FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Operações básicas
Você tinha 18 balas e comprou mais 16 para dividi-las igualmente entre você e um amigo, mas resolveu comer duas balas antes. Então, quantas balas cada um ganhará?
16.
Carla está na fila de atendimento dos caixas de um banco. Sua senha é a de número 17. Sabe-se que há apenas um caixa funcionando que leva, em média, dois minutos para atender o cliente. Assim, defina quantos minutos Carla gastará na fila até ser atendida:
32.
Carlos analisa o custo de uma viagem de carro. Sabe-se que para a distância entre Belo Horizonte e Ouro Preto, um carro, modelo a gasolina, consome 25 litros, e outro, modelo a álcool, consome 38 litros. Considerando que o preço do litro de gasolina é R$3,80, e o preço do litro de álcool é R$2,80, marque a opção CORRETA sobre o custo de cada modelo nesta viagem:
A diferença no custo entre as opções é de R$11,40, sendo o modelo a gasolina mais econômico.
O preço de uma corrida de táxi é calculado a partir de uma taxa fixa, chamada "bandeirada", e uma variável, de acordo com o número de quilômetros rodados. Em Belo Horizonte, a "bandeirada" é R$5,50, o preço por quilômetro rodado é R$1,40 e R$30,00 por hora parada. A partir desses dados, assinale a opção CORRETA:
Em uma corrida de táxi de 8km, o passageiro pagará R$46,70, uma vez que o taxista ficou mais uma hora parado esperando pelo cliente.
Laura foi ao shopping e gastou um total de R$4.000,00. Como forma de pagamento, ela pagou R$800,00 de entrada, e o restante da dívida foi parcelado em cinco prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação?
R$640,00.
Conjuntos numéricos
A teoria dos conjuntos pode ser utilizada tanto na matemática quanto em problemas aplicados, uma vez que os elementos de um conjunto não precisam necessariamente ser números. Independentemente do tipo dos elementos, é muito importante reconhecer as relações de pertinência (entre elemento e conjunto) e de inclusão (entre conjuntos).
Com base no exposto, considere os conjuntos:
Preencha as lacunas com ∈, ∉, ⊂, ⊃ as respectivas preposições a seguir:
i. A __ B
ii. B __ A
iii. 36 __ A
iv. 6 __ B
v. –3 __ C
⊃, ⊂, ∈, ∈, ∉.
No estudo dos conjuntos, como em toda a matemática, é importante estar atentos às notações.
Por exemplo, utilizamos letras latinas maiúsculas para nomear os conjuntos e letras latinas minúsculas para representar os elementos, que devem aparecer entre chaves e separados por vírgula.
Marque a opção que apresenta uma representação correta de conjunto.
T = ｛a, b, c, d｝.
Identificar os elementos pertencentes a um conjunto é muito importante, seja em problemas teóricos ou aplicados, pois a partir dessa identificação é que se pode realizar as relações de pertinência. É importante saber que, para descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas chaves e vírgulas para separar os elementos e que os elementos de um conjunto podem ser objetos de diversas naturezas, inclusive um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Com base no exposto, considere o conjunto A = ｛{1, 2, 3｝, {4, 5}, {6, 7, 8}} e marque a opção correta que lista os elementos de A.
A tem três elementos: os conjuntos ｛1, 2, 3｝, {4, 5} e {6, 7, 8}.
A ideia de conjuntos pode ser utilizada em problemas aplicados em que desejamos analisar as preferências de consumidores em relação a determinados produtos, visando à tomada de decisão. Considere que, em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek, 42 leem Fortune, 45 leem Time, 20 leem Newsweek e Time, 25 leem Newsweek e Fortune, 15 leem Time e Fortune, 8 leem as três revistas, e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas.
Com base nesses dados, o número de pessoas que leem apenas uma revista é:
56.
No estudo da teoria dos conjuntos, algumas operações podem ser definidas, como, por exemplo, a união, a interseção, o complementar e a diferença. A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os elementos de A ou B. A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto formado por elementos que pertencem a ambos. O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que pertencem ao universo U, mas que não pertencem a A. A diferença A – B entre os conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
Diante dessas definições, e conhecendo os conjuntos A =｛x, y, z, w, t｝, B = ｛w, o, u, t, x｝ e C = {o, t, z}, o conjunto {y, z} é resultado de qual operação?
(A ∪ C) – B.
Regra de Três: simples e composta
José está feliz porque recebeu um aumento em seu salário. A partir do próximo mês, receberá R$2.000,00. Antes, o valor que recebia era de R$1.600,00. Qual é o percentual de aumento no salário de José?
25%
Um sistema bancário analisa o grau de endividamento dos clientes para liberar empréstimos. O cliente não deve ter dívidas que superem 30% de sua renda mensal. Determinado cliente tem um financiamento de R$967,58, que representa 13,78% de sua renda mensal. Qual seria o valor máximo da parcela mensal de seu financiamento?
R$2.106,49
Considere que um cliente tem um financiamento de R$850,00, que representa 20% de sua renda mensal. Determine o valor da sua renda mensal.
R$4.250,00
Foi desenvolvido um software que controla o carregamento de grãos. Em 10 horas, o software controla o carregamento de 6.525m³. Em sete horas, qual será o carregamento?
4.567,50 m³
Uma fábrica de processadores possui 12 máquinas automatizadas que produzem aproximadamente 15.850 peças em 4 horas de trabalho. Quantas peças seriam produzidas por 18 máquinas em 6 horas?
35.662,50
Número fracionário e operações com fração
Rosa comeu 1/6 da quantidade de frutas que tinha na fruteira, restando nesta 20 unidades. Quantas frutas havia na fruteira?
24.
Pedrinho disse a seu pai que a sua nota em Matemática é o número cuja soma entre a metade deste e 4 é igual a 9. Qual é a nota de Pedrinho?
10.
Considere que 01 kg de nozes custa R$75,00. Calcule o quanto você pagará por 5/7 de 01 kg de nozes:
R$53,57.
Ana e Maria receberam uma bonificação pelo resultado positivo da empresa que foi de R$50.000,00. Sabe-se que Ana ganhou 2/7 do lucro e Maria 3/5. Marque a alternativa CORRETA:
Maria recebeu mais que o dobro do valor de Ana.
Uma fábrica de sapatos entregará um grande pedido em três etapas. Na primeira etapa, serão entregues 2/5 das unidades do pedido, na segunda etapa será entregue 1/2, e na terceira etapa devem ser entregues 500 unidades. Assim sendo, marque a alternativa CORRETA:
A quantidade de sapatos entregue na terceira etapa representa 1/5 da quantidade entregue na segunda etapa.
Múltiplos e divisores: MDC e MMC
Os números primos são muito úteis no estudo do mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Considerando esse tema da Matemática, a alternativa que apresenta a definição CORRETA e alguns exemplos de números primos é:
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
Ana está estudando sobre múltiplos de um número para aprender, depois, sobre mínimo múltiplo comum. Ajude a Ana a definir o CONJUNTO dos múltiplos do número 6:
M(6) = ｛ 0,6,12,18,24,30,36,...｝
Carlos tem 50 canetas e deseja dividi-las em grupos, de maneira que não sobre nenhuma. Assim, ele precisa encontrar os divisores do número 50 que são:
D(50) = ｛ 1,2,5,10,25,50 ｝
Beatriz pinta seu cabelo de 45 em 45 dias e Sofia pinta de 105 em 105 dias. Hoje, as duas se encontraram no salão, pois têm a mesma cabeleireira. Daqui a quantos dias, Beatriz e Sofia se encontrarão no mesmo salão?
315 dias.
Os múltiplos e divisores de um número são aplicados no estudo do máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC). O MDC e MMC facilitam resoluções de problemas cotidianos de Matemática e suas aplicações. Considerando esses quatros tópicos, todas as afirmações a seguir estão corretas, EXCETO:
O conjunto dos divisores de um número é finito, e o zero é o divisor de todos os números.
Equação do primeiro grau
Carlos está fazendo a compra de materialescolar para seu filho e comprou 03 cadernos e 05 livros. Ele pagou pela compra o valor total de R$380,00. Sabendo que cada caderno custa R$25,00, qual o valor de cada livro?
R$61,00
Paulo juntou o valor de que precisa para pagar a conta mensal da padaria. O saldo devedor é R$89,00, e ele separou 5 notas de R$10,00, 7 de R$5,00 e ainda necessita de notas de R$2,00 para completar o pagamento. Determine quantas notas de R$2,00 Paulo precisará para saldar o valor a pagar.
2
Se somarmos as idades de Antônio e de seu filho Mário, teremos 84 anos. Sabendo-se que a idade do pai é o dobro da idade do filho, qual é a idade de cada um?
Mário tem 28 anos, e Antônio tem 56 anos.
Marta e Ana ganharam de seus pais o valor de R$302,00. No entanto, Marta ficou com o triplo da importância que Ana ganhou. Determine quanto recebeu cada uma.
Ana ganhou R$75,50, e Marta ganhou R$226,50.
José comprou um carro novo, mas como não dispunha do valor total à vista, ele negociou o pagamento do valor total de R$23.500,00 em uma entrada de R$5.500,00 e o restante em 48 parcelas mensais iguais sem juros. Determine o valor de cada uma das prestações mensais que José terá que pagar.
R$375,00
Razão e proporção
No estoque de calças de uma loja, há 40 unidades, sendo 24 masculinas e 16 femininas. Sobre este estoque, marque a opção CORRETA:
 24/40 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
Susan pode correr quatro voltas em 12 minutos e Carolina pode correr duas voltas em 5 minutos. Marque a opção CORRETA sobre a relação entre as duas corredoras:
Carolina gasta 2,5 minutos para cada volta e Susan gasta 3 minutos por volta.
Sandra e Julia estavam correndo ao redor de uma trilha. Quando Sandra completou 9 voltas, Júlia completou 3 voltas. Quando Júlia completou 15 voltas, quantas voltas Sandra completou?
45
Uma pessoa que pesa 80 quilos na Terra pesará 208 quilos no planeta Júpiter. Quanto uma pessoa que pesa 60 quilos na Terra pesará em Júpiter?
156 quilos.
Considere que em uma certa data, no Brasil, você poderia permutar $4,50 dólares por R$2,50. Nessa mesma data, quanto R$17,50 valiam em dólares?
$31,50.
Porcentagem
Carla gastou R$15,00 para preparar um arranjo de flores e o vendeu com o lucro de R$6,00. Determine a porcentagem do lucro de Carla.
40%
Paulo é um revendedor de bolos e compra, cada um, por R$12,00. Ele deseja lucrar 30% na venda. Qual será o lucro unitário, em reais, de Paulo?
R$3,60
A gasolina vendida no Brasil é uma mistura de álcool e gasolina. Considerando que, em um dado galão há 240 litros de gasolina e 60 litros de álcool, calcule a porcentagem de álcool contida na mistura.
20%
Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração variável, uma comissão de 5% sobre os lucros nas vendas realizadas. Se no mês passado as vendas foram de R$60.000,00, com um lucro de 30%, então a comissão de Ana será:
R$900,00.
O casal Lúcia e Antônio recebe de salário, por mês, R$21.500,00. Sabendo que o homem recebe 15% mais que sua esposa, calcule os salários de cada um.
Lúcia ganha R$10.000,00, e Antônio ganha R$11.500,00 por mês.
Função do primeiro grau
O estudo de funções pode ser útil para modelar problemas aplicados a fim de realizar previsões, mas, para isso, é necessário conhecer as características e especificidades de cada tipo de função. Na função de primeiro grau, há dois coeficientes: o linear, que representa a interseção da reta com o eixo y, e o angular, que representa a inclinação da reta.
Com base no exposto, determine os coeficientes angular e linear da reta representada pela função f(x) = 3x + 5.
Coeficiente angular a = 3, coeficiente linear b = 5.
A lei de uma função pode ser usada para determinar o valor da função em um ponto dado. No entanto, na prática, nem sempre se conhece a lei da função, mas dispomos de uma tabela com alguns de seus pontos. A geometria euclidiana demonstra que dois pontos determinam uma única reta, de modo que, dados dois pontos, é possível determinar a equação da reta que passa por ambos.
Assim, determine a função do primeiro grau cujo gráfico passa pelos pontos A(0; –1) e B(1; 2).
y = 3x – 1.
Uma função de primeiro grau pode ser expressa na forma y = ax + b, onde (a) é o coeficiente angular, ou inclinação da reta, e (b) é o coeficiente linear. Sabe-se que, conhecidos os valores dos coeficientes (a) e (b), é possível encontrar a expressão analítica que descreve a função do primeiro grau.
Assim, a função da reta com coeficiente angular 1/2 e interseção com o eixo y igual a –3, é:
y = 1/2(x) – 3.
 Ao trabalhar com a função do primeiro grau, é muito importante saber reconhecer os coeficientes linear e angular a partir da análise de sua expressão analítica. Se ela estiver na forma y = ax + b, tem-se (a) como coeficiente angular e (b) como coeficiente linear. Caso não esteja nessa forma, é preciso isolar o valor de y.
Dessa forma, o coeficiente angular e a interseção com o eixo y da reta cuja equação é x + 2y = 8 são, respectivamente:
−1/2 e 4.
Uma das aplicações da função de primeiro grau é em problemas envolvendo depreciação de bens, ou seja, a sua perda de valor ao longo do tempo.
Considere que um edifício valendo R$ 360.000,00 é depreciado pelo seu proprietário. O valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x. Quanto tempo (em meses) leva para que o edifício seja totalmente depreciado, ou seja, seu valor seja zero?
240.
Função do segundo grau
O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolvermos a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a ________________.
A alternativa que preenche corretamente as lacunas é:
zero, zero.
Há mais de uma maneira de resolver uma equação de segundo grau, como, por exemplo, por fatoração ou por meio da fórmula de Bhaskara. Resolva a seguinte equação por fatoração: x² – 19x = 20.
x = -1; x = 20.
No estudo da função de segundo grau, conhecendo-se a soma e o produto de suas raízes, é possível encontrar a expressão analítica correspondente. Com base no exposto, encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos seja 30 e o produto entre eles seja 230.
x² – 30x + 230 = 0
Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A lei de formação dessa função pode ser escrita conforme:
f(x)= -3x² + x + 5
Considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12. 800cm². Sabendo-se que a largura é o dobro da altura do local, encontre as dimensões da sala.
Largura: 160cm; altura: 80cm.
Função Exponencial
Em situações aplicadas, a função exponencial é utilizada nos casos em que há crescimento ou decrescimento muito rápido da variável dependente; isso ocorre porque a variável independente se encontra no expoente. Nesses casos, o conhecimento da expressão analítica (lei) da função é muito útil, pois, conhecido o valor de uma variável, é possível encontrar o valor da outra.
Com base no exposto, encontre todos os valores de x para que f(x) = 27 na função f(x) = 35x.
3/5.
A função exponencial pode ser utilizada em aplicações em que a variável dependente cresce ou decresce rapidamente, como no caso de depreciação de um bem. Considere que um trator tem seu valor dado pela função V(x) = 125.000 (0,91)x, em que x representa o ano após a compra do trator e V(x) é medido em reais.
Nesse contexto, qual será o valor do trator após 10 anos de sua aquisição?
R$48.677,01.
Uma das aplicações mais conhecidas da função exponencial é no crescimento populacional. Nesse contexto, suponha que o número de bactérias em uma cultura seja dado pela fórmula P(t) = 250⋅3t/4, em que t é medido em dias.
Nessas condições, estime a população de bactérias após 12 dias.
6.750 bactérias.
A análise dos gráficos da função exponencial, tanto da crescente quanto da decrescente, pode ser muito útil na interpretação do fenômeno que está sendo estudado. Assim, por meio deles, podemos identificar domínio, imagem, crescimento, decrescimento einterseção com o eixo y.
Nesse contexto, analisando os gráficos de funções exponenciais y = ax, de crescimento (quando a > 0) e decaimento (quando 0 0 e a ≠ 1.
Um dos principais objetivos do trabalho com modelagem matemática na prática é fazer previsões sobre o comportamento de uma função, visando a uma possível tomada de decisão. No estudo de funções, não apenas a lei da função, mas também a análise do gráfico podem ser utilizadas para a tomada de decisões. E isso pode ocorrer também com a função logarítmica.
Qual das características se aplica ao gráfico da função logarítmica y = logax?
O gráfico da função logarítmica sempre passa pelo ponto (1,0).
Situações envolvendo o sistema de capitalização a juros compostos utilizam uma função exponencial, em que o tempo se encontra no expoente. Nesses casos, quando são conhecidas as demais variáveis e o objetivo é encontrar o valor do tempo do investimento, é necessário lidar com o logaritmo. Considere que o tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação ert = 2, onde r é a taxa unitária e t é o tempo.
Se um investimento rende a uma taxa de 15% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (anos) ele duplicará?
4,6.
Quando algo varia com o expoente, usa-se o logaritmo para expressar essa variação, de modo que esse conceito pode ser utilizado em diversas situações aplicadas. Suponha o seguinte caso: depois que um aluno começou a estudar funções logarítmicas, o número de horas h até que ele se sinta p por cento preparado para realizar a prova pode ser modelado por:
Em quanto tempo esse aluno se sentirá 100% preparado para realizar a prova?
40 horas.
Internal Use
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