Escalas Logarítmicas e suas Aplicações

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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a 
representação e a compreensão de grandezas que 
apresentam intervalos de variação excessivamente 
grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma 
solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse 
utilizada diretamente a concentração do íon H para 
fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco 
prática, variando de 0,00000000000001 a 1. 
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha 
criado uma medida da renda dos habitantes de um 
país chamada Renda Comparativa (RC), definida por 
0
RRC log ,
R
 
  
 
 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante 
desse país e 0R é o salário mínimo, em dólares, 
praticado no país. (Considere que a notação log indica 
logaritmo na base 10.) 
 
1. (Insper 2011) As rendas, em dólares, de Paulo e 
Rafael, dois habitantes desse país, são 
respectivamente iguais a 1R e 2R . Se a Renda 
Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5, 
então a razão 1
2
R
R
 vale aproximadamente 
a) 5,0. 
b) 3,2. 
c) 2,4. 
d) 1,0. 
e) 0,5. 
 
2. (Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, 
verificamos que o número 1016 está entre 
a) 910 e 1010 . 
b) 1010 e 1110 . 
c) 1110 e 1210 . 
d) 1210 e 1310 . 
e) 1310 e 1410 . 
 
3. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre 
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 4. 
e) 4 e 5. 
 
4. (Ufjf-pism 1 2015) A magnitude de um terremoto, 
na escala Richter, é dada por 
0
2 EM log
3 E
 
  
 
 onde E 
é a energia liberada no evento e 0E é uma constante 
fixada para qualquer terremoto. Houve dois 
terremotos recentemente: um ocorreu no Chile, de 
magnitude 1M 8,2, e outro, no Japão, de magnitude 
2M 8,8, ambos nessa escala. 
 
Considerando 1E e 2E as energias liberadas pelos 
terremotos no Chile e no Japão, respectivamente, é 
CORRETO afirmar: 
a) 2
1
E 10
E
 
b) 2
1
E 1
E
 
c) 2
1
E0 1
E
  
d) 2
1
E1 10
E
  
e) 2
1
E 10
E
 
 
5. (Usf 2016) O número de bactérias de uma 
determinada cultura pode ser modelado utilizando a 
função 
t
40B(t) 800 2 ,  sendo B o número de 
bactérias presentes na cultura e t o tempo dado em 
horas a partir do início da observação. 
Aproximadamente, quantas horas serão necessárias 
para se observar 5.000 bactérias nessa cultura? 
Considere log2 0,30. 
a) 10 horas. 
b) 50 horas. 
c) 110 horas. 
d) 150 horas. 
e) 200 horas. 
 
6. (G1 - ifal 2016) Num determinado mês, a 
quantidade vendida Q de um certo produto, por dia, 
em uma loja, em função do dia d do mês, é 
representada pela função 2Q log d. Qual a 
quantidade vendida desse produto no dia 16 desse 
mês? 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
 
7. (G1 - ifal 2017) Nas análises químicas de soluções, 
o pH é muito utilizado e, através dele, o químico pode 
avaliar a acidez da solução. O pH de uma solução, na 
verdade, é uma função logarítmica dada por: 
 
pH log [H ]  
 
Onde: [H ] é a concentração de H na solução 
(concentração hidrogeniônica). Tendo em vista essas 
informações, se uma solução apresentou pH 5, 
podemos dizer que a concentração hidrogeniônica 
vale 
a) 310 . b) 510 . c) 710 . d) 910 . e) 1110 . 
 
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2 
 
8. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de 
Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua 
primeira prova no Ensino Médio: 
 
Um dos valores de x que soluciona a equação 
2
2log ( x 32) 4   é igual ao número de centros 
culturais localizados nas proximidades do centro da 
cidade. Esse número é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
9. (Enem PPL 2017) Nas informações veiculadas nos 
órgão de comunicação quando da ocorrência de um 
terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se 
refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala 
Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no 
epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se 
como parâmetros as medidas da amplitude sísmica 
(A), em micrômetro, e da frequência (f ), em hertz. 
Esses parâmetros são medidos por aparelhos 
especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se 
segundo a função M log(A f) 3,3.   Pela 
magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se 
estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde 
não estão considerados terremotos de magnitudes 
superiores a 7,9. 
 
Magnitude (grau) Efeitos do terremoto segundo a 
escala Richter 
M 3,5 
Registrado (pelos aparelhos), mas não 
perceptível pelas pessoas. 
3,5 M 5,4  
Percebido, com pequenos tremores 
notados pelas pessoas. 
5,4 M 6,0  
Destrutivo, com consequências 
significativas em edificações pouco 
estruturadas. 
6,0 M 6,9  
Destrutivo, com consequências 
significativas para todo tipo de 
edificação. 
6,9 M 7,9  
Destrutivo, retiraram os edifícios de 
suas fundações, causam fendas no 
solo e danificam as tubulações 
contidas no subsolo. 
 
Um terremoto teve sua amplitude e frequências 
medidas e obteve-se A 1.000 micrômetros e 
f 0,2 hertz. 
Use 0,7 como aproximação para log (0,2). 
 
Disponível em: www.mundoeducacao.com.br. Acesso em: 11 jul. 
2012 (adaptado). 
 
 
Considerando o quadro apresentado, e analisando o 
resultado da expressão que fornece a magnitude 
desse terremoto, conclui-se que ele foi 
a) registrado, mas não percebido pelas pessoas. 
b) percebido, com pequenos tremores notados pelas 
pessoas. 
c) destrutivo, com consequências significativas em 
edificações pouco estruturadas. 
d) destrutivo, com consequências significativas para 
todo tipo de edificação. 
e) destrutivo, com consequências nas fundações dos 
edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo. 
 
10. (Eear 2017) Se log 2 0,3 e log 36 1,6, então 
log 3  _____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
11. (Ufjf-pism 1 2017) Sejam a, b, c e d números 
reais positivos, tais que blog a 5, blog c 2 e 
blog d 3. O valor da expressão 
2 5
c 3
a blog
d
 é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
12. (Uel 1994) Supondo que exista, o logaritmo de a 
na base b é 
a) o número ao qual se eleva a para se obter b. 
b) o número ao qual se eleva b para se obter a. 
c) a potência de base b e expoente a. 
d) a potência de base a e expoente b. 
e) a potência de base 10 e expoente a. 
 
13. (G1 - cftmg 2010) Considerando a equação 2x = 
5 e que log2 = 0,3, o valor mais próximo de x é 
a) 2,2 
b) 2,3 
c) 2,4 
d) 2,5 
 
14. (Enem 2011) A Escala de Magnitude de Momento 
(abreviada como MMS e denotada como WM ), 
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo 
Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a 
magnitude dos terremotos em termos de energia 
liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no 
entanto, a escala usada para estimar as magnitudes 
de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim 
como a escala Richter, a MMS é uma escala 
logarítmica. WM e 0M se relacionam pela fórmula: 
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3 
 
W 10 0
2M 10,7 log (M )
3
   
 
Onde 0M é o momento sísmico (usualmente estimado 
a partir dos registros de movimento da superfície, 
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. 
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro 
de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior 
impacto no Japão e na comunidade científica 
internacional. Teve magnitude WM 7,3 . 
 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível 
em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude 
Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 
maio 2010 (adaptado). 
 
Mostrando que é possível determinar a medida por 
meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o 
momento sísmico 0M do terremoto de Kobe (em 
dina.cm)? 
a) 5,1010 
b) 0,7310 
c) 12,0010 
d) 21,6510e) 27,0010 
 
15. (Ucpel 2011) Se alog 1024 20, então "a" vale 
a) 3 2 
b) 2 
c) 4 2 
d) 4 3 
e) 3 
 
16. (Espcex (Aman) 2018) A curva do gráfico abaixo 
representa a função 4y log x 
 
 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. b) 6. 
c) 3. d) 4
36log .
2
 e) 4log 6. 
 
 
 
17. (Ufrgs 2018) Leia o texto abaixo, sobre 
terremotos. 
 
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do 
terremoto. Ela está relacionada com a energia sísmica 
liberada no foco e também com a amplitude das ondas 
registradas pelos sismógrafos. Para cobrir todos os 
tamanhos de terremotos, desde os microtremores de 
magnitudes negativas até os grandes terremotos com 
magnitudes superiores a 8.0, foi idealizada uma 
escala logarítmica, sem limites. No entanto, a própria 
natureza impõe um limite superior a esta escala, já 
que ela está condicionada ao próprio limite de 
resistência das rochas da crosta terrestre. Magnitude 
e energia podem ser relacionadas pela fórmula 
descrita por Gutenberg e Richter em 1935: 
log (E) 11,8 1,5 M  onde: E  energia liberada em 
Erg; M  magnitude do terremoto. 
 
Disponível em: 
. 
Acesso em: 20 set. 2017. 
 
 
Sabendo que o terremoto que atingiu o México em 
setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a 
alternativa que representa a melhor aproximação para 
a energia liberada por esse terremoto, em Erg. 
a) 13,3 
b) 20 
c) 24 
d) 2410 
e) 2810 
 
18. (Enem 2018) Com o avanço em ciência da 
computação, estamos próximos do momento em que 
o número de transistores no processador de um 
computador pessoal será da mesma ordem de 
grandeza que o número de neurônios em um cérebro 
humano, que é da ordem de 100 bilhões. 
Uma das grandezas determinantes para o 
desempenho de um processador é a densidade de 
transistores, que é o número de transistores por 
centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa 
fabricava um processador contendo 100.000 
transistores distribuídos em 20,25 cm de área. Desde 
então, o número de transistores por centímetro 
quadrado que se pode colocar em um processador 
dobra a cada dois anos (Lei de Moore). 
 
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 
(adaptado). 
 
 
Considere 0,30 como aproximação para 10log 2. 
 
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade 
de 100 bilhões de transistores? 
a) 1999 b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146 
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4 
 
 
19. (G1 - ifal 2018) Determine o valor do 9log (243). 
a) 1 2. 
b) 1. 
c) 3 2. 
d) 2. 
e) 5 2. 
 
20. (Espcex (Aman) 2017) O número N de bactérias 
de uma cultura é dado em função do tempo t (em 
minutos), pela fórmula 1,2tN(t) (2,5) . Considere 
10log 2 0,3, o tempo (em minutos) necessário para 
que a cultura tenha 8410 bactérias é 
a) 120 
b) 150 
c) 175 
d) 185 
e) 205 
 
21. (Pucrj 2012) A equação 
2x 14 12
1024
  tem duas 
soluções reais. A soma das duas soluções é: 
a) – 5 
b) 0 
2 
d) 14 
e) 1024 
 
22. (G1 - cftmg 2014) O conjunto solução da equação 
2 2x x 2x 264 16   é o conjunto 
a) S = {2}. 
b) S = {4}. 
c) S = {–2, 2}. 
d) S = {2, 4}. 
 
23. (Espm 2014) Se   22x x4 16 2 ,  o valor de xx 
é: 
a) 27 
b) 4 
c) 1
4
 
d) 1 
e) 1
27
 
 
24. (Fgv 2015) Se m
n
 é a fração irredutível que é 
solução da equação exponencial x x 19 9 1944,  
então, m n é igual a 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
25. (Enem PPL 2016) A volemia (V) de um indivíduo 
é a quantidade total de sangue em seu sistema 
circulatório (coração, artérias, veias e capilares). Ela 
é útil quando se pretende estimar o número total (N) 
de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida 
multiplicando-se a volemia (V) pela concentração 
(C) de hemácias no sangue, isto é, N V C.  Num 
adulto normal essa concentração é de 5.200.000 
hemácias por mL de sangue, conduzindo a grandes 
valores de N. Uma maneira adequada de informar 
essas grandes quantidades é utilizar a notação 
científica, que consiste em expressar N na forma 
nN Q 10 ,  sendo 1 Q 10  e n um número inteiro. 
Considere um adulto normal, com volemia de 
5.000 mL. 
 
http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado) 
 
 
Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em 
notação científica? 
a) 102,6 10 
b) 92,6 10 
c) 92,6 10 
d) 102,6 10 
e) 112,6 10 
 
26. (Pucrj 2016) Quanto vale a soma de todas as 
soluções reais da equação abaixo? 
 
x 2 x(5 ) 26 5 25 0    
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
27. (Unesp 2017) Admita que o número de visitas 
diárias a um site seja expresso pela potência n4 , com 
n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui 
o dobro do número de visitas diárias do que um site 
que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas 
ao site S é igual a 
a) 12. 
b) 9. 
c) 8,5. 
d) 8. 
e) 6,5. 
 
 
 
 
 
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28. (Pucrs 2010) A função exponencial é usada para 
representar as frequências das notas musicais. 
Dentre os gráficos a seguir, o que melhor representa 
a função f ( x ) = ex + 2 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
29. (G1 - cftmg 2010) O número y de pessoas 
contaminadas pela nova gripe H1N1, em função do 
número de meses x, pode ser expresso por y = y0. 2x, 
em que y0 é o número de casos reportados em 
setembro de 2009, isto é, 200.000 infectados. O 
tempo necessário, em meses, para que 819.200.000 
pessoas sejam afetadas pela nova doença é 
a) 12. 
b) 13. 
c) 14. 
d) 15. 
 
30. (Mackenzie 2010) O valor de x na equação
2x 2
3 1
9 27

 
  
 
 
a) tal que 2identificou-se que o número N de bactérias, 
t horas após o início do estudo, é dado por 
1,5 tN(t) 20 2 .  
 
Nessas condições, em quanto tempo a população de 
bactérias duplicou? 
a) 15 min. 
b) 20 min. 
c) 30 min. 
d) 40 min. 
e) 45 min. 
 
38. (Uel 2008) Seja a equação exponencial: 
 
 9x + 3 = (1/27)x 
 
Assinale a alternativa que contém a solução da 
equação exponencial dada. 
a) x = - 6 
b) x = - 6/5 
c) x = 5/6 
d) x = 5/2 
e) x = 6 
 
39. (G1 - cftce 2007) A solução da equação 272x - 1 = 
(3 3 )x é um elemento de: 
a) {x ; - 2 2} 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Ao chegar a uma das livrarias do "shopping", um 
professor selecionou alguns livros de Matemática 
para o Ensino Médio, cujo conteúdo permitiu que ele 
elaborasse as três questões a seguir. 
Resolva essas questões, assinalando a resposta 
correta. 
40. (Ufsm 2005) O conjunto-solução da equação 
(0,25)2x = 32 é 
 
a) 
5
8
 
 
 
 b) 
5
8
 
 
 
 c) 
1
2
 
 
 
 d) 
5
4
 
 
 
 e) 
5
4
 
 
 
 
 
 
41. (Pucrj 2004) Uma das soluções da equação 
 
é: 
a) x = 1 
b) x = 0 
c) x = 2 
d) x = -2 
e) x = 3 
 
42. (Uff 2002) A automedicação é considerada um 
risco, pois, a utilização desnecessária ou equivocada 
de um medicamento pode comprometer a saúde do 
usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos 
líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico 
ou maléfico. 
Depois de se administrar determinado medicamento a 
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um grupo de indivíduos, verificou-se que a 
concentração (y) de certa substância em seus 
organismos alterava-se em função do tempo 
decorrido (t), de acordo com a expressão 
 
em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em 
hora. 
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a 
concentração da substância tornou-se a quarta parte 
da concentração inicial após: 
a) 
1
4
 de hora 
b) meia hora 
c) 1 hora 
d) 2 horas 
e) 4 horas 
 
43. (Unesp 2002) A trajetória de um salto de um 
golfinho nas proximidades de uma praia, do instante 
em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que 
mergulhou (t = T), foi descrita por um observador 
através do seguinte modelo matemático 
 
com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O 
tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora 
da água durante este salto foi 
a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. e) 10. 
 
44. (Ufc 2001) Suponha que um corpo, com 
temperatura positiva, seja inserido em um meio cuja 
temperatura é mais baixa do que a do corpo. A 
tendência natural será a diminuição da temperatura 
do corpo. Newton, estudando este fenômeno, 
descobriu que a temperatura T do corpo decresce à 
medida que o tempo t passa, segundo a equação 
mostrada adiante. 
Onde e é a base do logaritmo natural e A, B e k são 
constantes positivas. 
Assinale a alternativa na qual consta o gráfico 
cartesiano que melhor representa, nesse fenômeno, a 
temperatura T em função do tempo t. 
 
 
 
45. (Fuvest-gv 1991) Dado o sistema: 
x y 1
y x 9
2 8
9 3


 


, 
pode-se dizer que x + y é igual a: 
a) 18 
b) - 21 
c) 27 
d) 3 
e) - 9 
 
46. (Ufmg 1995) Observe a figura a seguir. 
 
Nessa figura, está representado o gráfico da função 
f(x) = bx, b > 0. 
Se f(1) + f(-1) = 
10
3
, a única afirmativa VERDADEIRA 
sobre o valor de b é 
a) 0 16 
c) t 60 
e) 32