Lista Matematica OBMEP (52)

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Desaos
27. Oito dentro de um retângulo – Coloque os números de 1 a 8
dentro dos círculos do retângulo dado, de tal modo que a diferença
entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do
que 1.
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28. Uma estratégia com um número muito grande – Carlos escreveu consecutiva-
mente todos os números de 1 a 60, ou seja,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 · · ·5 7 5 8 5 9 6 0 .
Depois ele riscou 100 algarismos de tal modo que o número formado com os algarismos
que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial em que os
algarismos foram escritos. Qual é esse número?
29. Um número surpreendente – Um certo número surpreendente é divisível por 9,
tem nove algarismos diferentes, nenhum dos quais é igual a 0 e é tal que:
(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2;
(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3;
(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4;
(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5;
(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6;
(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7;
(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8.
Qual é esse número?
30. Qual é o erro? – Uma das armações dadas é falsa:
(a) André é mais velho do que Bruno;
(b) Cláudia é mais nova do que Bruno;
(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;
(d) Claúdia é mais velha do que André.
Quem é o mais velho? E o mais novo?
31. Soma – Neste exercício, as letras representam algarismos. Deter-
mine cada uma das parcelas da soma dada.
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a b c d e f
a b c d e f
g h i j+
d e f h j f
32. Bolinhas – Rogério colocou seis bolinhas sobre a mesa, de modo a
formar dois quadrados, como na gura. Ele percebe que tem mais
uma bolinha. Complete a gura formada pelas bolinhas com essa
bolinha a mais, de tal modo que forme três quadrados.
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110 OBMEP 2010
Desaos
33. Um número que não é divisível por 5 – Determine quais números naturais n
entre 2 001 e 2 007 tornam o número 1n + 2n + 3n + 4n não divisível por 5.
34. Quatro frações e um inteiro – Quantos números naturais a, b, c e d, todos distintos,
existem tais que
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
seja um inteiro?
35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas – O Rei Arthur
teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa foi facilitada
quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, a cada golpe, fazer uma e
somente uma das seguintes coisas:
(a) cortar uma cabeça;
(b) cortar duas cabeças;
(c) cortar uma cauda;
(d) cortar duas caudas.
Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:
(a) se uma cabeça é cortada, cresce uma nova;
(b) se duas cabeças são cortadas, nada mais acontece;
(c) no lugar de uma cauda cortada nascem duas caudas novas;
(d) se duas caudas são cortadas, cresce uma nova cabeça;
(e) o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.
Para matar o dragão, de quantos golpes o Rei Artur vai precisar, no mínimo?
36. O passeio do cavalo – Num tabuleiro de 5×5 casas, um cavaleiro do jogo de xadrez
está na casa marcada com A. Depois ele segue movendo, marcando as casas por onde
passa, como na gura.
A → B → C → D → E → F → G → H
A G
H
B F
D
C E
Partindo da casa H, o cavaleiro se move pelo tabuleiro até ter passado por todas as 25
casas. Descreva o trajeto que ele fez.
37. As faces do cubo – Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces
dos dados permanecem visíveis?
OBMEP 2010 111