Funções e Gráficos em Ciência de Dados

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MATEMÁTICA APLICADA À
CIÊNCIA DE DADOS
III. FUNÇÕES E GRÁFICOS
Objetivos
� Introduzir o conceito de função.
� Mostrar como representar graficamente funções. 
Conteúdos
� Definição de função.
� Representação gráfica de funções no plano cartesiano.
� Quando uma relação pode ser identificada como sendo uma função. 
� Exemplos de funções em aplicações na física.
Prof. Dalton Vinicius Kozak, Dr. Eng.
• Muitas análises de dados envolvem o uso de funções e respectivas 
representações gráficas.
• Quando se analisa o comportamento de determinado dado em função de outro(s), 
esse comportamento pode ser expresso na forma de uma função (análise de 
regressão).
• Quando se deseja analisar dados de forma a prever
valores futuros, isso pode ser feito através de uma
função expressando uma linha de tendência.
• Funções aparecem em diversos algoritmos para
processamento e análise de dados, como funções
e gráficos estatísticos.
• Etc.
FUNÇÕES
NA CIÊNCIA DE DADOS
• Uma variável é uma quantidade que assume qualquer valor dentre aqueles 
possíveis num problema em particular. 
• Exemplo: 
• No cálculo da área de um círculo, tem-se que A=πr2, ou A(r)=πr2, onde A (área) e r 
(raio) são as variáveis, sendo A uma variável dependente de r, que é a variável 
independente (arbitrária dentre os valores possíveis: números não negativos).
ALGUNS CONCEITOS INICIAIS
Variável
A=A(r)
r
1
3
5
A
2
3
B
• Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado por 
A x B (lê-se "A cartesiano B"), é o conjunto formado por todos os pares 
ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B (lê-se "a pertence ao conjunto A" e 
"b pertence ao conjunto B"). 
• Exemplos:
• se A = {1,3,5} e B = {2,3}, tem-se que A x B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)};
• se A = {1 ≤ x ≤ 5} e B = {2 ≤ y ≤ 3}, tem-se que A x B = {1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 3}.
ALGUNS CONCEITOS INICIAIS
Produto Cartesiano
A x B
1
3
5
A
2
3
B
• Define-se uma relação R de A em B, denotada por R: A → B (lê-se "R de A 
em B"), como qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. 
• Produtos Cartesianos.
• A = {1,3,5} e B = {2,3}, A x B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)};
• A = {1 ≤ x ≤ 5} e B = {2 ≤ y ≤ 3}, A x B = {1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 3}.
• Relações.
• R: A → B = {(1,3),(3,2),(3,3)};
• R: A → B = {2 ≤ x ≤ 4, 2.2 ≤ y ≤ 2.9}
ALGUNS CONCEITOS INICIAIS
Relação
R: A 
→ B
• Na matemática, função (símbolo tradicional: f) é uma relação que 
estabelece a correspondência entre os elementos de dois conjuntos 
segundo certas regras.
• Conhecido um elemento no primeiro conjunto ("de partida"), consegue-se recuperar 
um único elemento no segundo conjunto ("de chegada") através da regra de 
correspondência estabelecida pela função.
• Mas pode haver mais de um conjunto de partida (neste caso, está se falando de multivariáveis, 
fora do escopo de nosso estudo).
CONCEITO DE FUNÇÃO
Conjunto 1
x
Conjunto 2
yf y = função(x) = f(x)
• As funções aparecem em nosso dia a dia sem que muitos de nós tenhamos 
consciência disso. 
• A conta de água depende da quantidade de água consumida, ou seja, a conta é uma 
função do consumo.
• A dose de um certo remédio depende do peso da pessoa, ou seja, a dose é uma 
função do peso. 
POR QUE ESTUDAR FUNÇÕES E GRÁFICOS?
(1/3)
Conta de água
consu
mo (L)
conta 
(R$)
R$=f (L)
1000 L
R$ 
100,00
• Na física, muitos fenômenos são descritos através de funções que 
relacionam determinada(s) quantidade(s) com outra(s).
• A distância percorrida (s) por um objeto depende da sua velocidade (v) e do tempo 
(t), ou seja, a distância percorrida é uma função da velocidade e do tempo. 
POR QUE ESTUDAR FUNÇÕES E GRÁFICOS?
(2/3)
v⋅t
s
v constante. 
s = f(t) = v⋅t
POR QUE ESTUDAR FUNÇÕES E GRÁFICOS?
(3/3)
• Os diversos fenômenos da natureza são muitas vezes melhor entendidos 
através de imagens, como gráficos. 
• Como muitos destes fenômenos podem ser descritos por funções, o 
conhecimento da representação gráfica das funções torna-se uma 
ferramenta importante na análise e entendimento dos diversos fenômenos, 
também, na física. 
Distância percorrida
s
t
(b
)
(a)
(a) Movimento constante
(b) Movimento acelerado
• Pode-se definir função da seguinte forma:
• Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B, denotada por f: A→B 
(lê-se "f de A em B"), é qualquer relação R que associa a todo elemento de A um 
único elemento de B.
• Funções podem ser representadas graficamente no plano cartesiano.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
• Para representar gráficos de funções no plano, 
utilizam-se normalmente as coordenadas 
cartesianas, as quais definem o plano cartesiano. 
• Foram concebidas pelo filósofo e matemático francês 
René Descartes (figura).
• São definidas por um sistema de eixos perpendiculares 
entre si, onde se localizam pontos no plano através de 
dois números (as coordenadas).
• Eixo horizontal: das abcissas.
• Eixo vertical: das ordenadas.
• Os eixos utilizam uma mesma escala
("tamanho das distâncias").
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES
Coordenadas Cartesianas (1/2)
René Descartes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg
• Exemplos:
• O par (2, 3) representa a posição 
2 no eixo das abscissas (eixo x) e 
a posição 3 no eixo das 
ordenadas (eixo y). 
• Este par se diz ordenado por 
sempre ser escrito numa mesma 
sequência (abscissa, ordenada), 
ou (x, y).
• O plano cartesiano divide-se em 
quatro quadrantes (I, II, III e IV).
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES
Coordenadas Cartesianas (1/2)
0 1 2 3 4 5
-
5
-
4
-
3
-
2
-
1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
(3, -4)
(-4, 
-2)
(-2, 
1)
I
IVIII
II
x
y
(2, 3)
eixo das 
ordenadas
eixo das 
abscissas
• O gráfico de uma função pode ser 
construído utilizando uma tabela 
com alguns pontos (x,y) da 
função no plano cartesiano. 
• A curva que representa o gráfico da 
função deve passar sobre os 
pontos.
• Unindo-se suavemente esses 
pontos, teremos a curva da função.
• Define-se o gráfico de uma função 
como sendo o conjunto de todos 
os pontos (x,y=f(x)) no plano que 
pertencem à função.
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
DE UMA FUNÇÃO
x
y
f(x) = x2 
- 2
x y
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
IDENTIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
...pois nem todo elemento de A 
está associado a um único 
elemento de B.
1
3
5
7
3
9
15
20
A B
...pois nem todo elemento de A 
está associado a um único 
elemento de B.
1
2
3
4
6
7
8
9
A B
...pois todo elemento de A 
está associado a um único 
elemento de B.
1
2
3
4
6
7
8
9
A B
Estas relações NÃO são funções... Estas relações NÃO são funções... Estas relações SÃO funções...
x
y ≠ 
f(x)
A = {1 ≤ x ≤ 4} 
B
 =
 {
1 
≤ 
y 
≤ 
5}
 
y
x
y ≠ 
f(x)
A = {1 ≤ x ≤ 4} 
B
 =
 {
1 
≤ 
y 
≤ 
5}
 
y
x
y = 
f(x)
A = {1 ≤ x ≤ 4} 
B
 =
 {
1 
≤ 
y 
≤ 
5}
 
y
• Em uma função f: A→B o domínio, D(f), é o conjunto A, e o contradomínio, 
CD(f), é o conjunto B. 
• A imagem de f, I(f), é o subconjunto de B cujos elementos estão associados 
a algum elemento do domínio. 
• Denotam-se os pares ordenados de f por (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B 
(∈ significa "pertence à"), e escreve-se y = f(x) (lê-se "y é igual a f de x "). 
• Diz-se que:
• y é a imagem de x sob a função f;
• x é a variável independente e y é a variável dependente. 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO (1/2)
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO (2/2)
1
2
3
4
6
7
8
9
A B
f: A 
→ B
Domínio de f
Contra-domín
io de f
Imagem de f
D(f) = {1,2,3,4}
CD(f) = {6,7,8,9}
I(f) = {6,7,8}
D(f) = {1 ≤ x ≤ 4}
CD(f) = {1 ≤ x ≤ 5}
I(f) = {2 ≤ x ≤ 4}
xA = (1 ≤ x ≤ 
4) 
B
 =
 (
1 
≤ 
x 
≤ 
5)
 
y = 
f(x)
y
• A quantidade de tipos de funções pode ser muito grande. 
• Entretanto, existem alguns tipos de funções que aparecem com boa 
frequência em diversos problemas. Dentre elas, podemos citar:
• a função linear (reta);
• a função quadrática (parábola);
• a função exponencial;
• a função logarítmica. 
• Conhecer a forma do gráficodesses tipos particulares muitas vezes facilita a 
compreensão de uma determinada função.
FUNÇÕES TÍPICAS
FUNÇÕES TÍPICAS:
Função Linear
FUNÇÕES TÍPICAS:
Função Quadrática
FUNÇÕES TÍPICAS:
Função Exponencial
1
FUNÇÕES TÍPICAS:
Função Logarítmica
1
• A função linear descrevendo a posição de um corpo em movimento com 
direção e velocidade constantes (movimento retilíneo uniforme, MRU).
EXEMPLOS DE FUNÇÕES NA FÍSICA (1/2)
t
x x(t) = x
0
 + 
vt
x
0
Movimento 
retilíneo uniforme
x
0
• A função quadrática descrevendo a posição de um corpo em queda livre no 
vácuo (movimento uniformemente acelerado, MUA).
EXEMPLOS DE FUNÇÕES NA FÍSICA (2/2)
h(t) = 
-gt2/2
t
F
P
-h
FP
Movimento 
uniformemente 
acelerado
h
F
P
th t=0, 
h=0
t=t
FP 
, 
h=-h
FPFundo do Poço
vácuo
REFERÊNCIAS
1. OLIVEIRA, Carlos Alberto Maziozeki. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.
2. SGUAZZARDI, Monica Midori Marcon Uchida. Física Geral. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2014.
REFERÊNCIAS:
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