem aditivo 34,0 34,2 34,4 34,4 34,6 34,8 35,6 35,7 30,2 31,6 32,3
Com aditivo 36,6 36,7 37,2 37,2 37,3 37,4 37,6 37,7 34,2 34,9 34,9
Carro 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Sem aditivo 33,0 33,1 33,7 33,7 33,8 35,7 36,1 36,1 36,6 36,6 36,8
Com aditivo 34,9 35,7 36,0 36,2 36,5 37,8 38,1 38,2 38,3 38,3 38,7
Carro 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Sem aditivo 37,1 37,1 37,2 37,9 37,9 38,0 38,0 38,4 38,8 41,1
Com aditivo 38,8 38,9 39,1 39,1 39,2 39,4 39,8 40,3 40,8 43,2
ESTUDO
DE CASO
Ranking de universidades
A cada ano, a Forbes e o Center for College Affordability and Productivity lan-
çam uma lista das melhores instituições de ensino superior nos Estados Unidos. 
600 faculdades e universidades são classificadas de acordo com fatores em sete 
categorias
1. Salário de ex-alunos, uma média, com base nos dados de rendimentos de 
graduados
2. Dívida estudantil, o valor devido pelo aluno médio após a faculdade
3. Retorno sobre o investimento, uma medida de quanto tempo os alunos le-
vam para pagar seus custos da faculdade usando seu aumento nos ganhos 
pós-matrícula
4. Taxa de graduação
5. Líderes americanos produzidos, o número de ex-alunos em várias listas 
de poder
6. Taxa de retenção, a porcentagem de alunos que permanecem após o primei-
ro ano
7. Sucesso acadêmico, com base no número de alunos que obtiveram sucesso 
acadêmico honras e graus avançados
A tabela mostra as populações estudantis para faculdades selecionadas alea-
toriamente por região na lista de 2021.
Populações estudantis
Nordeste Centro-Oeste Sul Oeste
 6,608
24,027
 2,134
 2,519
 1,835
 2,631
14,171
22,207
33,720
 3,697
21,946
44,551
31,240
 3,004
 2,098
 1,475
14,297
 1,445
 3,570
 3,906
19,593
 4,524
 2,264
36,383
17,811
 2,692
46,148
28,079
69,525
14,318
 1,717
 895
40,445
22,517
 1,109
17,019
 2,214
21,003
 8,847
 5,319
EXERCÍCIOS
1. Construa um boxplot lado a lado para as quatro regiões. 
Apenas observando o gráfico, é possível perceber duas 
ou mais medianas “próximas”? Alguma parece ser 
diferente?
Nos exercícios de 2 a 5, use o teste dos sinais para testar a 
afirmação. O que você pode concluir? Use α = 0,05.
2. A população total mediana de estudantes em instituições 
no Nordeste é menor ou igual a 7.000.
3. A população total mediana de estudantes em instituições 
no Centro-Oeste é maior ou igual a 8.000.
4. A população total mediana de estudantes em instituições 
no Sul é 10.000.
5. A população total mediana de estudantes em instituições 
no Oeste é diferente de 8.000.
Nos exercícios 6 e 7, use o teste da soma dos postos de 
Wilcoxon para testar a afirmação. Use α = 0,01.
6. Não há diferença entre a população total de estudantes 
para as instituições no Centro-Oeste e no Oeste.
7. Há diferença entre a população total de estudantes para 
as instituições no Nordeste e no Sul.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 605
O teste de Kruskal-Wallis
O teste de Kruskal-Wallis
Na Seção 10.4 você aprendeu como usar técnicas da ANOVA com um fator para com-
parar as médias de três ou mais populações. Ao usar a ANOVA com um fator, você deve 
verificar se cada amostra independente é sele cionada de uma população com distri-
buição normal, ou aproximadamente normal. Quando você não pode concluir que as 
populações são normais, você ainda pode comparar as distribuições de três ou mais 
populações. Para tanto, você pode usar o teste de Kruskal-Wallis.
DEFINIÇÃO
O teste de Kruskal-Wallis é um teste não paramétrico que pode ser usado para deter-
minar se três ou mais amostras independentes foram selecionadas de populações que 
possuem a mesma distribuição.
Para um teste de Kruskal-Wallis, as hipóteses nula e alternativa são sempre seme-
lhantes às seguintes afirmações:
H0: Todas as populações possuema mesma distribuição.
Ha: Pelo menos uma população possui uma distribuição que é diferente das 
demais.
As condições para usar o teste de Kruskal-Wallis são que as amostras devem ser 
aleatórias e independentes, e o tamanho de cada amostra deve ser pelo menos 5. Se essas 
condições são satisfeitas, então a distribuição amostral para o teste de Kruskal-Wallis é 
aproximada por uma distribuição qui-quadrado com k – 1 graus de liberdade, em que k é 
o número de amostras. Você pode calcular a estatística de teste de Kruskal-Wallis usando 
a fórmula descrita a seguir.
Estatística de teste para o teste de Kruskal-Wallis
Para três ou mais amostras independentes, a estatística de teste para o teste de 
Kruskal-Wallis é:
H =
12
N N + 1
R 2
1
n1
+
R 2
2
n2
+ +
R 2
k
nk
– 3 N + 1
onde
k é o número de amostras,
ni é o tamanho da i-ésima amostra,
N é a soma dos tamanhos das amostras,
e
Ri é a soma dos postos da i-ésima amostra.
Realizar um teste de Kruskal-Wallis consiste em combinar e classificar em ordem 
crescente os dados amostrais. Após, os postos são então separados de acordo com a 
amostra e a soma dos postos de cada amostra é calculada.
 11.3 Teste de Kruskal-Wallis
O que você deve aprender
 Como usar o teste de 
Kruskal-Wallis para 
determinar se três ou 
mais amostras foram 
selecionadas de populações 
que apresentam a mesma 
distribuição.
606 Parte 4 Mais inferências estatísticas
Essas somas são então usadas para calcular a estatística de teste H, que é uma apro-
ximação da variância das somas dos postos. Quando as amostras são selecionadas de 
populações que possuem a mesma distribuição, as somas dos postos serão, em geral, 
aproximadamente iguais, H será pequeno, e você provavelmente não deve rejeitar a 
hipótese nula.
Quando as amostras são selecionadas de populações que não possuem a mesma dis-
tribuição, as somas dos postos poderão ser muito diferentes, H será grande e você prova-
velmente deve rejeitar a hipótese nula.
Como só se rejeita a hipótese nula quando H é significativamente grande, o teste de 
Kruskal-Wallis é sempre um teste unilateral à direita.
INSTRUÇÕES
Performing a Kruskal-Wallis Test
Em palavras Em símbolos
1. Verifique se as amostras são 
aleatórias e independentes, e cada 
tamanho de amostra é pelo menos 5.
2. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha.
as hipóteses nula e alternativa.
3. Especifique o nível de significância. Identifique α.
4. Identifique os graus de liberdade. g.l. = k – 1
5. Determine o valor crítico e a região Use a Tabela B.6 no Apêndice B.
de rejeição.
6. Encontre a soma dos postos para 
cada amostra.
a. Liste os dados combinados 
em ordem crescente.
b. Classifique os dados 
combinados.
7. Encontre a estatística de teste H =
12
N N + 1
.
R 2
1
n1
+
R 2
2
n2
+ . . . +
R 2
k
nk
– 3 N + 1
e esboce a distribuição amostral.
8. Decida se rejeita ou não rejeita Se H está na região de rejeição, 
a hipótese nula. então rejeite H0. Caso contrário, 
não rejeite H0
9. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 607
EXEMPLO 1
Realizando um teste de Kruskal-Wallis
Você quer comparar o número de crimes denunciados em três delegacias policiais em 
uma cidade. Para tal, você seleciona aleatoriamente 10 semanas para cada delegacia e 
registra o número de crimes denunciados. A Tabela 11.11 mostra os resultados. Com 
α = 0,01, você pode concluir que a distribuição do número de crimes denunciados em 
pelo menos uma delegacia é diferente das demais?
Tabela 11.11 Número de crimes denunciados por semana
101ª delegacia 
(Amostra 1)
106ª delegacia 
(Amostra 2)
113ª delegacia 
(Amostra 3)
60 65 69
52 55 51
49 64 70
52 66 61
50 53 67
48 58 65
57 50 62
45 54 59
44 70 60
56 62 63 
SOLUÇÃO
Você quer testar a afirmação de que a distribuição do número de crimes denunciados 
em pelo menos uma delegacia é diferente das demais. As hipóteses nula e alternativa 
são as seguintes:
H0: A distribuição do número de crimes denunciados é a mesma nas três 
delegacias.
Ha: A distribuição do número de crimes denunciados em pelo menos uma delega-
cia é diferente das demais. (Afirmação)
O teste é unilateral à direita com α = 0,01 e g.l. = k – 1 = 3 – 1 = 2. Da Tabela B.6 no 
Apêndice B, o valor crítico é ꭓ2
0 = 9,210.A região de rejeição é ꭓ2 > 9,210. Para cal-
cular a estatística de teste, você deve encontrar a soma dos postos para cada amostra.
A Tabela 11.12 mostra os dados combinados listados em ordem crescente e os corres-
pondentes postos.
Tabela 11.12 Ordenação dos dados e respectivos postos
Dados 
ordenados Amostra Posto
Dados 
ordenados Amostra Posto
Dados 
ordenados Amostra Posto
44 101a 1 54 106a 11 62 113a 20,5
45 101a 2 55 106a 12 63 113a 22
48 101a 3 56 101a 13 64 106a 23
49 101a 4 57 101a 14 65 106a 24,5
50 101a 5,5 58 106a 15 65 113a 24,5
50 106a 5,5 59 113a 16 66 106a 26
51 113a 7 60 101a 17,5 67 113a 27
52 101a 8,5 60 113a 17,5 69 113a 28
52 101a 8,5 61 113a 19 70 106a 29,5
53 106a 10 62 106a 20,5 70 113a 29,5
608 Parte 4 Mais inferências estatísticas
A soma dos postos para cada amostra é:
R1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,5 + 8,5 + 8,5 + 13 + 14 + 17,5 = 77
R2 = 5,5 + 10 + 11 + 12 + 15 + 20,5 + 23 + 24,5 + 26 + 29,5 = 177
R3 = 7 + 16 + 17,5 + 19 + 20,5 + 22 + 24,5 + 27 + 28 + 29,5 = 211
Usando essas somas e os valores n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10 e N = 30, a estatística de 
teste é:
H =
12
30 30 + 1
772
10
+
1772
10
+
2112
10
– 3 30 + 1 ≈ 12.521.
A Figura 11.4 mostra a localização da região de rejeição e a estatística de teste H. 
Como H está na região de rejeição, você rejeita a hipótese nula.
2 4 6 8 10 12 14
� 2
H � 12,521
� = 0,01
0
2� = 9,210
Figura 11.4 Distribuição qui-quadrado, região de rejeição e estatística de teste.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 1%, para aceitar 
a afirmação de que a distribuição do número de crimes denunciados em pelo menos 
uma delegacia é diferente das demais.
TENTE VOCÊ MESMO 1
Você quer comparar os salários de veterinários que trabalham no Texas, na Flórida e 
em Ohio. Para compará-los, você seleciona aleatoriamente diversos veterinários em 
cada estado e registra seus salários. A Tabela 11.13 mostra os salários (em milhares de 
dólares). Com α = 0,05, você pode concluir que a distribuição dos salários dos vete-
rinários em pelo menos um estado é diferente das demais? (Adaptado de U.S. Bureau 
of Labor Statistics.)
Tabela 11.13 Salários de veterinários
TX 
(Amostra 1)
FL 
(Amostra 2)
OH 
(Amostra 3)
104,3 152,4 107,9
183,3 144,6 80,9
119,7 129,4 123,0
111,3 85,5 141,7
109,6 124,0 149,4
180,6 113,5 155,4
77,4 90,1 55,9
91,5 101,1 109,8
145,2 112,0 127,1
123,6
Retratando 
o mundo
As informações a seguir, 
coletadas aleatoriamente, 
foram usadas para comparar 
as temperaturas da água (em 
graus Fahrenheit) de cidades 
na fronteira com o Golfo do 
México. (Adaptado de National 
Oceanographic Data Center.)
 
Cedar 
Key FL 
(Amostra 
1)
Eugene 
Island, LA 
(Amostra 
2)
Dauphin 
Island, AL 
(Amostra 
3)
62 51 63
69 55 51
77 57 54
59 63 60
60 74 75
75 83 80
83 85 70
65 60 78
79 64 82
86 76 84
82 83
86
 
Com α = 0,05, você pode 
concluir que uma distribuição 
de temperatura é diferente das 
outras? 
Capítulo 11 Testes não paramétricos 609
Construindo habilidades básicas e vocabulário
1. Quais são as condições para usar um teste de Kruskal-Wallis?
2. Explique por que o teste de Kruskal-Wallis é sempre um teste unilateral à direita.
Usando e interpretando conceitos
Realizando um teste de Kruskal-Wallis Nos exercícios 3 a 6, (a) identifique 
a afirmação e declareH0 e Ha, (b) encontre o valor crítico e identifique a região de rejei-
ção, (c) encontre a estatística de teste, (d) decida entre rejeitar ou não a hipótese nula e 
(e) interprete a decisão no contexto da afirmação original.
3. Pontuação no SAT A tabela a seguir mostra a pontuação para uma amostra alea-
tória de estudantes na Penn State University, na Carnegie Mellon Universitye na 
Universidade de Pittsburgh. Para um nível de significância α = 0,05, você pode con-
cluir que a distribuição das pontuação do SAT em pelo menos um estado é diferente 
das demais? (Adaptado de National Association of Insurance Commissioners.)
Universidade Pontuação SAT composta
Penn State 1290 1280 1220 1340 1290 1250 1190
Carnegie Mellon 1490 1520 1500 1540 1570 1460 1490
Pittsburgh 1260 1470 1250 1430 1280 1300 1340
4. Remuneração por hora Um pesquisador quer determinar se há diferença nas 
taxas de remuneração por hora para enfermeiras registradas em Indiana, Kentucky 
e Ohio. O pesquisador seleciona aleatoriamente diversas enfermeiras registradas 
em cada estado e anota a variação da remuneração por hora de cada uma. A tabela a 
seguir mostra os resultados. Com α = 0,10, o pesquisador pode concluir que a distri-
buição das taxas de remuneração por hora das enfermeiras registradas em pelo me-
nos um estado é diferente das demais? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Estado Taxa de remuneração por hora (em dólares)
Indiana 27,46 29,53 29,74 34,78 27,77 39,72 36,26
Kentucky 33,12 31,52 37,35 28,54 31,85 43,96 30,00
Ohio 29,34 26,66 38,43 30,30 35,88 39,70
5. Custos de construção A tabela mostra o custo de construção por metro qua-
drado de uma amostra aleatória de prédios comerciais de um andar em San 
Francisco, Chicago, Atlanta e Nova York. Com α = 0,10, você pode concluir que 
a distribuição dos custos de construção em pelo menos uma cidade é diferente das 
outras? (Adaptado de Cumming)
Estado Salário anual (em milhares de dólares)
Kentucky 412 378 418 337 338 401 299
Carolina do Norte 320 408 288 328 294 343 370
Carolina do Sul 260 174 243 271 228 259 255
West Virginia 452 291 350 391 441 395 357
11.3 EXERCÍCIOS
610 Parte 4 Mais inferências estatísticas
6. Teor de cafeína A tabela a seguir mostra as quantidades de cafeína (em miligra-
mas) em porções de 16 onças para uma amostra aleatória de bebidas. Com α = 0,01, 
você pode concluir que a distribuição das quantidades de cafeína em pelo menos uma 
bebida é diferente das demais? (Adaptado de Center for Science in the Public Interest.)
Bebida
Quantidade de cafeína em porções de 16 onças 
(em miligramas)
Cafés 320 300 206 150 266
Refrigerantes 95 96 56 51 71 72 47
Energéticos 200 141 160 152 154 166
Chás 100 106 42 15 32 10
Expandindo conceitos
Comparando dois testes Nos exercícios 7 e 8:
(a) realize um teste de Kruskal-Wallis.
(b) realize um teste ANOVA com um fator, supondo que cada população é normalmen-
te distribuída e as variâncias populacionais são iguais. Se for conveniente, use 
tecnologia.
(c) compare os resultados.
7. Estadia de pacientes em hospitais Um agente de seguros afirma que o número 
de dias que pacientes passam no hospital é diferente em pelo menos uma região dos 
Estados Unidos. A tabela a seguir mostra o número de dias que pacientes selecio-
nados aleatoriamente passaram no hospital em quatro regiões dos Estados Unidos. 
Para o nível de significância α = 0,01, você pode concordar com a afirmação do 
agente de seguros? (Adaptado de U.S. National Center for Health Statistics.)
Região Número de dias
Nordeste 8 6 6 3 5 11 3 8 1 6
Centro-Oeste 5 4 3 9 1 4 6 3 4 7
Sul 5 8 1 5 8 7 5 1
Oeste 2 3 6 6 5 4 3 6 5
8. Consumo de energia A tabela a seguir mostra a energia consumida (em milhões 
de Btus) em um ano para uma amostra aleatória de domicílios de quatro regiões 
dos Estados Unidos. Com α = 0,01, você pode concluir que a energia consumi-
da é diferente em pelo menos uma região? (Adaptado de U.S. Energy Information 
Administration.)
Região Energia consumida (em milhões de Btus)
Nordeste 61 95 140 127 93 97 84 123 89 163
Centro-Oeste 59 158 169 140 95 187 95 123 123 104 88 37 72
Sul 86 35 67 86 142 69 65 62
Oeste 81 39 85 35 113 46 125 70 77 63
Capítulo 11 Testes não paramétricos 611
O coeficiente de correlação de postos de Spearman
O coeficiente de correlação de postos 
de Spearman
Na Seção 9.1 você aprendeu como medir a força da relação entre duas variáveis usando 
o coeficiente de correlação de Pearson r. Dois requisitos para o coeficiente de corre-
lação de Pearson são que as variáveis sejam linearmente relacionadas e que tenham 
uma distribuição normal bivariada. Quando esses requisitos não podem ser satisfeitos, 
você pode examinar a relação entre duas variáveis usando o equivalente não paramétrico 
para o coeficiente de correlação de Pearson – o coeficiente de correlação de postos de 
Spearman.
O coeficiente de correlação de postos de Spearman tem várias vantagens em relação 
ao coeficiente de correlação de Pearson. Por exemplo, o coeficiente de correlação de 
postos de Spearman pode ser usado para descrever a relação entre dados lineares e não 
lineares. Também pode ser usado para dados no nível ordinal. Sem o auxílio de “tecno-
logia”, o coeficiente de Spearman é mais fácil de ser calculado.
DEFINIÇÃO
O coeficiente de correlação de postos de Spearman rs é uma medida da força da 
relação entre duas variáveis. O coeficiente de correlação de postos de Spearman é 
calculado usando-se os postos dos valores de amostras pareadas. Se não houver em-
pates nos postos de ambas as variáveis, a fórmula para o coeficiente de correlação de 
postos de Spearman será:
rs = 1 –
6 d 2
n n2 – 1
em que n é o número de pares de valores e d é a diferença entre os postos de cada par. 
Se houver poucos empates nos postos, em relação ao número de pares de dados, então 
a fórmula ainda poderá ser usada para aproximar rs.
Os valores de rs variam de –1 a 1, inclusive. Quando os postos em cada par de dados 
correspondentes são exatamente idênticos, rs é igual a 1. Quando os postos estão em 
ordem “inversa”, rs é igual a –1. Quando os postos de pares de dados correspondentes 
não têm relação, rs é igual a 0.
Após calcular o coeficiente de correlação de postos de Spearman, você pode ve-
rificar se a correlação entre as variáveis é significativa. Pode fazer essa determinação 
realizando um teste de hipótese para o coeficiente de correlação da população ρs. As hi-
póteses nula e alternativa para esse teste são as seguintes:
H0: ρs = 0 (Não há correlação entre as variáveis.)
Ha: ρs ≠ 0 (Há correlação significativa entre as variáveis.)
A Tabela B.10 no Apêndice B lista os valores críticos para o coeficiente de corre-
lação de postos de Spearman para níveis de significância e tamanhos de amostra sele-
cionados. A estatística de teste para o teste de hipótese é o coeficiente de correlação de 
postos de Spearman rs.
 11.4 Correlação de postos
O que você deve aprender
 Como usar o coeficiente 
de correlação de postos de 
Spearman para determinar 
se a correlação entre duas 
variáveis é significativa.
612 Parte 4 Mais inferências estatísticas
INSTRUÇÕES
Testando a significância do coeficiente de correlação de postos de Spearman
Em palavras Em símbolos
1. Identifique a afirmação. Declare Formule H0 e Ha.
as hipóteses nula e alternativa.
2. Especifique o nível de significância. Identifique α.
3. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.10 no Apêndice B.
4. Encontre a estatística de teste. rs = 1 –
6 d 2
n n2 – 1
5. Tome uma decisão para rejeitar Se |rs| é maior que o valor crítico, 
ou não rejeitar a hipótese nula. então rejeite H0. Caso contrário, 
não rejeite H0.
6. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
EXEMPLO 1
Coeficiente de correlação de postos de Spearman
A Tabela 11.14 mostra as matrículas de juniores e sêniores para uma amostra aleatória 
de 10 faculdades. Com α = 0,05, você pode concluir que há correlação significativa 
entre o número de homens e o número de mulheres matriculados em uma faculdade?
Tabela 11.14 Números de homens e de 
mulheres matriculados em 10 faculdades
Júnior Sênior
1.786 2.182
4.246 4.415
1.419 1.537
1.188 1.236
2.394 2.182
1.079 919
4.049 4.209
3.595 3.741
1.102 1.086
1.345 1.282
SOLUÇÃO
A afirmação é “há uma correlação significativa entre o número de homens e o número 
de mulheres matriculados em uma faculdade”. As hipóteses