oz a vida da matematica

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d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2\sec^2(0) = 2 
 \] 
 
25. **Qual é a integral de \(f(x) = e^{-x^2}\)?** 
 a) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 b) Não existe forma elementar 
 c) \(e^{-x^2} + C\) 
 d) \(\ln(e^{-x^2}) + C\) 
 **Resposta:** b) Não existe forma elementar 
 **Explicação:** A integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares e é relacionada à função erro. 
 
26. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int \sin^3(x) \cos(x) \, dx 
 \] 
 a) \(-\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{2} \sin^2(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \sin(x)\), \(du = \cos(x) \, dx\): 
 \[ 
 \int \sin^3(x) \cos(x) \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = -\frac{1}{4} \sin^4(x) + C 
 \] 
 
27. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\)?** 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 d) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} 
 \] 
 
28. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 x^4 (1 - x^2) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{1}{10}\) 
 c) \(\frac{1}{12}\) 
 d) \(\frac{1}{20}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{10}\) 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int_0^1 x^4 (1 - x^2) \, dx = \int_0^1 (x^4 - x^6) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - 
\frac{x^7}{7}\right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{2}{35} = \frac{1}{10} 
 \] 
 
29. **Qual é a integral de \(f(x) = \sec^2(x)\)?** 
 a) \(\tan(x) + C\) 
 b) \(\sec(x) + C\) 
 c) \(\sin(x) + C\) 
 d) \(\cos(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\tan(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C 
 \] 
 
30. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} 
 \] 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 8 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos(4x)}{1} = 4\cos(0) = 4 
 \] 
 
31. **Qual é a integral de \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\)?** 
 a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\ln(x) + C\) 
 c) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\cos^{-1}(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \tan^{-1}(x) + C 
 \] 
 
32. **Calcule a integral:**