Circuitos Resistivos e Transformações

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23/08/2016 
1 
Universidade de Brasília – UnB 
Departamento de Engenharia Elétrica – ENE 
ELETRICIDADE BÁSICA 
Prof.: Felipe V. Lopes, D. Sc. 
EB 1 Brasília, 2016 
EB 2 
Circuito Divisor de Tensão 
v
RRR
R
v
x
x
x 


...21
xRRR
v
i


...21
i 
iRv xx 
x
xx
RRR
v
Rv


...21
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
2 
EB 3 
Circuito Divisor de Corrente 
i
RR
R
i
eqx
eq
x 


xx iRv 
0...21  xiiii
xiiii  ...21
xR
v
R
v
R
v
i  ...
21







xRRR
vi
1
...
11
21







x
xx
RRR
iRi
1
...
11
21
x
x
x i
RRR
Ri 













1
1
...
11
121
x
eq
x i
R
Ri 








 1
1
x
eq
eqx
i
R
RR
i 







 

P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
Unidade 2 
CIRCUITOS 
RESISTIVOS 
Parte (1) 
EB 4 
23/08/2016 
3 
Na Última Aula 
EB 5 
Associação 
série/paralelo 
de capacitores 
)(00 TRRR  
Associação 
série/paralelo 
de indutores 
Associação 
série/paralelo 
de resistores 
R x Temperatura 
Lei de Kirchhoff para 
a tensão (LKT) 
Lei de Kirchhoff para 
a corrente (LKC) 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
Na Aula de Hoje 
EB 6 
• Resistência equivalente 
 Redes resistivas em estrela e em delta 
 
• Propriedade da linearidade 
 Condição básicas das técnicas de análise de 
circuitos estudados nessa unidade 
 
• Princípio da superposição 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
4 
Referências Bibliográficas 
EB 7 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 8 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
 • Motivação 
 Em certas configurações dos circuitos, os resistores 
parecem não estar nem em série nem em paralelo 
 
• Necessidade de converter a topologia do circuito para 
uma mais conveniente 
 Facilita o cálculo das tensões e correntes 
 
• Dificuldades desse tipo são geralmente encontradas em 
 Configurações Y (estrela ou Y) e Δ (delta ou triângulo) 
 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
5 
EB 9 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 10 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
6 
EB 11 
 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
Exemplo 1 
 • Calcule a corrente i. 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 12 
 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
Exemplo 2 
 • Calcule a corrente i. 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
7 
EB 13 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 14 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
a 
c 
b a 
c 
b 
Devem possuir o mesmo 
comportamento! 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
8 
EB 15 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
a 
c 
b a 
c 
b 
Devem possuir o mesmo 
comportamento! 
Medindo a 
resistência entre 
os nós a e c, 
inicialmente 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 16 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
a 
c 
b a 
c 
b 
R1 e R3 estão em série 
RB está em paralelo com a associação série entre RA e RC 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
9 
EB 17 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
c c 
a b a b 
)(
)(
)//(
31
CAB
CAB
CABca
ca
RRR
RRR
RRRR
RRR






P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 18 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
)(
)(
31
CAB
CAB
RRR
RRR
RR



)(
)(
21
BAC
BAC
RRR
RRR
RR



)(
)(
32
CBA
CBA
RRR
RRR
RR



CBA
CB
RRR
RR
R

1
CBA
CA
RRR
RR
R

2
CBA
BA
RRR
RR
R

3
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
10 
EB 19 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y 
 
CBA
CB
RRR
RR
R

1
CBA
CA
RRR
RR
R

2
CBA
BA
RRR
RR
R

3
A resistência do Y é igual ao 
produto das resistências nos 
dois ramos do Δ mais próximos 
da resistência a ser obtida 
dividido pela soma das 
resistências do Δ 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 20 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Δ – Y (Resistores iguais) 
 









R
R
RRR
RR
RRRR
RRRR
Y
CBA
3
2
321
3

R
RY
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
11 
EB 21 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ 
 
CBA
CB
RRR
RR
R

1
CBA
CA
RRR
RR
R

2
CBA
BA
RRR
RR
R

3
Para obter a transformação Y – Δ, 
as relações obtidas para R1, R2 e 
R3 são divididas entre si e 
manipuladas com o intuito de 
isolar RA, RB e RC 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 22 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ 
 
CBA
CB
RRR
RR
R

1
CBA
BA
RRR
RR
R

3
• Dividindo uma pela outra: 
C
A
CBACB
CBABA
R
R
RRRRR
RRRRR
R
R




)(
)(
1
3
1
3
R
RR
R C
A 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
12 
EB 23 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ 
 
CBA
BA
RRR
RR
R

3
• Dividindo uma pela outra: 
C
B
CBACA
CBABA
R
R
RRRRR
RRRRR
R
R




)(
)(
2
3
2
3
R
RR
R C
B 
CBA
CA
RRR
RR
R

2
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 24 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ 
 
1
3
R
RR
R C
A 
3
323121
R
RRRRRR
RC


CBA
CA
RRR
RR
R

2
2
3
R
RR
R C
B 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
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13 
EB 25 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ 
 
3
323121
R
RRRRRR
RC


2
323121
R
RRRRRR
RB


1
323121
R
RRRRRR
RA


A resistência do Δ é igual à soma 
das possíveis combinações das 
resistências do Y dividida pela 
resistência do Y mais distante da 
resistência a ser obtida 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 26 
 
Resistência Equivalente 
Transformação Y – Δ (Resistores iguais) 
 
Y
Y
Y
YYYYYY
CBA
Y
R
R
R
RRRRRR
RRRR
RRRR
2
321
3





YRR 3
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
14 
EB 27 
 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
Exemplo 1 
 • Calcule a corrente i. 
A 2i
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 28 
 
Transformação Y – Δ e Δ – Y 
Exemplo 2 
 • Calcule a corrente i e indique quantos watts são fornecidos pela pela 
fonte. 
circuito aoW 20 fornece fonte A
A 5,0i
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
15 
EB 29 
 
Propriedade da Linearidade 
 
• A análise de circuitos pode ser voltada para circuitos lineares e 
não lineares 
 Grande maioria dos problemas recai sobre circuitos lineares 
 
• Leis de Kirchhoff 
 Vantagem: Não requer alterações na configuração do circuito 
 Desvantagem: Circuitos grandes e mais complexos requerem 
muitos cálculos 
 
• Desenvolvimento de técnicas para simplificação da análise de 
circuitos 
 Aplicáveis a circuitos lineares (Ex.: Princípio da superposição e 
teorema de Thévenin e Norton) 
Introdução 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 30 
 
Propriedade da Linearidade 
 • Definição 
Introdução 
“Propriedade de um elemento descrever uma relação linear entre 
causa e efeito” 
)(tx Sistema Linear )()( txaty 
)(1 tx
Sistema Linear 
)()( 11 txaty 
)(2 tx )()( 22 txaty 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
16 
31 
Propriedade da Linearidade 
Condições Básicas 
Condição 1 (Homogeneidade): Entrada multiplicada por uma constante 
resulta em uma saída multiplicada por essa mesma constante 
)()( 1 tKxtx 
Sistema 
Linear 
 
 
)()(
)()(
)()(
1
1
1
tyKty
taxKty
tKxaty



Condição 2 (Aditividade): A resposta para a soma de entradas é igual à 
soma das respostas acada entrada aplicada separadamente 
)()(
)(
2211 txKtxK
tx

 Sistema 
Linear 
 
)()()(
)()()(
)()()(
2211
2211
2211
tyKtyKty
txaKtxaKty
txKtxKaty



P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 32 
Propriedade da Linearidade 
Resistores 
)()( 1 tKiti 
)()(
)()(
1
1
tKvtv
RtKitv


iRv 
)()(
)(
21 titi
ti


 
)()(
)()(
)()()(
21
21
21
tvtv
RtiRti
Rtititv



iRv 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
17 
EB 33 
Propriedade da Linearidade 
Resistores 
)()( 1 tKvtv 
)(
)(
)(
1
1
tKi
R
tv
Kti 
R
v
i 
)()(
)(
21 tvtv
tv


 
)()(
)()(
)()(
)(
21
21
21
titi
R
tv
R
tv
R
tvtv
ti




R
v
i 
ELEMENTO LINEAR 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 34 
Propriedade da Linearidade 
Indutores 
)()( 1 tKiti 
 
)(
)(
)()(
1
1
1
tvK
dt
tdi
LK
tKi
dt
d
Ltv



)()(
)(
21 titi
ti


 
)()(
)()(
)()(
)()()(
21
21
21
21
tvtv
dt
tdi
L
dt
tdi
L
dt
tdi
dt
tdi
L
titi
dt
d
Ltv










dt
di
Lv 
dt
di
Lv 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
18 
EB 35 
Propriedade da Linearidade 
Indutores 
)()( 1 tKvtv 
)()(
1
)()(
1
)(
01
01
0
0
tidv
L
K
tidKv
L
ti
t
t
t
t







)()(
)(
21 tvtv
tv


 
)()(
1
)(
1
)()()(
1
)(
021
021
00
0
tidv
L
dv
L
tidvv
L
ti
t
t
t
t
t
t







)()(
1
)( 0
0
tidv
L
ti
t
t
  
)()(
1
)( 0
0
tidv
L
ti
t
t
  
ELEMENTO NÃO-LINEAR 
Linear apenas se i(t0) = 0 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 36 
Propriedade da Linearidade 
Capacitores 
)()( 1 tKvtv 
 
)(
)(
)(
)(
1
1
1
tiK
dt
tdv
CK
tKv
dt
d
C
ti




)()(
)(
21 tvtv
tv


 
)()(
)()(
)()(
)()()(
21
21
21
21
titi
dt
tdv
C
dt
tdv
C
dt
tdv
dt
tdv
C
tvtv
dt
d
Cti










dt
dv
Ci 
dt
dv
Ci 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
19 
37 
Propriedade da Linearidade 
Capacitores 
)()( 1 tKiti 
)()(
1
)()(
1
)(
01
01
0
0
tvdi
C
K
tidKi
L
tv
t
t
t
t







)()(
)(
21 titi
ti


 
)()(
1
)(
1
)()()(
1
)(
021
021
00
0
tvdi
C
di
C
tvdii
C
tv
t
t
t
t
t
t







ELEMENTO NÃO-LINEAR 
Linear apenas se v(t0)=0 
)()(
1
)( 0
0
tvdi
C
tv
t
t
  
)()(
1
)( 0
0
tvdi
C
tv
t
t
  
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 38 
Propriedade da Linearidade 
• Resistores 
 Lineares 
 
• Indutores e capacitores 
 Não lineares 
 Podem se comportar como elementos lineares quando 
o Corrente inicial é nula (para indutores) 
o Tensão inicial é nula (para capacitores) 
Conclusão da análise no domínio do tempo 
ATENÇÃO 
A relação potência e tensão (ou corrente) em um resistor não é 
linear, mas sim quadrática 
(p = R.i2 = v2/R) 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
20 
EB 39 
 
Propriedade da Linearidade 
Exemplo 3 
 • Para o circuito a seguir, determine vo quando is = 30 A e is = 45 A. 
V 06
V 04
A 45
A 03




s
s
io
io
v
v
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 40 
 
Princípio da Superposição 
Introdução 
 • Circuitos lineares com duas ou mais fontes independentes 
 A resposta total do circuito é a soma das respostas do 
circuito para cada fonte agindo separadamente 
 
• Dependendo do circuito, pode facilitar a análise de circuitos 
com muitas fontes independentes 
 
• Casos em que vale a pena usar o princípio da superposição 
 Circuitos com fontes independentes de tipos diferentes 
(Ex.: Fontes CA e CC) 
o Para a apresentação do princípio, usaremos apenas 
fontes CC nessa unidade 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
21 
EB 41 
 
Princípio da Superposição 
Analisando efeito das fontes separadamente 
 • Requer a análise do circuito considerando o efeito de uma 
fonte por vez (as demais fontes são desligadas) 
Fontes dependentes não são removidas (ficam intactas) 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 42 
 
Princípio da Superposição 
Passo a passo 
 1) Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. 
2) Encontre a saída do circuito (tensão ou corrente) procurada, 
usando a técnica de análise de circuitos que desejar. 
3) Repita a etapa 1 para cada uma das demais fontes 
independentes. 
4) Encontre a solução geral somando algebricamente as 
contribuições em razão das fontes independentes. 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
23/08/2016 
22 
EB 43 
 
Princípio da Superposição 
Exemplo 4 
 • Use o princípio da superposição para encontrar v no circuito da 
figura a seguir. Em seguida, confirme o resultado usando as leis de 
Kirchhoff (LKT e a LKC). 
V 10 v
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
Universidade de Brasília – UnB 
Departamento de Engenharia Elétrica – ENE 
DÚVIDAS? 
Prof.: Felipe V. Lopes, D. Sc. 
EB 44 Brasília, 2016