Resistência dos Materiais

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Resistência dos Materiais
Resistência dos materiais
Universidade Estadual de Maringá (UEM)
19 pag.
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Resistência dos Materiais 
Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida 
Revisão - Mecânica Vetorial 
 
 
 Vetores são definidos como 
expressões matemáticas que tem 
intensidade, direção e sentido. São 
representados por seta acima da letra usada 
para representá-lo . Um usado vetor 
usado para representar uma força que atua 
sobre uma dada partícula tem um ponto de 
aplicação bem definido, a saber, a partícula 
propriamente dita. 
 Dois vetores que têm a mesma 
intensidade, a mesma direção e o mesmo 
sentido são considerados iguais, 
independentemente de terem ou não o 
mesmo ponto de aplicação; vetores iguais 
podem ser representados pela mesma letra. 
 O vetor oposto de um dado vetor P é 
definido como um vetor que tem a mesma 
intensidade e a mesma direção de P e um 
sentido oposto ao de P; o oposto de um vetor 
P é denotado por –P. Em geral nos referimos 
aos vetores P e –P como vetores iguais e 
opostos.Obviamente P+(-P) = 0. 
Vetores iguais 
 Vetores opostos 
 
Decomposição de Vetores – 
Componentes Retangulares de uma Força 
 Em muitos problemas será desejável 
decompor uma força em dois componentes 
que são perpendiculares entre si. Na figura, a 
força F foi decomposta em um componente Fx 
ao longo do eixo x e um componente Fy ao 
longo do eixo y. O paralelogramo desenhado 
para se obterem os dois componentes é um 
retângulo, e Fx e Fy são chamados de 
componentes retangulares. 
 
 
 
 Os eixos x e y são, geralmente 
escolhidos na horizontal e na vertical, 
respectivamente, como na Figura; podem, 
entretanto, ser escolhidos em duas direções 
perpendiculares quaisquer. 
 Dois vetores de intensidade unitária, 
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos 
positivos x e y, serão introduzidos nesse 
ponto. Esses vetores são denominados 
vetores unitários e são representados por i e 
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j, respectivamente. Os componentes 
retangulares Fx e Fy da força F podem ser 
obtidos multiplicando-se respectivamente os 
vetores unitários i e j pelos escalares 
apropriados. Escrevemos 
Fx = Fxi Fy = Fy j 
e 
F = Fxi + Fy j 
 
 
 Para que não haja confusão, o 
componente escalar Fx é positivo quando o 
componente vetorial Fx tiver o mesmo sentido 
que o vetor unitário i (ou seja, o mesmo 
sentido que o eixo x positivo) e é negativo 
quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se 
chegar a uma conclusão semelhante com 
relação ao sinal do componente escalar Fy. 
 Representando por F a intensidade da 
força F e por  o ângulo entre F e o eixo x, 
medido no sentido anti-horário a partir do eixo 
x positivo, podemos expressar os 
componentes retangulares de F da seguinte 
maneira: 
Fx = F.cos e Fy = F.sen 
 Notamos que as relações obtidas 
valem para qualquer valor do ângulo , de 00 
a 3600, e que elas definem tanto o sinal quanto 
o valor absoluto dos componentes escalares 
Fx e Fy. 
 Quando a força F é definida pelos seus 
componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo 
 definindo sua direção pode ser obtido 
escrevendo-se 
x
y
F
F
tg  . 
 A intensidade da força F pode ser 
obtida aplicando o teorema de Pitágoras e 
escrevendo-se: 
F = 
22
yx FF  . 
 
 
 
 
 
____________________________________
____ 
 
____________________________________
____ 
 
Exercícios: 
01. Uma força de 800N é exercida no parafuso 
A, como mostra a Figura. Determine os 
componentes vertical e horizontal dessa 
força. 
 
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02. Um homem puxa com a força de 300N 
uma corda amarrada a um edifício, como 
mostra a figura. Quais são os componentes 
horizontal e vertical da força exercida pela 
corda no ponto A? 
 
03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é 
aplicada a um parafuso A. Determine a 
intensidade da força e o ângulo  que ela 
forma com a horizontal. 
 
04. Determine os componentes x e y de cada 
uma das forças indicadas: 
(A) 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
 
05. O elemento BD exerce sobre o elemento 
ABC uma força P dirigida ao longo da linha 
BD. Sabendo que P deve ter um componente 
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vertical de 960N, determine (a) a intensidade 
da força P e, (b) seu componente horizontal. 
 
 
06.O elemento CB de um torno de bancada 
(morsa) exerce no bloco B uma força P 
dirigida ao longo da linha CB. Sabendo que P 
deve ter um componente horizontal de 1170N, 
determine (a) a intensidade da força P, e (b) 
seu componente vertical. 
 
07. O cabo de sustentação BD exerce no 
poste telefônico AC uma força P dirigida ao 
longo de BD. Sabendo que P tem um 
componente de 450N ao longo da linha AC, 
determine a intensidade da força P, e (b) seu 
componente em direção perpendicular a AC. 
 
 
Adição de Forças Pela Soma dos 
Componetes X e Y 
 Quando três ou mais forças são 
adicionadas, a solução analítica do problema 
pode ser obtida decompondo-se cada força 
em dois componentes retangulares. 
Considere, por exemplo, tres forças, P, Q e R 
atuando sobre uma partícula A, a resultante é 
obtida pela relação: 
R = P + Q + R 
Decompondo cada força em seus 
componetes retangulares, escrevemos 
Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj 
 = (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j 
De onde temos que 
Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy 
Ou, em notação reduzida, 
Rx =  Fx Ry = Fy 
 Concluímos que os componentes 
escalares Rx e Ry da resultante R de várias 
forças que atuem sobre uma partícula são 
obtidos adicionando-se algebricamente os 
correspondentes componentes escalares das 
forças dadas. 
 Na prática, a determinação da 
resultante R é feita em três passos. Primeiro 
as forças são decompostas em seus 
componentes x e y de R. Adicionado esses 
componentes, obtemos os componentes x e y 
de R. Por fim, a resulatnte R = Rxi + Ry j é 
determinada aplicando-se a lei do 
paralelogramo. Este é o único método 
analítico prático para a adição de três ou mais 
forças. 
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Exemplo: Determine a intensidade da força 
resultante e indique sua direção, medida no 
sentido anti-horário, em relação ao eixo x 
positivo. 
 
 
Exercícios: 
01.Determine a resultante das forças 
mostradas: 
(A) 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
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Equilíbrio de uma Partícula 
 Se um ponto material estiver 
submetido a um sistema de vária forças 
coplanares e colineares, cada força poderá 
ser decomposta em componentes x e y e para 
a condição de equilíbrio é necessário que as 
seguintes condições sejam atendidas. 
 
  0xF e   0yF 
 
-------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
01. .Dois cabos estão atados em C, onde é 
aplicada uma carga. Determine as trações em 
AC e BC, em cada caso: 
A) 
 
 
 
 
B) 
 
C) 
 
02.Dois cabos estão ligados em C e são 
carregados tal como mostra a figura. 
Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no 
cabo BC. 
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03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração 
(a) no cabo AC e (b) na corda BC. 
 
 
04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC 
exerce no pino C uma força dirigida ao longo 
da linha AC, determine (a) a intensidade 
dessa força e (b) a tração no cabo BC. 
 
 
05. Dois cabos estão ligados em C e são 
carregados tal como mostra a figura. Sabendo 
que α = 30º , determine a tração (a) no cabo 
AC e (b) no cabo BC. 
 
06.Um teleférico parou na posição indicada. 
Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que 
o esquiador que está na cadeira E pesa 890N, 
determine o peso do esquiador da cadeira F. 
 
07. Quatro elementos de madeira são unidos 
com placas conectoras metálicas e estão em 
equilíbrio sob a ação das quatro forças 
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mostradas. Sabendo que FA = 2295N e FB = 
2160N, determine as intensidades das outras 
duas forças. 
 
08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como 
mostra a figura a uma conexão de uma 
aeronave. Sabendo que a conexão está em 
equilíbrio e P = 1800N e Q = 2340N, 
determine as intensidades das forçaas 
exercidas nas hastes A e B. 
 
 
09. Dois cabos ligados em C são carregados 
tal como mostra a figura. Sabendo que W = 
840N, determine a tração (a) no cabo AC e (b) 
no cabo BC. 
 
Exercícios 
01. Determine a resultante das forças 
mostradas: 
(A) 
 
(B) 
 
02. Dois cabos estão ligados em C e são 
carregados tal como mostra a figura. 
Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no 
cabo BC. 
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03. Se a intensidade da força resultante deve 
ser 9KN direcionada ao longo do eixo x 
positivo, determine a intensidade da força T 
que atua sobre a argola e seu ângulo . 
=30,6o e T = 
6,6,KN 
04.A caminhoneta precisa ser rebocada 
usando duas cordas. Determine as 
intensidades das forças FA e FB que atuam em 
cada corda para produzir uma força de 
intensidade de 950N, orientada ao longo do 
eixo x positivo. Considere  = 50◦. 
FA = 774N e FB = 346 N 
 
05. Sabendo que α = 30◦, determine a tração 
(a) no cabo AC e (b) na corda BC. 
 
 
 
 
 
 
06. Se a intensidade da força resultante que 
atua sobre a argola é de 600N e sua direção 
no sentido horário do eixo x positivo é  = 30o, 
determine a intensidade de F1 e o ângulo . 
 
R: =42,4o F1=730,9N 
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07.Se os cabos BD e BC podem suportar uma 
força de tração máxima de 20KN, determine a 
massa da viga que pode ser suspensa pelo 
cabo AB, de modo que nenhum cabo se 
rompa. O centro de massa da viga está 
localizado ao ponto G. 
 
R=2785Kg
 
08.O pendente de reboque AB está submetido 
à força de 50KN exercida por um rebocador. 
Determine a força em cada um dos cabos de 
amarração, BC e BD, se o navio está se 
movendo para a frente em velocidade 
constante. 
 
TBC = 22,3 KN e TBD = 32,6KN 
09. Se o bloco D pesa 1,5KN e o bloco B pesa 
1,375 KN, determine o peso do bloco C e o 
ângulo  para o equilíbrio. 
 
 
Pc=1,2KN e  = 40,90 
10.Determine a tração desenvolvida em cada 
um dos fios usados para sustentar o 
candelabro de 50Kg. 
 
R: FCD = 359N ; FBD = 440N ; FAB = 622N ; FBC 
= 228N 
 
 
11. Se a tração desenvolvida em cada um dos 
quatro fios não pode exceder 600N, determine 
a maior massa do candelabro que pode ser 
suportada. 
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R: 48,2 Kg. 
12.Determine o peso máximo do balde que o 
sistema de fios pode suportar, de modo que 
nenhum fio desenvolva uma tração maior que 
0,5KN. 
 
R: W = 0,289 KN 
 
13.A esfera D possui uma massa de 20Kg. Se 
uma força F = 300 N é aplicada 
horizontalmente no anel A, determine a 
dimensão d, de modo que a força no cabo AC 
seja zero. 
 
R: 2,42m 
 
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Momento de uma força 
 
01 – Uma válvula de pedal para um sistema 
pneumático é articulada em B. Sabendo que α = 
28°, determine o momento de uma força de 16 N 
em relação ao ponto B decompondo a força em 
componentes horizontal e vertical. R: 1,277 N.m 
 
02 – A força de 300 N é aplicada em A como 
mostrado na figura. Determine (a) o momento da 
força de 300 N sobre D, (b) a menor força aplicada 
em B que cria o mesmo momento em D. R: (a) 41,7 
N.m ( b ) 147,4 N α: 45.0°. 
 
03 – Uma força P de 35 N é aplicada em uma 
alavanca de câmbio. Determine o momento de P 
sobre B quando α é igual a 25°. 
 
04 – Sabe-se que uma força vertical de 890 N é 
necessária para remover da tábua o prego fixado 
em C. Ao primeiro momento do prego, determine 
(a) o momento em relação a B da força exercida 
sobre o prego, (b) a intensidade da força P que cria 
o mesmo momento em relação a B se α = 10°, (c) a 
menor força P que cria o mesmo momento em 
relação a B. R: P=228,3 N, Pmin = 197,77 N. 
 
05 – Um guincho AB é usado para endireitar um 
mourão. Sabendo que a tração no cabo BC é 1.140 
N e o comprimento d é de 1,9 m, determine o 
momento em relação a D da força exercida pelo 
cabo em C decompondo tal força no componente 
horizontal e no vertical aplicados (a) no ponto C, 
(b) no ponto E. R: 1.224 N. 
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Estática 
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Estática 
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Sistemas Equivalentes – Vínculos/Apoios 
 
Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): 
São aqueles que impedem deslocamento somente 
em uma direção, produzindo reações equivalentes 
a uma força com linha de ação conhecida. Apenas 
uma reação será a incógnita. 
 
 
 
O deslocamento na posição y é impedido, logo, 
nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. 
 
Vínculos de Segunda Ordem (articulação 
plana): São aqueles que restringem a translação 
de um corpo livre em todas as direções, mas não 
podem restringir a rotação em torno da conexão. 
Portanto, a reação produzida equivale a uma força 
com direção conhecida, envolvendo duas 
incógnitas, geralmente representadas pelas 
componentes x e y da reação. 
 
 
 
Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio 
fixo): 
São aqueles que impedem qualquer movimento de 
corpo livre, imobilizando-o completamente. 
 
Observação: Os vínculos podem ser chamados de 
1a, 2ª e 3ª ordem ou classe ou gênero ou tipo. 
 
 
Condições de equilíbrio 
 
 Para um corpo, submetido a diferentes 
forças, estar em equilíbrio, é necessário que as 
forças não provoquem tendência à rotação e 
translação. Translação depende das forças 
resultantes: ∑ F = 0 
Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M 
= 0 
Logo, tem-se as seis equações fundamentais da 
estática: 
∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 
∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0 
 
Exercícios - Reações de apoio 
 
01. Determinar as reações de apoio para as 
estruturas dadas abaixo. 
a. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA = 
RB = 200 N) 
 
b. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA = 
100 N, RB = 300 N) 
 
c. Viga biapoiada com carga concentrada (RAx = 
282,84, RAy = 187,87 e RBy = 212,13 N): 
 
d. Viga engastada com carga concentrada (RAy = 
200N: 
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e.
 
RAy = 6 kN e RBy = 11 kN. 
f. 
. 
RBx = 2,12 kN, RBy = 0,84 kN e RAy = 1,27 kN. 
g. 
 
RAx = -1,73 kN, RAy = 2,75 kN e RBy = 1,25 kN. 
h. 
 
R = 3 kN 
i. 
 
R = 9 kN. 
02. Calcule a reação nos apoios da viga ilustrada 
na Figura, a seguir: 
 
 
 
03. Calcule as reações no apoio A da estrutura 
conforme a Figura: 
 
 
 
 
04. Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg 
e é usado para suspender um caixote de 2400 kg. 
O guindaste é mantido na posição indicada na 
figura por um pino em A e um suporte basculante 
em B. O centro de gravidade está localizado em G. 
Determine os componentes das reações em A e B. 
(B = 107,1 kN, Ax = 107,1 kN e Ay = 33,3 kN) 
 
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05. Três cargas são aplicadas a uma viga tal como 
mostra a figura. A viga é sustentada por um rolete 
em A e por um pino em B. Desprezando o peso da 
viga, determine as reções em A e B quando P = 
67,5 KN. (Ra = 27 kN e Rb = 94,5 kN) 
 
 
06. A estrutura representada na figura sustenta 
parte do teto de um pequeno edifício. Sabendo que 
a tração no cabo é 150KN, determine a reação na 
extremidade fixa E. REx = 90 kN, REy = 200 kN e 
ME = 180 kN.m. 
 
07. O pau-de-carga montado em um caminhão de 
4300Kg é usado para descarregar uma plataforma 
de telhas com massa de 1600kg. Determine a 
reação em cada uma das duas (a) rodas traseiras 
B, (b) rodas dianteiras C. RB = 2471,92 kg, RC = 
3428,07 kg 
 
08. Duas crianças estão de pé sobre um trampolim 
com massa de 65kg. Sabendo que as massas das 
crianças em C e D são 28Kg e 40Kg, 
respectivamente, determine (a) a reação em A e 
(b) a reação em B. 
 
 
 
09. Dois caixotes, cada qual pesando 1125N, são 
colocados na caçamba de uma camionete com 
peso de 13500N. Determine as reações em cada 
uma das duas (a) rodas traseiras A e (b) rodas 
dianteiras B. 
 
10. Determine as reações de apoio da 
viga abaixo: 
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11. Determine as reações de apoio da 
Treliça abaixo: 
 
 
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Estática 
Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida 
Centro de Gravidade - Centroides 
 
01. Determine o centróide da figura a 
seguir: 
 
02. Determine o centróide da peça 
plana, ilustrada na figura, sabendo-
se que ela possui um furo com raio 
igual a 100mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Localize o centróide da área da 
figura abaixo: 
 
 
 
04. Determinar as coordenadas do 
centróide da superfície hachurada 
representada na figura abaixo: 
 
05.Localize o centróide ( yx, ) da área 
sombreada. 
 
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Estática 
Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida 
 
 
 
06. Localize o centróide ( yx, ) da 
placa mostrada na figura: 
 
07. Calcule o centróide do perfil na 
forma T: 
 
 
 
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