Aula -6 Matematica aplicada à prova pericial

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AULA 6 
MATEMÁTICA APLICADA À 
PROVA PERICIAL 
Prof. Nelson Castanheira 
 
 
2 
TEMA 1 – RETORNO SOBRE INVESTIMENTO 
Quando uma empresa deseja saber se um investimento é viável ou não, 
um dos indicadores que poderá utilizar é o ROI (do inglês Return On Investment), 
pela fórmula: 
 ROI = Receita – Custos . 100 
 Custos 
 O termo receita, na fórmula, refere-se à receita líquida correspondente ao 
investimento que se deseja fazer. O termo custos refere-se aos custos do 
investimento. 
 Vamos analisar um exemplo. 
 Uma empresa está em dúvida se deve adquirir um equipamento cujo custo 
à vista é de R$ 482.700,00. Esse equipamento terá uma vida útil estimada em 8 
anos. O lucro líquido anual estimado, proporcionado por esse equipamento, é de 
R$ 100.000,00. Qual é o ROI desse investimento? 
 Lembrar que a receita total será de 8 vezes R$ 100.000,00, pois a vida útil 
do equipamento é de 8 anos. 
 ROI = 800000 – 482700 . 100 
 482700 
 ROI = 0,6573 . 100 
 ROI = 65,73% 
 Esse será o retorno sobre o investimento, sobre o qual a empresa deverá 
decidir se investe ou não no equipamento. 
TEMA 2 – TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) 
Segundo Castanheira e Serenato (2014, p. 121), devido ao fato de o capital 
ser escasso, o sistema de oferta e procura da economia fornece um preço para o 
seu uso. Ou seja, mesmo quando utilizado pelo seu próprio dono, o capital 
apresenta um custo: o custo da oportunidade perdida. Ou seja, para um 
investimento ser atrativo, ele deve render mais que as oportunidades de 
investimento perdidas por causa dele. 
 Assim, precisamos determinar uma taxa de rentabilidade que represente a 
melhor aplicação. Essa taxa é a denominada Taxa Mínima de Atratividade (TMA). 
Ricardo_Frantz
Highlight
 
 
3 
 Resumindo, a TMA é o mínimo que um investidor está disposto a ganhar 
para fazer um investimento ou é o máximo que uma pessoa ou uma empresa está 
disposta a pagar para fazer um investimento. 
TEMA 3 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
Quando uma empresa está em dúvida quanto a determinado investimento, 
ela precisa estimar a rentabilidade dele, calcular o valor presente líquido, tendo 
como taxa de desconto a TMA e somente então tomar a decisão. Quando o VPL 
for igual ou maior que zero, o investimento é bom. Caso contrário, não deverá ser 
feito. 
 Como devemos calcular o VPL? 
 Deveremos trazer ao dia zero cada um dos valores futuros que 
representam o rendimento, período a período, do investimento que a empresa 
deseja fazer. A seguir, deveremos somar todos esses valores presentes e, do 
somatório, subtrair o valor do investimento. Quando o VPL for zero ou positivo, o 
investimento será um bom negócio. Quando o VPL for negativo, o investimento 
será um mau negócio. 
 Assim, para a determinação do VPL, utilizamos a seguinte fórmula: 
 VPL = M1 + M2 + M3 + ... + Mn – C 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 + ... + (1 + i)n 
onde: 
 i é a TMA 
 C é o capital a ser investido 
 Vamos analisar um exemplo: 
 Uma empresa de transportes está em dúvida se deve adquirir uma frota de 
caminhões cujo valor unitário é de R$ 237.450,00. A empresa sabe que cada 
caminhão, pelos contratos existentes e pela projeção dos contratos futuros, 
proporciona um rendimento anual líquido, conforme dados a seguir: no primeiro 
ano, R$ 58.000,00; no segundo ano, R$ 62.300,00; no terceiro ano, R$ 66.450,00; 
no quarto ano, R$ 69.000,00; e no quinto ano, R$ 71.900,00. A empresa utiliza 
seus caminhões no máximo por cinco anos e, após esse tempo, os coloca à 
venda. Estima-se que o caminhão, daqui a cinco anos, poderá ser vendido por R$ 
40.000,00. Considerando uma taxa mínima de atratividade de 16% ao ano, é 
preciso verificar se esse investimento deve ser feito. 
 
 
4 
VPL = 58000 + 62300 + 66450 + 69000 + 111900 – 
237450 
 (1 + 0,16)1 (1 + 0,16)2 (1 + 0,16)3 (1 + 0,16)4 (1 + 0,16)5 
VPL = 50000 + 46299,05 + 42571,70 + 38108,09 + 53277,05 – 237450 
VPL = 230255,89 – 237450 
VPL = –7194,11 
Como o VPL é negativo, esse investimento não será um bom negócio. A 
empresa deverá optar por outro caminhão. Isso porque, se o VPL é negativo, as 
despesas serão maiores que as receitas. 
Vamos analisar outro exemplo. 
Um investimento irá remunerar o capital de R$ 200.000,00, aplicado por 8 
meses, conforme tabela a seguir: 
Meses Capital Rendimento Montante 
0 200.000,00 
1 2.000,00 202.000,00 
2 2.020,00 204.020,00 
3 2.040,60 206.060,20 
4 2.060,60 208.120,80 
5 2.081,21 210.202,01 
6 2.102,02 212.304,03 
7 2.123,04 214.427,07 
8 2.144,27 216.571,34 
 
 Considerando o risco dos papéis nos quais o investidor irá investir, iremos 
considerar que a taxa mínima de atratividade é igual a 13% ao ano. Esse 
investimento deverá ser feito? 
 Vamos primeiramente calcular a taxa mensal equivalente a 13% ao ano. 
 iq = (1 + it)q/t – 1 
 iq = (1 + 0,13)1/12 – 1 
 iq = (1,13)0,083333 – 1 
 iq = 0,010236 
 iq = 1,023684% a. m. 
 Vamos agora calcular o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 por 
8 meses a uma taxa de 1,023684% ao mês. 
 M = 200000 . (1 + 0,01023684)8 
 M = 216.977,95 
 Como o investimento que será remunerado conforme tabela anterior, 
resultará num montante menor que R$ 216.977,95. Assim, o investimento não 
deverá ser feito, pois não é atrativo. 
 
 
5 
TEMA 4 – TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
Segundo Castanheira e Serenato (2014, p. 115), “Taxa de retorno ou taxa 
interna de um fluxo de caixa é a taxa de juros compostos (taxa de desconto) que 
anula o seu valor atual, sendo necessário observar ao valor algébrico das suas 
parcelas”. Em outras palavras, a TIR é a taxa que irá igualar o fluxo de caixa 
antecipado para o valor de um investimento, ou seja, é a taxa que, uma vez 
utilizada para trazer, ao dia, zero cada valor futuro de um fluxo de caixa, o VPL 
será igual a zero. 
 Ou seja, ao representarmos um fluxo de caixa, deveremos lembrar que os 
recebimentos têm sinal positivo e os pagamentos têm sinal negativo. 
 Para a determinação da TIR, há o processo com a utilização de fórmula ou 
a utilização de uma calculadora financeira. Nesse caso, recomendamos sempre o 
uso da calculadora financeira, pois o processo com utilização de fórmula é muito 
demorado. 
 Por que demorado? Porque é um processo de tentativa e erro denominado 
de interpolação linear, no qual a determinação da taxa exata de retorno é bastante 
trabalhosa. Adota-se, então, um valor aproximado entre duas taxas de juros que 
delimitam o valor procurado. 
 Com a utilização de uma calculadora financeira, entretanto, a determinação 
da taxa exata de retorno é obtida em alguns segundos. 
 Como proceder? 
 Vamos analisar um exemplo. 
Suponhamos um financiamento de R$ 28.000,00 que será pago em 4 
parcelas mensais, conforme fluxo de caixa a seguir. Qual é a TIR desse 
investimento? 
 28.000 
 
 1 2 3 4 
 0 n 
(meses) 
 
 8.000 7.000 10.000 6.000 
 
RESOLUÇÃO pela calculadora financeira HP12c: 
 
 
6 
 f REG 
 28000 g CFo 
 8000 CHS g CFj 
 7000 CHS g CFj 
 10000 CHS g CFj 
 6000 CHS g CFj 
 f IRR (4,282084% a. m.) 
 
 Para comprovarmos que essa é a taxa interna de retorno, vamos trazer ao 
dia zero cada valor futuro e verificar se o seu somatório anula o valor presente. 
28000 = 8000 + 7000 + 10000 + 6000 
 (1+0,04282084)1 (1+0,04282084)2 (1+0,04282084)3 
(1+0,04282084)4 
 
28000 = 8000 + 7000 + 10000 + 6000 
 1,04282084 1,0874753 1,13404191 1,18260254 
 
28000 = 7671,499929 + 6436,927809 + 8818,016258 + 5073,55582 
 
28000 = 28000, como queríamos demonstrar. 
 
 Vamos analisar outro exemplo. 
 Um equipamentofoi adquirido por meio de uma operação de Crédito Direto 
ao Consumidor. Tal equipamento custa, à vista, R$ 37.429,71 e foi adquirido com 
o pagamento de 5 parcelas mensais, sendo que a primeira venceu um mês após 
a compra. O fluxo de caixa a seguir representa essa operação. Desejamos saber 
qual foi a taxa interna de retorno dessa operação. 
 37.429,71 
 
 1 2 3 4 5 
 0 n 
(meses) 
 
 8.000 7.000 9.000 6.000 10.000 
 
 
 
7 
RESOLUÇÃO pela calculadora financeira HP12c: 
 f REG 
 37429.71 g CFo 
 8000 CHS g CFj 
 7000 CHS g CFj 
 9000 CHS g CFj 
 6000 CHS g CFj 
 10000 CHS g CFj 
 f IRR (2,20% a. m.) 
 
 Para comprovarmos que essa é a taxa interna de retorno, vamos trazer ao 
dia zero cada valor futuro e verificar se o seu somatório anula o valor presente. 
37429,71 = 8000 + 7000 + 9000 + 6000 + 10000 
 (1 + 0,022)1 (1 + 0,022)2 (1 + 0,022)3 (1 + 0,022)4 (1 + 0,022)5 
 
37429,71 = 8000 + 7000 + 9000 + 6000 + 10000 
 1,022 1,044484 1,067463 1,090947 1,114948 
 
37429,71 = 7827,78865 + 6701,873844 + 8431,205578 + 5499,808882 + 
8969,02815 
 
37429,71 = 37.429,71, como queríamos demonstrar. 
 
 Quando a TIR de um investimento for maior que a TMA, esse investimento 
é muito bom e deverá ser feito. Quando a TIR de um investimento for menor que 
a TMA, esse investimento deverá ser rejeitado. E quando a TIR for igual à TMA? 
Como proceder? Nesse caso, a empresa deverá analisar todos os riscos 
envolvidos no investimento antes de tomar a decisão de investir ou não. 
 Vamos agora resolver um problema que envolve os conceitos de Taxa 
Interna de Retorno e Taxa Mínima de Atratividade. 
 Um investidor está em dúvida quanto a qual projeto escolher dentre 4 que 
foram propostos, para um investimento de R$ 100.000,00. Ele considera 10% ao 
ano a Taxa Mínima de Atratividade e os 4 projetos apresentam a seguinte projeção 
de retorno, ano a ano: 
 
 
 
8 
ANO Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
0 – 120.000,00 – 120.000,00 – 120.000,00 – 120.000,00 
1 20.000,00 20.000,00 25.000,00 20.000,00 
2 20.000,00 25.000,00 25.000,00 20.000,00 
3 25.000,00 20.000,00 25.000,00 20.000,00 
4 25.000,00 25.000,00 25.000,00 20.000,00 
5 20.000,00 20.000,00 20.000,00 25.000,00 
6 20.000,00 25.000,00 20.000,00 25.000,00 
7 25.000,00 20.000,00 20.000,00 25.000,00 
8 25.000,00 25.000,00 20.000,00 25.000,00 
TIR 
 
 Vamos calcular a Taxa Interna de Retorno de cada um dos 4 projetos. 
 Resolução pela calculadora financeira HP12c: 
 Projeto A 
 f REG 
 120000 CHS g CFo 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 f IRR (9,7251% a. a.) 
 
 Projeto B 
 120000 CHS g CFo 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 f IRR (9,8646% a. a.) 
 
 
 
9 
 Projeto C 
 120000 CHS g CFo 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 f IRR (10,6129% a. a.) 
 
 Projeto D 
 120000 CHS g CFo 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 20000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 25000 g CFj 
 f IRR (9,4599% a. a.) 
 
 Como o investidor aceita uma taxa mínima de 10% ao ano e o projeto C 
apresenta uma taxa de retorno de 10,6129% ao ano, é esse o projeto a ser 
escolhido. 
TEMA 5 – DEPRECIAÇÃO 
Conforme Bauer (2008), depreciação “é a desvalorização dos bens da 
empresa, que perdem valor com o passar do tempo, os quais são denominados 
de bens depreciáveis”. 
 Observe que um bem pode ser depreciado pelo uso, pelo envelhecimento, 
pela obsolescência, dentre outros fatores. 
 
 
10 
 Quando um bem, após certo tempo de uso, ainda pode ser vendido por um 
valor que reverta para o caixa da empresa, esse valor chama-se valor residual. 
Há casos em que o valor residual é zero. 
 A depreciação real é difícil de ser calculada. Mas a depreciação teórica 
pode ser determinada pelo uso de fórmulas. 
 Há dois métodos principais para o cálculo da depreciação: o chamado 
método linear e o chamado método da taxa constante. 
5.1 Depreciação pelo método linear 
 A fórmula a utilizar é: 
 DL = C – M 
 n 
onde: 
 DL = depreciação linear 
 C = valor de compra do bem 
 M = valor residual do bem 
n = vida útil do bem 
 
 Para o entendimento do cálculo da depreciação pelo método linear, vamos 
a um exemplo. 
 Suponhamos um veículo que custa à vista R$ 40.000,00 e que será 
utilizado como taxi, cuja vida útil é de 5 anos. Com 5 anos de uso, seu valor é de 
R$ 16.000,00. 
Qual é a depreciação ano a ano desse veículo? 
 DL = 40000 – 16000 
 5 
 DL = 4.800,00 
 Ou seja, a depreciação do veículo é de R$ 4.800,00 ao ano. 
 Temos então: 
Ano Depreciação Valor do veículo 
0 40.000,00 
1 4.800,00 35.200,00 
2 4.800,00 30.400,00 
3 4.800,00 25.600,00 
4 4.800,00 20.800,00 
5 4.800,00 16.000,00 
 
 
 
11 
5.2 Depreciação pelo método da taxa constante 
 A fórmula a utilizar é: 
 (1 – i)n = M 
 C 
Em que: 
 i = taxa constante de depreciação 
 C = valor de compra do bem 
 M = valor residual do bem 
 n = vida útil do bem 
 
 Para o entendimento do cálculo da depreciação pelo método linear, vamos 
a um exemplo. 
 Suponhamos um veículo que custa à vista R$ 40.000,00 e que será 
utilizado como taxi, cuja vida útil é de 5 anos. Com 5 anos de uso, seu valor é de 
R$ 16.000,00. 
Qual é a depreciação ano a ano desse veículo? 
(1 – i)5 = 16000 
 40000 
(1 – i)5 = 0,40 
(1 – i) = (0,40)1/5 
(1 – i) = 0,832553 
i = 1 – 0,832553 
i = 0,167447% ao ano 
 
Temos então: 
Ano Depreciação Valor do veículo 
0 40.000,00 
1 6.697,88 33.302,12 
2 5.576,34 27.725,78 
3 4.642,60 23.083,18 
4 3.865,21 19.217,98 
5 3.217,98 16.000,00 
 
 
 
 
12 
5.3 Exercícios de revisão (respostas ao final deste documento) 
1. Uma empresa está em dúvida se deve adquirir um equipamento cujo custo à 
vista de R$ 235.800,00, equipamento esse que terá vida útil estimada em 5 
anos. O lucro líquido anual estimado proporcionado por esse equipamento é de 
R$ 90.000,00. Qual o ROI desse investimento? Dê a resposta com duas casas 
após a vírgula. 
2. Uma empresa de locação de computadores está em dúvida na aquisição de 
máquinas que custam, completas, R$ 2.980,00 e cuja vida útil é de 4 anos. 
Essa empresa espera ter um lucro líquido, por computador locado, de R$ 
1.200,00 no primeiro ano, R$ 1.300,00 no segundo ano, R$ 1.400,00 no terceiro 
ano e R$ 1.500,00 no quarto ano. Considerando o valor residual igual a zero e 
que a empresa trabalha com uma Taxa mínima de Atratividade de 20% ao ano, 
ela deve adquirir as máquinas? Se sim, por que? Se não, por que? 
3. Um torno custa, à vista R$ 1.000.000,00 e deverá ser adquirido por uma 
metalúrgica que espera uma Taxa Mínima de Atratividade de 25% ao ano. Esse 
torno deverá ter vida útil de 6 anos e o seu valor residual está estimado em R$ 
200.000,00. A metalúrgica espera obter de lucro líquido, ano a ano, os 
seguintes valores: 
 Ano 1 = R$ 300.000,00 
 Ano 2 = R$ 300.000,00 
 Ano 3 = R$ 300.000,00 
 Ano 4 = R$ 320.000,00 
 Ano 5 = R$ 320.000,00 
 Ano 6 = R$ 320.000,00 
 
A metalúrgica deverá investir nesse torno? Se sim, por que? Se não, por 
que? 
4. Suponhamos um financiamento de R$ 87.000,00 que será pago em 4 parcelas 
mensais conforme fluxo de caixa a seguir. 
 87.000 
 
 1 2 3 4 
 0 n 
(meses) 
 
 28.000 17.000 30.000 21.000 
 
 
13 
 Qual foi a taxa interna de retorno dessa operação?Dê a resposta com 4 
casas após a vírgula. 
5. Verifique a viabilidade do investimento representado no fluxo de caixa a seguir, 
para uma taxa mínima de atratividade de 2,5% ao ano. 
 
Ano Valor 
0 – 54.000,00 
1 8.000,00 
2 10.000,00 
3 0 
4 5.000,00 
5 9.000,00 
6 12.000,00 
7 6.000,00 
8 10.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
REFERÊNCIAS 
BAUER, U. R. Matématica financeira fundamental. São Paulo: Atlas, 2008 
CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira e análise 
financeira – para todos os níveis. 3. ed. Curitiba: Juruá, 2014. 
 
 
 
 
 
15 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO (DA AULA 1 ATÉ A AULA 6) 
Aula 1: Juros 
1. i = 2,5% a. m. 
2. i = 15,9693% a. s. 
3. M = 24.048,00 
4. M = 25.072,05 
5. C = 10.000,00 
6. M = 28.563,96 
7. M = 49.955,00 
8. M = 49.957,45 
9. c 
10. a 
11. b 
12. d 
Aula 2: Rendas 
1. C = 675,27 
2. p = 2.887,70 
3. i = 2% a. m. 
4. p = 1.076,28 
5. C = 2.172,50 
Aula 3: Termos utilizados no mundo dos negócios financeiros 
1. b 
2. d 
3. b 
4. c 
5. a 
Aula 4: Partilha de recursos, leasing e debêntures 
1. b 
2. a 
3. d 
4. c 
5. a 
 
 
16 
Aula 5: Sistemas de amortização 
1. J = 10.800,00 
2. p = 52.889,16 (constante) 
3. p1 = 55.250,00 ; p2 = 54.812,50 ; p3 = 54.375.00 ; p4 = 53.937,50 ; p5 = 
53.500,00 ; p6 = 53.062,50 ; p7 = 52.625,00 ; p8 = 52.187,50 ; p9 = 51.750,00 ; 
p10 = 51.312,50 ; p11 = 50.437,50 ; p12 = 50.000,00 
4. p = 55.250,00 (constante) ; saldo residual = 20.329,71 
5. p1 a p12 = 29.250,00 ; p13 a p24 = 28.333,80 ; p25 = 27.587,30 
Aula 6: VPL, TIR 
1. ROI = 90,84% 
2. Sim, deve investir porque o VPL é positivo (igual a 456,35); portanto, a taxa 
interna de retorno é maior que TMA 
3. Não deve investir porque VPL é negativo (– 42.155,52); portanto, a taxa interna 
de retorno é menor que a TMA 
4. TIR = 4,1296% a. m. 
5. Não é viável pois a TIR é igual a 2,2580% ao ano, ou seja, menor que TMA que 
é de 2,5% ao ano.