Lógica e Conjuntos: Pertinência, Inclusão e Operações

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INTRODUC¸A˜O A LO´GICA
Prof. Isnaldo Isaac
AULA 3
Conteu´do
1 A Lo´gica e os Conjuntos 2
1.1 Pertineˆncia, Inclusa˜o e igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Operac¸a˜o sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 O que e´ um teorema? (Hipo´tese e Tese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Condic¸a˜o necessa´ria e condic¸a˜o suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 A rec´ıproca de uma sentenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Sentenc¸as equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 A Contrapositiva de uma sentenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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1 A Lo´gica e os Conjuntos
1.1 Pertineˆncia, Inclusa˜o e igualdade
Um conjunto e´ formado de objetos, chamados seus elementos. A relac¸a˜o ba´sica entre objeto e
um conjunto e´ a relac¸a˜o de pertineˆncia. Quando um objeto x e´ um dos elementos que compo˜em
o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos
x ∈ A.
Se x na˜o e´ um dos elementos do conjunto A, dizemos que x na˜o pertence a A e escrevemos
x /∈ A.
Um conjunto A fica definido (determinado ou caracterizado) quando se da´ uma regra que
permita decidir se um objeto arbitra´rio x pertence ou na˜o a A.
Exemplo 1 O conjunto dos nu´meros naturais 1, 2, 3, · · · sera´ representado pelo s´ımbolo N. Por-
tanto,
N = {1, 2, 3, · · · } .
Exemplo 2 O conjunto dos nu´meros inteiro (positivos, negativos e o zero) sera´ representado
pelo s´ımbolo Z. Assim,
Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · } .
Exemplo 3 O conjunto Q, dos nu´meros racionais, e´ formado pelas frac¸o˜es p
q
, onde p e q
pertencem a Z, sendo q 6= 0. Em s´ımbolos
Q =
{
p
q
; p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0
}
.
A maioria dos conjuntos em Matema´tica na˜o sa˜o definidos especificando-se, um a um, os
seus elementos. O me´todo mais frequente de definir um conjunto e´ por meio de uma sentec¸a
aberta que torna-se uma sentenc¸a matema´tica verdadeira exclusivamente para os elementos de
um conjunto. Uma sentenc¸a aberta define um conjunto X, assim: se um objeto x torna a
sentenc¸a aberta P uma sentenc¸a verdadeira, enta˜o x ∈ X, caso contra´rio, x /∈ X. Escreve-se
X = {x;P (x) e´ verdadeira } .
Muitas vezes a sentenc¸a aberta P se refere a elementos de conjunto fundamental E. Nesta
caso, escreve-se
X = {x ∈ E;P (x) e´ verdadeira } .
Exemplo 4 Considere a seguinte sentenc¸a aberta: P (x) : x ∈ N;x < 5. Na˜o e´ dif´ıcil ver que
X = {x;P (x) e´ verdadeira } = {x ∈ N;x < 5} = {1, 2, 3, 4} .
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A`s vezes ocorre que nenhum elemento de E torna a sentenc¸a aberta P verdadeira. Neste
caso, o conjunto
{x ∈ E;P (x) e´ verdadeira }
na˜o possui elemento algum. Isto e´ o que se chama um conjunto vazio. Para representa´-lo,
usaremos o s´ımbolo ∅.
Portanto, o conjunto vazio e´ definido assim:
Qualquer que seja x, tem-se x /∈ ∅.
Exemplo 5
{x ∈ Z; 1 < x < 2} = ∅.
Dados os conjuntos A e B, dizemos que A e´ um subconjunto de B quando todo elemento
de A e´ tambe´m elemento de B. Para indicar este fato, usa-se a seguinte notac¸a˜o
A ⊂ B.
Quando A ⊂ B, diz-se que A e´ parte de B, que A esta´ contido em B. A relac¸a˜o A ⊂ B
chama-se relac¸a˜o de inclusa˜o.
Exemplo 6 Os conjuntos nu´mericos N,Z e Q, acima apresentados, cumprem as relac¸a˜o de
inclusa˜o
N ⊂ Z ⊂ Q.
Exemplo 7 Seja X o conjunto de todos os quadrados e Y o conjunto de todos os retaˆngulos.
Como todo quadrado e´ um retaˆngulo, temos que X ⊂ Y.
Quando se escreve X ⊂ Y na˜o esta´ exclu´ıdo a possibilidade de vir a ser X = Y . No
caso em que X ⊂ Y e X 6= Y , diz-se que X e´ uma parte pro´pria ou um subconjunto pro´prio de
Y .
Observac¸a˜o 1 Afirmar que x ∈ X e´ o mesmo que afirmar {x} ⊂ X.
Afim de mostrar que um conjunto X na˜o e´ sunbconjunto de um conjunto Y , deve-se obter
um elemento de X que na˜o pertenc¸a a Y .
Exemplo 8 Na˜o se tem Q ⊂ Z, pois 1
2
∈ Q e 1
2
/∈ Z.
Segue-se da´ı que o conjunto vazio ∅ e´ subconjunto de qualquer conjunto X. Com efeito, se
na˜o fosse ∅ ⊂ X, existiria algum x ∈ ∅ tal que x /∈ X. Como na˜o existe x ∈ ∅, somos obrigados
a admitir que
∅ ⊂ X, seja qual for o conjunto X.
Dado um conjunto X, indica-se com P(X) o conjunto cujos elementos sa˜o as partes de
X. Em outras palavras, afirmar que A ∈ P(X) e´ o mesmo que dizer A ⊂ X. P(X) chama-se o
conjunto das partes de X.
Exemplo 9 Seja X = {1, 2, 3}. Enta˜o
P(X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , X} .
Exerc´ıcio 1 Prove que P(X) nunca e´ vazio.
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1.2 Operac¸a˜o sobre conjuntos
Na aula anterior definimos a reunia˜o e intersec¸a˜o de conjuntos. Mas relebraremos rapidamente
fazendo uso apenas de s´ımbolos. Dados dois conjuntos X e Y . Escrevemos
X ∪ Y = {x; x ∈ X ∨ x ∈ Y }
e
X ∩ Y = {x; x ∈ X ∧ x ∈ Y } .
Uma observac¸a˜o ra´pida nos diz que quaisquer que sejam X e Y conjuntos as proposic¸o˜es
1. X ⊂ X ∪ Y ;
2. Y ⊂ X ∪ Y ;
3. X ∩ Y ⊂ X;
4. X ∩ Y ⊂ Y ;
Exemplo 10 Sejam X = {x ∈ N;x ≤ 10} e Y = {x ∈ N;x > 5} . Enta˜o X ∪Y = N e X ∩Y =
{6, 7, 8, 9, 10} .
Relaciono abaixo as principais propriedades formais das operac¸o˜es de reunia˜o e intersec¸a˜o:
(∪1) X ∪ ∅ = X;
(∪2) X ∪X = X;
(∪3) X ∪ Y = Y ∪X;
(∪4) (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z);
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(∪5) X ∪ Y = X ⇐⇒ Y ⊂ X;
(∪6) X ⊂ Y,X ′ ⊂ Y ′ =⇒ X ∪X ′ ⊂ Y ⊂ Y ′;
(∪7) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z);
(∩1) X ∩ ∅ = ∅;
(∩2) X ∩X = X;
(∩3) X ∩ Y = Y ∩X;
(∩4) (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z);
(∩5) X ∩ Y = X =⇒ X ⊂ Y ;
(∩6) X ⊂ Y,X ′ ⊂ Y ′ =⇒ X ∩X ′ ⊂ Y ∩ Y ′;
(∩7) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
1.3 Contrapositiva
Antes de falarmos da te´cnica de demonstrac¸a˜o Contrapositiva vamos nos deteˆr no signifi-
cado de um teorema.
1.3.1 O que e´ um teorema? (Hipo´tese e Tese)
Na escola, voceˆ ja´ estudou va´rios teoremas, apesar de na˜o termos entrado em detalhes. Acred-
itamos que a palavra teorema na˜o e´ estranha para qualquer pessoa que tenha formac¸a˜o ba´sica
em matema´tica. Os nomes de certos teoremas chegam a ser de conhecimento do pu´blico em
geral, como o de Pita´goras e o de Tales.
A princ´ıpio, um teorema e´ uma sentenc¸a matema´tica condicional ‘Se P , enta˜o Q’ ou im-
plicativa ‘P =⇒ Q’, cuja validade e´ garantida por uma demonstrac¸a˜o. Nesse caso, chama-se
hipo´tese a sentenc¸a P e tese a sentenc¸a Q.
RESUMO Como uma primeira ide´ia, um teorema e´ uma sentenc¸a condicional
Se ‘hipo´tese’, enta˜o ‘tese’,
ou uma sentenc¸a implicativa
‘hipo´tese’=⇒ ‘tese’,
da qual se possui uma demonstrac¸a˜o, que a torna va´lida.
Teorema 1 Se as diagonais de um retaˆngulos se intersectam em aˆngulos reto, enta˜o o retaˆngulo
e´ um quadrado.
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Teorema 2 Todo nu´mero inteiro mu´ltiplo de 5 termina em 0 ou 5.
Se quisermos apresentar esse teorema na forma condicional, e´ preciso reescreveˆ-lo, por
exemplo, como:
Teorema 3 (versa˜o 2 do Teorema 2) Se um nu´mero inteiro for mu´ltiplo de 5, enta˜o ele
termina em 0 ou 5.
Poder´ıamos ainda ter redigido o teorema na forma:
Teorema 4 (versa˜o 3 do Teorema 2) Seja n um nu´mero inteiro. Se n for um mu´ltiplo de
5, enta˜o n termina em 0 ou 5.
Escrito dessa maneira, percebem-se as hipo´tese e a tese do teorema mais claramente:
Hipo´teses:
(i) n e´ um nu´mero inteiro e
(ii) n e´ mu´ltiplo de 5.
Tese
(i) n termina em 0 ou 5.
E´ sempre mais fa´cil identificar a hipo´tese e a tese de um teorema escrevendo-o na forma
condicional ou implicativa. Em qualquer dessas formas, ’Se P , enta˜o Q’ ou ’P =⇒ Q’, a sentenc¸a
P e´ a hipo´tese ou as hipo´teses, se P for constitu´ıda por conjunc¸o˜es de sentenc¸as simples - e a
sentenc¸a Q e´ a tese. Aconselhamos reescrever o teorema em qualquer dessas formas quando a
hipo´tese ou a tese na˜o estiverem claras.
Os leitores tambe´m devem perceber que ao isolarem a hipo´tese ou a tesede um teorema,
escrevendo-os como sentenc¸as, estas podem ficar escritas de forma diferente das que original-
mente aparecem no teorema. Confira as verso˜es apresentadas do teorema 2.
Nosso u´ltimo exemplo de um teorema que na˜o esta´ enunciado na forma condicional e´
particularmente interessante:
Teorema 5 O conjunto dos nu´meros primos e´ infinito.
apresenta-se constitu´ıdo apenas por uma conclusa˜o.
Teorema 6 ((versa˜o 2 do Teorema 5)) Se X for o conjunto dos nu´meros primos, enta˜o X
e´ infinito.
Hipo´tese: X e´ o conjunto dos nu´meros primos
Tese: X e´ infinito
Dos exemplos exibidos, note que a maneira de redigir um teorema depende de uma opc¸a˜o
pessoal. Entretanto, um teorema sempre deve ter um enunciado claro e preciso, no qual as
hipo´teses e a tese fiquem claramente enuciadas.
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1.3.2 Condic¸a˜o necessa´ria e condic¸a˜o suficiente
Vamos agora aprender dois outros estilos de apresentar uma sentenc¸a implicativa ‘P =⇒ Q’,
muito comuns na lo´gica-matema´tica ao se enunciar teoremas:
”‘P e´ (uma) condic¸a˜o suficiente para Q”’,ou ”‘Q e´ (uma) condic¸a˜o necessa´ria para P”’.
Exemplo 11 Uma das duas maneiras com as quais apresentamos o teorema 2 foi
1a versa˜o: Seja n um nu´mero inteiro. Se n for um mu´ltiplo de 5, enta˜o n termina em 0
ou em 5.
Nesse teorema vamos considerar:
P : Um nu´mero inteiro n e´ mu´ltiplo de 5 e
Q: n termina em 0 ou em 5.
Sabemos valer a implicac¸a˜o ‘P =⇒ Q’. Pelo que acabamos de expor, duas outras maneiras
de enunciar esse resultado sa˜o:
2a versa˜o: Um nu´mero inteiro n ser mu´ltiplo de 5 e´ uma condic¸a˜o suficinete para que
ele termine em 0 ou em 5.
3a versa˜o: Um nu´mero inteiro n terminar em 0 ou 5 e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que
el seja mu´ltiplo de 5.
Usando a primeira, a segunda, ou terceira versa˜o, estamos apenas apresentando o mesmo
teorema de maneiras distintas; o que muda e´ unicamente a maneira de enuncia´-lo.
Exemplo 12 Suponha T seja a asserc¸a˜o Pedro e´ terra´queo, e B seja a asserc¸a˜o Pedro e´
brasileiro. Com Pedro e´ brasileiro, e todo brasileiro e´ um terra´queo, conclu´ımos que Pedro e´
terra´queo, logo, B =⇒ T , isto e´ :
1a versa˜o: Pedro e´ brasileiro, implica Pedro e´ terra´queo.
2a versa˜o: Pedro ser brasileiro e´ uma condic¸a˜o suficiente para Pedro ser terra´queo
3a versa˜o: Pedro ser terra´queo e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para Pedro ser brasileiro.
Insistimos que estamos apenas enunciando o mesmo resultado de treˆs maneiras diferentes.
Observe os significados das palavras suficiente e necessa´ria nesse exemplo. Atente que e´
suficiente- e´ bastante - Pedro ser brasileiro para ser terra´queo. Por outro lado, como na˜o ha´
brasileiros que na˜o sa˜o terra´ques, e´ necessa´rio Pedro ser terra´queo para ser brasileiro.
Exemplo 13 Vamos observar as diversas maneiras que um u´nico teorema pode ser apresentada.
Teorema 7 ( 1a versa˜o): Se duas piraˆmides tiverem mesma altura e a´reas das bases
iguais, enta˜o as secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia de seus ve´rtices teˆm a´res iguais.
P : Duas piraˆmides teˆm mesma altura e a´reas das bases iguais
Q: As secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia dos ve´rtices de duas piraˆmides teˆm a´reas
iguais, como P =⇒ Q, podemos reenunciar o teorema das seguintes maneiras:
Teorema 7 ( 2a versa˜o): Duas piraˆmides terem mesma altura e a´reas da base iguais e´
uma condic¸a˜o suficiente para que elas tenham secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia de seus
ve´rtices com a´reas iguais.
Teorema 7 ( 3a versa˜o): As secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia dos ve´rtices de
duas piraˆmides terem a´res iguais e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que ela tenham mesma altura
e a´reas das bases iguais.
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Teorema 7 ( 4a versa˜o): Uma condic¸a˜o necessa´ria para que duas piraˆmides tenham
mesma altura e a´reas das bases iguais e´ que as secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia de seus
ve´rtices tenham a´reas iguais.
Teorema 7 ( 5a versa˜o): Uma condic¸a˜o suficiente para que duas piraˆmides tenham
secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia de seus ve´rtices com a´reas iguais e´ que elas tenham
mesma altura e a´reas das bases iguais.
Observac¸a˜o final Ainda tem-se as seguintes opc¸o˜es, na˜o ta˜o usuais, de ler a implicac¸a˜o
‘P =⇒ Q.
1. P somente se Q;
2. Se P for verdadeira, enta˜o Q sera´ verdadeira;
3. Se P for va´lida, enta˜o Q sera´ va´lida;
4. Q e´ implicada por P ;
5. Q segue de P .
1.3.3 A rec´ıproca de uma sentenc¸a
A rec´ıproca de uma sentenc¸a implicativa ‘P =⇒ Q’ e´ definida como a sentenc¸a ‘Q =⇒ P ’. No
caso de uma sentenc¸a condicional ‘Se P , enta˜o Q’, sua rec´ıproca e´ definida como a sentenc¸a ‘Se
Q, enta˜o P ’.
Exemplo 14 Pedro e´ terra´queo implica Pedro e´ brasileiro.
Exemplo 15 Todo nu´mero inteiro que termina em 0 ou 5e´ mu´ltiplo de 5.
Observac¸a˜o importante: Se uma sentenc¸a e´ verdeira, o valor lo´gico de sua rec´ıproca pode ser
falso ou verdadeiro; o mesmo ocorre quando o valor lo´gico da sentenc¸a for falso. Em resumo, os
valores lo´gicos de uma sentenc¸a e de sua rec´ıproca sa˜o independentes, como voceˆ pode comec¸ar
a comprovar com os exemplos a seguir.
No exemplo 14, acima, se chamarmos T : ‘Pedro e´ terra´queo’ e B: ‘Pedro e´ brasileiro’ temos
‘B =⇒ T ’, mas ‘T 6=⇒ B’, pois, evidentemente, existem terra´queos que na˜o sa˜o brasileiros; nesse
caso, diz se que ‘ser brasileiro’ e´ uma condic¸a˜o suficiente, mas na˜o necessa´ria para Pedro
ser terra´queo. Ainda nesse caso, podemos dizer que ‘ser terra´queo’ e´ uma condic¸a˜o necessa´ria,
mas na˜o suficiente para Pedro ser brasileiro.
1.3.4 Sentenc¸as equivalentes
E quando vale a rec´ıproca de uma sentenc¸a?
Se tivermos duas proposic¸o˜es P e Q, tais que’P =⇒ Q’e simultaneamente, sua rec´ıproca
’Q =⇒ P ’ sejam va´lidas, dizemos
”(A sentenc¸a) P (vale) se, e somente se (sentenc¸a) Q (vale)”ou
”(A sentenc¸a) P e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para (a sentenc¸a) Q”ou ainda
”(A sentenc¸a) P e´ equivalente a (sentenc¸a) Q”
Nesse caso, e´ natural usarmos o s´ımbolo ’P ⇐⇒ Q’ da seguinte maneira:
1. Se P , enta˜o Q, e reciprocamente.
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2. Se P for va´lida, enta˜o Q sera´ va´lida, e reciprocamente.
Acrescentando as palavras e reciprocamente ao final da frase, seguem-se todas as maneiras
de se ler uma implicac¸a˜o.
Exemplo de sentenc¸as equivalentes enunciadas de maneiras diferentes:
Exemplo 16 Dois nu´meros complexos sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o
ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0
se, e somente se, um deles for
−b+√b2 − 4ac
2a
e o outro for
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Usando os termos condic¸a˜o necessa´ria e suficiente:
Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que dois nu´meros complexos sejam ra´ızes da
equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, A 6= 0, e´ que um deles seja
−b+√b2 − 4ac
2a
e o outro seja
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Usando linguagem de conjuntos:
Se R ={ra´ızes complexas da equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0} e
S =
{−b+√b2 − 4ac
2a
,
−b−√b2 − 4ac
2a
}
, enta˜o S = R.
(Observe valerem as incluso˜es S ⊂ R e R ⊂ S)
Usando o termo equivalentes:
As condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalente:
(i) Dois nu´meros complexos x1 e x2 sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o ax
2+bx+c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0;
(ii) Um dos nu´meros complexos x1 ou x2 e´ igual a
−b+√b2 − 4ac
2a
, e o outro e´ igual a
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Usando mais s´ımbolos:
Os nu´meros complexos x1 e x2 sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o
ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0⇐⇒
um deles for
−b+√b2 − 4ac
2a
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e o outro for
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Exemplo 17 Em vez de enunciar:
Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um raio de um c´ırculo seja perpendicu-
lar a uma corda (que na˜o e´ um diaˆmetro) e´ que ele a divida em dois segmentos congruentes,
poder´ıamos ter escrito:
Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um raio de um c´ırculo divida uma corda
(que na˜o e´ um diaˆmetro) em dois segmentos congruentese´ que ele seja perpendicular a essa
corda, ou ainda:
Um raio e´ perpendicular a uma corda (que na˜o e´ um diaˆmetro) de um c´ırculo se, somente
se, ele a dividir em dois segmentos congruentes.
1.3.5 A Contrapositiva de uma sentenc¸a
Um exemplo cla´ssico de Contrapositiva e´ a seguinte proposic¸a˜o:
(n e´ ı´mpar ⇒ n2 e´ ı´mpar) (∗)⇒ (n2 e´ par n e´ par)
Se chamarmos as proposic¸o˜es
H : n2 e´ par e T : n e´ par,
as negac¸o˜es dessas sentenc¸as sa˜o, respectivamente,
¬H : n2 e´ ı´mpar e ¬T : n e´ ı´mpar.
Dessa forma, a implicac¸a˜o(*) torna-se
(¬T ⇒ ¬H)⇒ (H ⇒ T ).
E´ simples provar que tanto a implicac¸a˜o (**), como sua rec´ıproca, sa˜o ambas va´lidas, e
que esse fato e´ verdadeiro para quaisquer sentenc¸as H e T .Ou seja, vale o
PRINCI´PIO DA CONTRAPOSITIVIDADE:
Para quisquer duas sentenc¸as H e T tem-se
(H ⇒ T )⇔ (¬T ⇒ ¬H).
A sentenc¸a ¬T ⇒ ¬H e´ chamada contapositiva da sentenc¸a H ⇒ T .
Pelo Princ´ıpio da Contrapositividade, como uma sentenc¸a implicativa e´ equivalente a` sua
contrapositiva, a implicac¸a˜o H ⇒ T sera´ valida se, e somente se, sua contrapositiva ¬T ⇒ ¬H
for va´lida. Logo, se demonstrarmos ¬T ⇒ ¬H, temos assegurada a validade de H ⇒ T , e
reciprocamente.
Semelhante, definimos ‘Se ¬T , enta˜o ¬H como a contrapositiva da sentenc¸a condi-
cional ‘Se H, enta˜o T , e segue-se a equivaleˆncia
(Se H enta˜o T )⇔(Se ¬T , enta˜o ¬H)
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Conve´m observar que, a`s vezes, e´ mais fa´cil, ou mais conviniente, provar a contrapositiva
de uma sentenc¸a do que provar a pro´pria sentenc¸a (vamos dar um exemplo desse a seguir).
Ao demonstrar uma sentenc¸a provando sua contrapositiva, estamos utilizando o chamado
me´todo de demonstrac¸a˜o usando a contrapositiva. Esse e´ um outro me´todo de demon-
strac¸a˜o indireta, ja´ que provar ‘H ⇒ T ’, reduz-se a provar a implicac¸a˜o ‘∼T ⇒∼ H’.
Exemplo 18 Um caso no qual provar a contrapositiva e´ mais conviniente do que provar a
pro´pria sentenc¸a
Provemos o seguinte resultado sobre nu´meros reais, bastante usado na Ana´lise Real:
Se a ≥ 0 e a < �, ∀� > 0, enta˜o a = 0.
Ora, a contrapositiva dessa proposic¸a˜o e´
Se a 6= 0 enta˜o a < 0 ou existe um nu´mero �0 > 0, tal que a ≥ �0 > 0,
e provar essa contrapositiva e´ muito simples:
De fato, como a 6= 0, temos a < 0 ou a > 0. Caso a < 0, chegamos a` tese, e , portanto,
a demonstrac¸a˜o esta´ encerrada. Caso a > 0, basta considerar �0 =
a
2
> 0, que temos a ≥ �0,
como quer´ıamos demonstrar.
Pertinentimente, algue´m poderia perguntar: em vez de apresentar a sentenc¸a, por que na˜o
se apresenta sua contrapositiva, ja´ que e´ ela que vai ser demonstrada? Nesse caso, a apresentac¸a˜o
da sentenc¸a em sua forma original e´ mais u´til e, muitas vezes, tem uma forma mais ”‘agrada´vel”’
de ser apresentada do que a da sua contrapositiva.
Observac¸a˜o: note que o me´todo de demonstrac¸a˜o de uma sentenc¸a implicativa H ⇒ T ,
usando a contrapositiva, e´ um me´todo de reduc¸a˜o a um absurdo, no qual o absurdo e´ H ∧ (¬H).
Com o me´todo de demonstrac¸a˜o utilizando a contrapositiva, encerra-se o estudo dos tipos
de demonstrac¸a˜o.
A seguir, apresentaremos um resumo muito importante.
Ha´ treˆs maneiras de provar uma sentenc¸a condicional da forma:
‘Se H, enta˜o T ’, onde H representa a hipo´tese e T a tese:
1. Demonstrac¸a˜o direta:
Considera-se H e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, se deduz T ;
2. Demonstrac¸a˜o indireta por contradic¸a˜o ou por (reduc¸a˜o a um) absurdo:
Considera-se H e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, supondo-se ¬T , se deduz
alguma contradic¸a˜o (absurdo);
3. Demonstrac¸a˜o da Contrapositiva de H ⇒ T (uma maneira indireta de se provar uma
implicac¸a˜o, tambe´m por reduc¸a˜o a um absurdo):
Considera-se ¬T e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, se deduz ¬H.
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E´ poss´ıvel demonstra um mesmo resultado utilizando cada uma dessas te´cnicas de demon-
strac¸a˜o. Recomenda-se que as demonstrac¸o˜es indiretas so´ sejam usadas como u´ltimo recurso.
Como ilustrac¸a˜o, vamos provar o seguinte resultado, bastante simples, usando cada um
desses treˆs me´todos:
Se 2x2 + x− 1 = 0, enta˜o x < 1.
Demonstrac¸a˜o 1 (demonstrac¸a˜o direta):
Usando a fo´rmula da resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o do segundo grau, encontra-se diretamente
as ra´ızes x1 = −1 e x2 = 1
2
. Portanto, ambas sa˜o menores do que 1. C.Q.D.
Demonstarc¸a˜o 2(Demonstrac¸a˜o indireta, usando contradic¸a˜o, em que a con-
tradic¸a˜o na˜o e´ a negac¸a˜o da hipo´tese):
Suponha 2x2 + x − 1 = 0 e x ≥ 1. Logo, se x ≥ 1, enta˜o 1 − x ≤ 0 e 2x2 > 0.Mas
dessas desigualdades, usando novamente a hipo´tese, ter´ıamos 0 < 2x2 = 1− x ≤ 0, o que e´ uma
contradic¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o 3 (Demonstrac¸a˜o da contrapositiva):
Demonstraremos que, se x ≥ 1, enta˜o 2x2 + x− 1 6= 0.De fato, se x ≥ 1, temos x− 1 ≥ 0
e 2x2 > 0. Somando essas duas desigualdades, encontramos 2x2 + x − 1 > 0, o que significa
2x2 + x− 1 6= 0. C.Q.D
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