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Sistemas de Representação Tridimensional
Profa. Tercia Valfridia
Curso Design
Notas de Aula: Tangência e Concordância
TANGÊNCIA
Tangente é a linha que tem um só ponto de contato com a circunferência, quando uma distância ao 
centro é igual ao raio.
Construções Geométricas
1_ Dada a circunferência, traçar a tangente por um ponto dado na curva.
Procedimento:
i. unir com uma reta o ponto O com o ponto T e prolongar;
ii. Pelo ponto T, traçar uma perpendicular, que já é a solução do problema.
Observação:
O ponto de tangência entre a reta e uma circunferência é sempre perpendicular ao raio da mesma.
2_ Dados uma circunferência e um ponto, traçar uma ou duas tangentes à circunferência, por um ponto 
dado fora da curva.
Procedimento:
i. Achar a mediatriz de OP, determinando M;
ii. Com centro em M e abertura OM, descrever
 o arco determinando os pontos T e T1;
iii. Unindo O aos pontos T e T1, teremos a(s)
 tangente (s) procurada (S).
3_ Traçar as tangentes exteriores a duas circunferências dadas.
Procedimento:
i. Traçar dois raios quaisquer, com a condição de serem paralelos, localizando nas interseções os 
 pontos A e B;
ii. Unir A e B determinando, no prolongamento destes pontos com o prolongamento dos diâmetros, o
 ponto V;
iii. Achar o meio de OV;
iv. Com centro em M e abertura OM, traçar arco determinando os pontos T e T’, que são os pontos de
 tangência;
v. Unir VTT1 e VT
’T’1. 
4_ Traçar tangentes interiores a duas circunferências dadas.
Procedimento:
i. Unir OO’ e achar o meio de OO’, determinando M;
ii. Somar os raios das duas circunferências e traçar circunferência auxiliar. Com centro em M e abertura 
 OM, descrever um arco determinando na circunferência os pontos PP’;
iii. Traçar as cordas correspondentes, localizando os pontos T e T’;
iv. Traçar os raios na circunferência menor, de modo que fiquem paralelos a OP e OP’;
v. Os pontos T1 e T1’ são os pontos de contato da tangente na circunferência menor e TT’ os pontos de 
 contato na circunferência menor.
CONCORDÂNCIA
Diz-se que um arco e uma reta estão em concordância num ponto quando a reta é tangente ao arco 
nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está na perpendicular à reta tirada desse ponto.
O conjunto reta-arco deve formar uma só linha.
Diz-se que dois arcos estão em concordância num ponto qualquer quando eles admitem nesse ponto 
uma tangente comum. Nesse caso, os centros dos dois arcos e o ponto de concordância estão em linha 
reta.
Construções Geométricas
1_ Concordar uma reta dada num ponto dado A com um arco que deve passar por um ponto B dado.
Dados:
A reta r e os pontos A e B
Procedimento:
i. Traçar por A, a perpendicular à reta;
ii. Traçar a mediatriz de AB até encontrar a perpendicular
 em O, que é o centro do arco de concordância.
2_ concordar duas retas r e s com um arco de raio dado R.
Procedimento:
i. Traçar uma perpendicular à reta r (CD) e uma
 perpendicular à s (AB) sendo que AB = CD = r;
ii. Por A, traçar uma paralela a r e por D uma paralela 
 a s e obter o centro do arco de concordância.
3_ Concordar um arco dado AB no ponto B, cm um outro arco que deve passar por um ponto C dado.
Procedimento:
i. Unir OB;
ii. Traçar a mediatriz de BC que encontra OB 
 em O’, centro do arco pedido. 
4_ Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B, por meio de dois arcos em 
concordância entre si.
Procedimento:
i. Traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas;
ii. Tomar um ponto qualquer C em AB;
iii. Traçar as mediatrizes de AC e CB até encontar as perpendiculares em O e O’ que são os centros dos 
 arcos pedidos.
5_ Traçar uma circunferência tangenciando externamente duas outras circunferências dadas.
Procedimento:
i. Dadas as circunferências C1 e C2, seus raios r1 e r2, seus centros O e O’ e R (raio da curvatura);
ii. Com centro em O e raio R + R1, traçar arco;
iii. Com centro em O e raio R + R2, cortar arco (ponto Q);
iv. Ligar OQ e O’Q.
6_ Traçar uma circunferência tangenciando internamente duas circunferências dadas.
Procedimento:
i. Dadas as circunferências C1 e C2, seus raios r1 e r2, seus centros O e O’ e R (raio da curvatura);
ii. Com centro em O e raio R - R1, traçar arco;
iii. Com centro em O e raio R - R2, cortar arco (ponto Q);
iv. Ligar OQ e O’Q e prolongar.