Cálculo II

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Cálculo II
Cálculo II
 1 Diferencial ............................................................................1
 2 Integral Indefinida ..............................................................10
 3 Integral Definida .................................................................40
 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................74
 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ............103
 6 Integração por Partes ........................................................127
 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............144
 8 Funções Trigonométricas Inversas ......................................157
 9 Integrais por Substituição ..................................................187
 10 Integração de Funções Racionais .......................................199
Sumário
Capítulo 1
Diferencial
Introdução
Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas 
e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm 
Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla-
ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo 
a sua forma atual.
Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, 
sua definição, interpretação e aplicações.
1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM.
Arno Bayer1
2 Cálculo II
Acréscimos de uma função
Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen-
dente e y a variável dependente. Na função y = f(x), quando a 
variável independente sofre variações, a variável dependente 
também estará sujeita à comportamento semelhante.
Se, por exemplo, a variável x variar de x1 para x2, isto é, 
um 
 
, a variável y passará de y1 para y2, sofrerá uma 
variação 12 yyy −=∆ ou )()( 12 xfxfy −=∆ .
∆ y
y
y 1
2
Y
0
∆ y = y1 – y2
∆ x = x2 – x1
x x x
∆ x
1 2
y =
 f(x
)
Figura 1.1 Acréscimos de uma função.
Diferencial de uma função ∆
Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da 
função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) 
pelo acréscimo arbitrário ∆x da sua variável independente.
Capítulo 1 Diferencial 3
Calculando a diferencial da função identidade y = x, te-
mos:
Então:
Considerando a expressão e dividindo os dois 
membros por dx, teremos:
Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser 
também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx.
Interpretação geométrica da diferencial
Y
∆ y
y2
y 1
0
dx
x x1 2
A
X
Tan
gen
te
dy
B
D
C
∆ x
α
α
y =
 f(x
)
Figura 1.2 Interpretação Geométrica.
4 Cálculo II
Mas, , então:
Da interpretação geométrica e das considerações, pode-
mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado 
da função quando a variável independente recebe um acrésci-
mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y ≠ dy, mas 
quando x →0, dy tende a se aproximar de ∆y.
O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des-
prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor 
na medida em que dx for diminuindo.
Aplicação da diferencial
Exemplo:
Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada-
mente a raiz quadrada de 83.
Podemos formar a função: y = 
Capítulo 1 Diferencial 5
A diferencial:
 dy = acréscimo aproximado
Então:
 Considerando:
Temos: 
Exercícios exemplos:
 1) Calcular a diferencial das funções:
Solução:
Solução:
6 Cálculo II
 2) Dada a função para e :
a) Calcular o valor de ∆y.
 Solução:
b) Calcular o valor de dy.
 Solução:
c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo.
 Solução:
A diferença é pequena e será sempre menor na medida em 
que dx for diminuindo.
Capítulo 1 Diferencial 7
 3) Calcular a , usando diferencial.
Podemos associar a função .
Solução:
, acréscimo aproximado de y.
 e
Sendo: x = 25 e , 
Logo: 
Valor real: 
 4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua-
drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma 
variação maior do que 1 cm2.
Temos: 
� 
l = 4 cm, dA = 1 cm2
A = 
� 
l2
� 
l
� 
l
� 
l
� 
l
� 
l
8 Cálculo II
 5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo 
para que o seu volume aumente 12%.
 do volume =0,12V
, mas V = a3
 ou 4% de a.
Exercícios:
 1) Calcular a diferencial das funções:
 
 
 2) Dada a função para e .
a) Calcular ∆y. 
b) Calcular dy. 
c) Calcular a diferença . 
 3) Calcular a , usando diferencial. 
 4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, 
que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia-
ção maior do que 2 cm2.
Capítulo 1 Diferencial 9
 5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera 
para que seu volume aumente 15%.
ou 5% do raio
Referências Bibliografias
CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada.
Editora Atlas. São Paulo.
IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar.
Editora Atlas. São Paulo.
LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica.
Editora Harbra. São Paulo.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica.
Editora Mc Graw-Hill. São Paulo.
TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e I n t e g r a l . 
Editorial Limusa.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 2
Integral Indefinida
Introdução
Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite e 
na derivada de funções. A partir da derivada verificou-se como 
se determina a taxa de variação de uma função, o coeficiente 
angular da reta tangente a uma curva em um ponto dado e 
a definição de velocidade. Essa é apenas uma das partes do 
Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra parte, cha-
mada de Cálculo Integral, basicamente consiste no problema 
inverso da derivada, isto é, encontrar uma função cuja deri-
vada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, veremos, no 
Capítulo III, como se calcula a área de uma região do plano 
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
Capítulo 2 Integral Indefinida 11
xy e, em consequência, a resolução de inúmeros problemas. 
Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos 
qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cál-
culo Integral.
Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integral 
por meio da definição da antiderivada e suas propriedades 
operatórias e regras para o seu cálculo.
2.1 Definição de antiderivada
Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma 
função f(x) se
F'(x) = f(x)
para qualquer x pertencente ao domínio de f.
Por exemplo:
 Â A função é uma antiderivada ou primitiva 
da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
12 Cálculo II
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an-
tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada 
uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos 
por C. Então, podemos dizer que a função 
representa todas as antiderivadas ou primitivas da função 
, pois:
O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é 
chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável 
x e é escrita por:
O símbolo ∫ é o símbolo da integral. A função f(x) é o 
integrando da integral e dx indica que se está integrando em 
relação à variável x.
Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela-
ção à variável x da seguinte maneira:
, onde C é chamada de constante de 
integração.
Capítulo 2 Integral Indefinida13
No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre-
vemos:
integrando 
 
antiderivada 
ou primitiva 
constante de 
integração
A integração e a diferenciação são operações inversas uma 
da outra. Verificamos esse fato substituindo-se F'(x) no integra-
do, obtendo-se:
 (a integração é o inverso da dife-
renciação)
Ainda, se , então podemos dizer que:
 (a diferenciação é o inverso da inte-
gração)
Assim, podemos obter fórmulas de integração diretamente 
das fórmulas de diferenciação, fazendo a operação inversa. O 
Quadro 2.1 a seguir enumera várias integrais simples ao lado 
das fórmulas das derivadas que as originaram.
14 Cálculo II
Quadro 2.1 Fórmulas de integrais e derivadas.
Capítulo 2 Integral Indefinida 15
Propriedades da integral indefinida:
(a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons-
tante por uma função, a constante pode ser deslocada 
para fora da integral, multiplicando-a:
(b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais:
(c) A integral de uma diferença é igual à diferença das 
integrais:
2.2 Exemplos
 1. Calcular as seguintes integrais:
16 Cálculo II
 
(fórmula 3, com n = -1/2)
 (propriedades (b) e (c) 
e fórmula 3)
Capítulo 2 Integral Indefinida 17
 2. Em cada caso a seguir, encontre a função )(xf conforme 
as condições iniciais:
a) 24)(' −= xxf , com 8)2( =f .
Veja que temos a derivada da função )(xf e queremos a 
função. Para obter essa função, basta integrarmos a função 
)(' xf :
Como 8)2( =f :
4
488
848
82.22.2 2
=
+−=
=+−
=+−
C
C
C
C
Logo: 422)( 2 ++−= xxxf 4
b) 26)('' 2 +−= xxxf , com 2)1(' =f e 3)0( =f .
Agora, conhecemos a derivada segunda. Integrando a 
derivada segunda )('' xf encontramos a derivada pri-
meira )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos 
).(xf Em cada passo, devemos usar as condições ini-
ciais dadas para calcular as constantes de integração. 
Então:
18 Cálculo II
 Como 2)1(' =f :
3
8
3
1322
223
3
1
21.21.3
3
1 23
=
−+−=
=++−
=++−
C
C
C
C
Logo: 
3
823
3
)(' 2
3
++−= xxxxf
Calculando )(xf :
Como 3)0( =f :
c) θθ )('' senf = , com 2)(' =πf e 5)( =πf .
Conhecemos a derivada segunda. Integrando a deri-
vada segunda )('' xf encontramos a derivada primeira 
Capítulo 2 Integral Indefinida 19
)(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos Em 
cada passo devemos usar as condições iniciais dadas 
para calcular as constantes de integração. Então:
∫ +−=→= cos)(' )(' Cfdsenf θθθθθ
Como 2)(' =πf :
1
21
2)1(
2)( cos
=
=+
=+−−
=+−
C
C
C
Cπ
Logo: 1 cos)(' +−= θθf
Calculando )( θf :
( )
1)(
1 cos)( 
Csenf
df
++−=
+−= ∫
θθθ
θθθ
Como :5)( =πf
π
π
ππ
−=
=++−
=++−
5
50
5)( 
1
1
1
C
C
Csen
Logo: πθθθ −++−= 5 )( senf
20 Cálculo II
2.3 Exercícios propostos I
 1. Calcule as integrais:
Capítulo 2 Integral Indefinida 21
 2. Em cada caso a seguir encontre a função f(x) conforme as 
condições iniciais:
a) xxf =)('' , com 1)0(' =f e 0)0( =f .
b) 12)('' 3 +−= xxxf , com 1)0(' =f e 0)0( =f .
c) 12)('' 3 +−= xxxf , com 0)1(' =f e 4)1( =f .
d) θθ cos)('' =f , com 1
2
' =




 πf e 6
2
=




 πf .
 3. Uma partícula começa a se mover em linha reta com ace-
leração 2
2
14)( tta −= (m/s2). Sabendo que inicialmente a 
partícula estava em repouso e que s(0) = 20 m, determine 
as funções velocidade e posição.
2.4 Respostas dos exercícios propostos I
 1. 
22 Cálculo II
2.5 Integração por substituição ou 
mudança de variável
O método da substituição ou mudança de variável é utilizado 
quando no integrando temos uma função composta gfo . Para 
isso, vamos examinar a regra da cadeia usada para calcular 
a derivada de funções compostas no ponto de vista da antide-
rivação.
Capítulo 2 Integral Indefinida 23
Seja, então, a função F uma antiderivada de f e que g 
seja uma função diferenciável. A derivada de ))(( xgF pode, 
pela regra da cadeia, ser expressa como
e, em forma integral, pode ser escrita como
sabendo que F é uma entiderivada de f , podemos escrever 
ainda na forma
Para facilitar nossos cálculos, será útil fazer )(xgu = e es-
crever ou . Assim, a última integral 
pode ser escrita na forma
O processo de escrever a integral na forma acima com a 
substituição de )(xgu = e é denominado méto-
do da substituição ou mudança de variável u.
24 Cálculo II
2.6 Exemplos
Exemplo 1: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x, substituímos u por 35 +x . Daí o resulta-
do final fica: Cx ++
5
)35( 5 .
Veja que escolhemos 35 += xu conveniente para substituir 
na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u 
e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, 
usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos 
u pela função de x para voltarmos à variável original da in-
tegral.
Para verificarmos se a integral está correta, basta derivar o 
resultado e comparar com o integrando (que devem ser iguais):
Capítulo 2 Integral Indefinida 25
Exemplo 2: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x, substituímos u por 17 2 −x . Daí o 
resultado final fica: 
Veja que escolhemos 17 2 −= xu conveniente para substi-
tuir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de 
u e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, 
usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos 
u pela função de x para voltarmos à variável original da in-
tegral.
Verificando se o resultado está correto:
26 Cálculo II
Exemplo 3: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Veja que escolhemos xu 2= conveniente para substituir na 
integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. 
Após integramos como se fosse uma integral simples, usando 
as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos u pela 
função de x para voltarmos à variável original da integral.
Verifique você o resultado, derivando.
Exemplo 4: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Capítulo 2 Integral Indefinida 27
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x fica: Cx +− 33 )2(
9
2
Exemplo 5: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
28 Cálculo II
Exemplo 6: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Exemplo 7: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Capítulo 2 Integral Indefinida 29
Exemplo 8: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Exemplo 9: Calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
30 Cálculo II
Exemplo 10: Calcule 
Solução: neste caso vamos usar a relação: Então 
temos:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Logo:
Sabendo que 
x cos
1 xsec = , temos:
Então a integral da tangente também pode ser escrita 
como:
Capítulo 2 Integral Indefinida 31
Exemplo 11: Calcule 
Nesse caso, não temos uma substituição mais evidente. Mas 
podemos fazer:
Substituindo na integral dada:
2.7 Exercícios propostos II
 1. Calcule as integrais:
32 Cálculo II
 2. Sabendo que 72)(´ += xxf e que f(2) = 0, calcule f(x).
 3. Sabendo que xxf 62)´´( −= e que e f(0) = 1, 
calcule f(x).
 4. A equação da velocidade de um corpo é v(t) = 5 + 9,8t, 
em unidades SI. Sabendo que s(0) = 10 m, determine a 
equação da posição s em função do tempo.
 5. Sabendo que )()(´ tsentf π= , com 2)2( =f , determine 
 6. No instante t = 0, um carro andando a uma velocidade 
de 96 pés/s começaa diminuir sua velocidade com desa-
celeração constante a = -12 pés/s2. Determine a função 
velocidade v(t) e a distância percorrida até parar.
2.8 Respostas dos exercícios propostos II
Capítulo 2 Integral Indefinida 33
2.9 Tabela – derivadas, integrais e 
identidades trigonométricas
 Â Derivadas: sejam u e v funções deriváveis de x e n 
constante.
 1. ny u= 1' 'ny nu u−⇒ = .
 2. y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = + .
 3. 
uy
v
= 2
' '' u v v uy
v
−
⇒ = .
 4. uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ .
 5. uy e= ' 'uy e u⇒ = .
 6. logay u= 
'' loga
uy e
u
⇒ = .
34 Cálculo II
 7. lny u= 1' 'y u
u
⇒ = .
 8. vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = + .
 9. seny u= ' ' cosy u u⇒ = .
 10. cosy u= ' ' seny u u⇒ = − .
 11. tgy u= 2' ' secy u u⇒ = .
 12. cotgy u= 
2' ' cosecy u u⇒ = − .
 13. secy u= ' ' sec tgy u u u⇒ = .
 14. cosecy u= ' ' cosec cotgy u u u⇒ = − .
 15. seny arc u= 
2
''
1
uy
u
⇒ =
−
.
 16. cosy arc u= 
2
''
1
uy
u
−
⇒ =
−
.
 17. tgy arc u= 2
''
1
uy
u
⇒ =
+
.
 18. coty arc g u= 2
'
1
u
u
−
⇒
+
.
 19. sec , 1y arc u u= ≥ 
2
'' , 1
1
uy u
u u
⇒ = >
−
.
Capítulo 2 Integral Indefinida 35
 20. cosec , 1y arc u u= ≥
2
'' , 1
1
uy u
u u
−
⇒ = >
−
.
 Â Integrais
 1. du u c= +∫ . 2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n
+
= + ≠ −
+∫ .
 3. lndu u c
u
= +∫ . 4. , 0, 1ln
u
u aa du c a a
a
= + > ≠∫ .
 5. u ue du e c= +∫ . 6. sen cosu du u c= − +∫ .
 7. cos senu du u c= +∫ . 
 8. tg ln secu du u c= +∫ .
 9. cotg ln senu du u c= +∫ .
 10. sec ln sec tgu du u u c= + +∫ .
 11. cosec ln cosec cotgu du u u c= − +∫ .
 12. sec tg secu u du u c= +∫ .
 13. cosec cotg cosecu u du u c= − +∫ .
 14. 2sec tgu du u c= +∫ .
36 Cálculo II
 15. 2cosec cotgu du u c= − +∫ .
 16. 2 2
1 tgdu uarc c
u a a a
= +
+∫ .
 17. 2 22 2
1 ln ,
2
du u a c u a
u a a u a
−
= + >
− +∫ .
 18. 2 2
2 2
lndu u u a c
u a
= + + +
+
∫ .
 19. 
2 2
1 secdu uarc c
a au u a
= +
−
∫ .
 20. 2 2
2 2
lndu u u a c
u a
= + − +
−
∫ .
 21. 2 2
2 2
sen ,du uarc c u a
aa u
= + <
−
∫ .
 Â Fórmulas de Recorrências
 1. 
1
2sen cos 1sen sen
n
n nau au nau du au du
an n
−
−− = − +  
 ∫ ∫ .
 2. 
1
2sen cos 1cos cos
n
n nau au nau du au du
an n
−
−− = +  
 ∫ ∫ .
 3. 
1
2tg tg
( 1)
n
n ntg auau du au du
a n
−
−= −
−∫ ∫ .
Capítulo 2 Integral Indefinida 37
 4. 
1
2cotgcotg cotg
( 1)
n
n nauau du au du
a n
−
−= − −
−∫ ∫ .
 5. 
2
2sec 2sec sec
( 1) 1
n
n nau tg au nau du au du
a n n
−
−− = +  − − ∫ ∫ .
 6. 
2
2cosec cotg 2cosec cosec
( 1) 1
n
n nau au nau du au du
a n n
−
−− = − +  − − ∫ ∫
.
 Â Identidades Trigonométricas
 1. 2 2sen cos 1x x+ = . 2. 2 21 tg secx x+ = .
 3. 2 21 cotg cosecx x+ = . 4. 2 1 cos 2sen
2
xx −= .
 5. 2
1 cos 2cos
2
xx += . 6. sen 2 2 sen cosx x x= .
 7. ( ) ( )2 sen cos senx y x y sen x y= − + + .
 8. ( ) ( )2 sen sen cos cosx y x y x y= − − + .
 9. ( ) ( )2 cos cos cos cosx y x y x y= − + + .
38 Cálculo II
Referências
Referências básicas
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom-
son Learning, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto 
Alegre: Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. 
Rio de Janeiro: Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 
2002.
Referências complementares
FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-
lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.
LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja-
neiro: LTC, 1992.
SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. 
São Paulo: Mc
SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 
1. São Paulo: 
Capítulo 2 Integral Indefinida 39
Leituras e sites recomendados
THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison 
Wesley, 2005.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: 
LTC,2003. v. 1 à 3.
HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli-
cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.
www.impa.br
www.sbem.com.br
www.somatematica.com.br
Aureo Martins1
Capítulo 3
Integral Definida
ÂÂNeste capítulo, iniciaremos com um problema para chegarmos ao cálculo de áreas de figuras planas. 
Veremos a Soma de Riemann, a definição de Integral De-
finida, a interpretação geométrica e suas propriedades. 
Estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que 
estabelece a ligação entre as operações de derivação e 
integração.
1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Capítulo 3 Integral Definida 41
3.1 Problema
Consideremos a função: 1)( 2 += xxf , contínua, cujo gráfico 
é dado abaixo.
Como calcular a área A da região entre o gráfico da fun-
ção f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x=0 a x=22.
Figura 3.1 Área de uma região.
Observe que não é fácil encontrar a área de uma região 
com lados curvos!
O cálculo dessa área pode ser feito por aproximação da 
figura dada por meio de outras figuras cujas áreas são conhe-
cidas até a exaustão, isto é, teremos que utilizar o conceito de 
42 Cálculo II
limite. Utilizaremos, nesse caso, o retângulo para facilitar os 
cálculos.
Primeiramente, vamos construir retângulos com a base no 
eixo x igual à largura da faixa de domínio e dividir o intervalo 
[0, 2] em 2 subintervalos, usando como altura a imagem do 
extremo direito de cada um desses subintervalos. Poderíamos 
usar como altura a imagem do extremo esquerdo ou até do 
centro de cada um desses subintervalos, mas vamos optar por 
usar a imagem do extremo direito.
Os subintervalos serão [0,1] e [1,2] e as alturas são os 
valores de 1)( 2 += xxf no extremo direito de cada um, isto é: 
211)1( 2 =+=f e .512)2( 2 =+=f
Figura 3.2 Decomposição da região em dois retângulos.
Capítulo 3 Integral Definida 43
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, 
obtemos 7 u.a.
Agora, vamos construir retângulos com a base no eixo x e 
dividir o intervalo [0,2] em 4 subintervalos.
Figura 3.3 Decomposição da região em quatro retângulos.
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, 
obtemos 5,75 u.a.
Vamos construir retângulos com a base no eixo x e dividir o 
intervalo [0,2] em 8 subintervalos.
44 Cálculo II
Figura 3.4 Decomposição da região em oito retângulos.
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, 
obtemos 5,19 u.a.
Podemos aproximar ainda mais, construindo retângulos 
com a base no eixo x e dividindo o intervalo [0,2] em 16 su-
bintervalos.
Capítulo 3 Integral Definida 45
Figura 3.5 Decomposição da região em 16 retângulos.
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, 
obtemos 4,90 u.a.
Assim, podemos observar que conforme aumentamos a 
quantidade de retângulos, o somatório das áreas desses retân-
gulos nos levam a aproximações cada vez melhores da área A 
da região entre o gráfico da função e o eixo x.
Logo, podemos definir a área A como o limite das somas 
das áreas dos retângulos aproximantes, quando a base do re-
tângulo no eixo x tender a zero:
46 Cálculo II
3.2 Soma de Riemann
Chamamos de Soma de Riemann o somatório ∑
=
∆=
n
k
kk xxfS
1
* )( , 
onde:
 Â n é o número de subintervalos no intervalo [ ]ba, ;
 Â kx∆ é o tamanho de cada subintervalo e
 Â *kx é um ponto qualquer do subintervalo.
Assim, diminuindo cada vez mais o tamanho dos subinter-
valos, fazendo a base tender a zero,obtemos a área A exata.
Quando o limite ∑
=
∞→
∆
n
k
kkn
xxf
1
* )(lim existe, ele é chamado de 
integral definida de a até b .
3.3 Definição de integral definida
Se f for uma função contínua definida por , dividimos 
o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais 
a nabx /)( −=∆ . Seja bxxxax n == ,...,,, 210 os extremos 
desses subintervalos, vamos escolher os pontos amostrais 
∗∗∗
nxxx ,...,, 21 nesses subintervalos de tal forma que 
∗
kx está no 
k-ésimo subintervalo [ kk xx ,1− ]. Então a Integral Definida de f de 
a para b é:
Capítulo 3 Integral Definida 47
Observações:
 1. Na notação 
 Â )(xf é chamado de integrando;
 Â a e b são os limites de integração, sendo a o limite infe-
rior e o b o limite superior;
 Â dx indica a variável de integração.
 2. O processo de calcular uma integral é chamado de inte-
gração.
 3. A integral definida é um número, portanto, não depende 
de x. Em vez de x, pode ser usada qualquer outra letra sem 
mudar o valor da integral.
 4. Se 0)( ≥xf , a integral definida pode ser interpretada 
como a área sob a curva da função )(xfy = , acima do 
eixo x e no intervalo de a até b (valor positivo).
Figura 3.6 Área positiva.
48 Cálculo II
 5. Se 0)( ≤xf , a integral definida pode ser interpretada 
como a área acima da curva da função )(xfy = , abaixo 
do eixo x e no intervalo de a até b (valor negativo).
Figura 3.7 Área negativa.
 6. Se f assumir valores positivos (o gráfico da função está 
acima do eixo x) e assumir valores negativos (o gráfico 
da função está abaixo do eixo x), a integral definida dará 
como resultado a diferença entre a área de valor positivo 
(A1) e a área de valor negativo (A2).
Figura 3.8 Área positiva e negativa.
Capítulo 3 Integral Definida 49
3.4 Interpretação geométrica da integral 
definida:
Interpretamos a integral definida como a área da região de-
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo das abscissas X’X e pelas 
retas paralelas ao eixo das ordenadas Y’Y que passam por a 
e por b, desde que 0)( ≥xf para todo x do intervalo de [a;b].
3.5 Propriedades da integral definida
50 Cálculo II
3.6 Teorema fundamental do cálculo
Estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o 
cálculo diferencial e o cálculo integral.
PARTE 1: Se f for contínua em [ ]ba, , então a função g de-
finida por , com bxa ≤≤ é contínua em [ ]ba, 
e diferenciável em ),( ba e )()(' xfxg = , ou escrevendo de 
outra maneira:
PARTE 2: Se f for contínua em [ ]ba, , então:
onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal 
que .' fF =
Essas duas partes do Teorema nos informam que a diferen-
ciação e a integração são processos inversos. O que a diferen-
ciação faz, a integração desfaz e vice-versa.
Observe que, na aplicação desse teorema, não há neces-
sidade de incluir uma constante de integração nas antideriva-
das, pois ela irá sumir. Usando o teorema teremos:
Capítulo 3 Integral Definida 51
Portanto, no cálculo da integral definida, podemos omitir a 
constante de integração.
Outra observação importante é sempre lembrar que o cálcu-
lo da integral definida só é correto se a função for contínua no 
intervalo de integração, pois, se desconsiderarmos essa premis-
sa, os resultados obtidos quase certamente não serão corretos.
Para calcular a Integral Definida, usaremos as Regras de In-
tegração, as propriedades e o Teorema Fundamental do Cál-
culo. Agora, retornaremos ao Problema do início do capítulo.
Problema
Como calcular a área A da região entre o gráfico da função: 
f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x= 0 a x=2 ?
52 Cálculo II
Solução: a área pedida é calculada usando a Parte 2 do 
Teorema Fundamental, cujo resultado dará a área exata abai-
xo do gráfico da função e acima do eixo das abscissas, no 
intervalo de x = 0 a x = 2, em unidades de área (u.a.):
Portanto, a área A exata entre o gráfico da função e o eixo 
x no intervalo de [0;2] é 4,67 unidades de área.
3.7 Exercícios resolvidos
 1. Aplicar as propriedades das integrais definidas:
a) Propriedade 1 – Achar: 
b) Propriedade 2 – Provar que 
c) Propriedade 3: Achar 
Capítulo 3 Integral Definida 53
 2. Achar a área sob a parábola 2)( xxf = de x=0 até x=2 
conforme o gráfico abaixo.
54 Cálculo II
 3. Achar a área sob a reta 2)( += xxf de x=0 até x=4 con-
forme o gráfico abaixo.
Solução: observe que o gráfico é uma reta e, portanto, a 
área demarcada no gráfico é uma figura que pode ser calcu-
lada sem a necessidade do uso do cálculo da integral. Usando 
a integral, teremos:
 4. Achar a área sob a parábola 1)( 2 += xxf de x=-2 até 
x=2 conforme o gráfico abaixo.
Capítulo 3 Integral Definida 55
 5. Achar a área do gráfico da função 3)( xxf = de x=-2 até 
x=2 conforme o gráfico abaixo.
56 Cálculo II
Solução: Observe que o gráfico da função de x=-2 a x=0 
está abaixo do eixo x (valor negativo) e de x=0 a x=2 está 
acima do eixo x (valor positivo).
Logo, se calcularmos a integral definida da função de x=-2 
a x=2, obteremos um resultado zero, porque a área abaixo do 
eixo x é igual à área acima do eixo x. Portanto, para acharmos 
a soma da área de x = -2 a x = 2, vamos calcular da seguinte 
forma:
1º) Na área de x = -2 até x = 0, vamos usar a propriedade 
2, que consiste em inverter os valores do intervalo de integra-
ção:
2º) Calcular a área de x = 0 até x = 2:
Logo, a área total será: A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 u.a.
Capítulo 3 Integral Definida 57
 6. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.
 7. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.
58 Cálculo II
 8. Calcular a área hachurada do gráfico.
 9. Calcular a área hachurada do gráfico.
Capítulo 3 Integral Definida 59
 10. Determine a área da região limitada pelos gráficos das 
funções: 0,2, 22 =+−== yxyxy conforme o gráfico 
abaixo.
 11. Determine a área da região limitada pelos gráficos das 
funções: e x=5 conforme o gráfico 
abaixo.
60 Cálculo II
 12. Resolva as seguintes integrais definidas, usando a segunda 
parte do Teorema Fundamental do Cálculo:
Capítulo 3 Integral Definida 61
62 Cálculo II
 13. Calcular a integral se =)(xf x2, se x < 2 e =)(xf
x + 2, se x ≥ 2.
 14. Calcular a integral 
A função modular: 2)( −= xxf é igual a 2)( +−= xxf se 
2<x e 2)( −= xxf se 2≥x , logo:
 15. Calcular a integral 
A função modular: 33)( −= xxf é igual a 33)( +−= xxf
se e 33)( −= xxf se 1≥x , logo:
Capítulo 3 Integral Definida 63
3.8 Cálculo de integrais definidas por 
substituição ou mudança de variável
Na seção 2.5 foi visto o método da substituição ou mudança de 
variável quando no integrando temos uma função composta.
Para calcular uma integral definida do tipo , 
vamos verificar dois métodos:
Primeiro método:
Calcula-se a integral indefinida e, após, utiliza-se o 
Teorema Fundamental para calcular a integral definida. 
Esse procedimento não requer modificação no intervalo 
de integração.
Exemplo 1: Calcule , usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
64 Cálculo II
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Segundo método:
Faz-se a substituição na integral definida e usa-se a re-
lação u = g(x) para substituir os limites de integração x = 
a e x = b pelos correspondentes limites de u = g(a) e u = 
g(b), produzindo uma nova integral definida: .
Exemplo 2: Calcule , usando o segundo 
método.
Solução:
Fazendo 
Mudando o intervalo de integração:
Se x = 1 então u = 12 +3 = 4 e x = 3 então u = 32 + 3 = 12
Exemplo 3: Calcule usando o primeiro e o se-
gundo método.
Capítulo 3 Integral Definida 65
Soluçãopelo primeiro método:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Solução pelo segundo método:
Fazendo 
Mudando o intervalo de integração:
Se x = 2 então u = 2 – 2 = 0 e x = 6 então u = 6 – 2 = 4
Verifica-se que o resultado da integral definida por substi-
tuição, tanto pelo primeiro quanto pelo segundo método, é o 
mesmo e, por conseguinte, a escolha do método a ser usado 
passa por uma questão de gosto e facilidade.
Exemplo 4: Calcule 
 
usando o primeiro método.
66 Cálculo II
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 5: Calcule usando o primeiro mé-
todo.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 6: Calcule usando o primeiro método.
Capítulo 3 Integral Definida 67
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 7: Calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 8: Calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
68 Cálculo II
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 9: Calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 10: Calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Capítulo 3 Integral Definida 69
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
3.9 Exercícios propostos
 1. Usar as propriedades das Integrais Definidas.
70 Cálculo II
 2. Calcular o valor das Integrais Definidas.
 3. Calcular as integrais:
Capítulo 3 Integral Definida 71
 4. Calcular as Integrais Definidas usando a regra da substitui-
ção.
 5. Determinar a área da região entre a curva da função e o 
eixo x no intervalo dado.
72 Cálculo II
Respostas:
 1. a) -6. b) 38. c) 4. d) 30. e) 230.
 2. a) 24 u.a. b) 8/3 u.a. c) 6 u.a. d) 1 u.a. 
e) π u.a.
 3. a)10,75 u.a. b) 37 u.a. c) 13 u.a. d) 8/5 u.a. 
e) 4 u.a.
 4. a) 1/8 u.a. b) 0,61 u.a. c) 0 u.a. d) 1/3 u.a. 
e) 1,78 u.a.
 5. a) 36 u.a. b) 5,33 u.a. c) 2,25 u.a. d) π u.a. 
e) 8,91 u.a.
Referências
Referências básicas
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom-
son Learning, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto 
Alegre: Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. 
Rio de Janeiro: Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 
2002.
Capítulo 3 Integral Definida 73
Referências complementares
FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-
lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.
LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja-
neiro: LTC, 1992.
SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. 
São Paulo: Mc
SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 
1. São Paulo: 
Leituras e sites recomendados
THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison 
Wesley, 2005.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: 
LTC,2003. v. 1 à 3.
HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli-
cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.
www.impa.br
www.sbem.com.br
www.somatematica.com.br
Janor Araujo Bastos
Capítulo 4
Aplicações da Integral 
Definida
ÂÂNeste capítulo, abordaremos algumas aplicações da integral definida, tais como áreas entre curvas, vo-
lumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força 
variável.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 75
4.1 Áreas entre curvas
Nos tempos antigos, o procedimento mais utilizado pelos ma-
temáticos para o cálculo de área era o método da exaustão, 
que consiste em aproximar a figura em questão por meio de 
outras, cujas áreas sejam conhecidas.
Hoje, conforme visto no Capítulo 3, sabemos que o valor 
da integral definida de uma função f é numericamente igual a 
área da região limitada pelo gráfico dessa função e o eixo das 
abscissas em um intervalo dado, se f for contínua nesse inter-
valo. Considerando a Figura 4.1.1 abaixo, temos:
Figura 4.1.1
76 Cálculo II
Partindo dessa mesma ideia, podemos calcular a área limi-
tada pelos gráficos de duas funções. Na figura 4.1.2, temos 
uma região limitada pelos gráficos das funções f(x) e g(x). Se 
integrarmos a função f(x) de a até b, teremos o valor da área 
da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo das abscissas e 
as retas x = a e x=b. Se integrarmos a função g(x) de a até 
b teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico da 
g(x) o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b. Se da área 
limitada na parte superior pelo gráfico de f(x) subtrairmos a 
área limitada na parte superior pelo gráfico de g(x), teremos a 
área sombreada que procuramos. Então:
A área da região limitada pelo gráfico de f(x) será 
A área da região limitada pelo gráfico de g(x) será 
.
Subtraindo A1 de A2, temos a área A, ou seja:
 desde que f(x) > g(x) 
em todo intervalo [a; b].
Usando as propriedades das integrais, podemos escrever:
Obs.: Devermos subtrair a função cujo gráfico está limitan-
do por cima da função cujo gráfico está limitando por baixo 
naquele intervalo.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 77
Figura 4.1.2
Exercícios resolvidos:
 1. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 no intervalo [0; 1].
Solução:
Observando a figura, vemos que, no intervalo considerado, o 
gráfico de f(x) = 2x+1 é a fronteira superior e gráfico de g(x) 
= x2 é a fronteira inferior. Então, a área será:
Figura 4.1.3
78 Cálculo II
 2. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções y = x e y = x2.-1.
Solução:
Observe que não foram fornecidos os limites de integração. 
Nesse caso, devemos considerar os pontos onde os dois gráfi-
cos de interceptam, que são os pontos onde as funções têm o 
mesmo valor. Então, fazendo:
x + 1 = x2-1
ou
x2 – x – 2 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos x1 = -1 e x2 = 2, que 
são os valores de x dos pontos onde os gráficos se interceptam 
e que representam os limites da área procurada.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 79
Figura 4.1.4.
A região está limitada por cima pela reta e por baixo pela 
parábola. Então a área será dada pela integral da equação da 
reta menos a equação da parábola. Logo:
80 Cálculo II
 3. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções y = x + 1 e y = X2.-1 e pelas retas x = 0 e x = 3.
Solução:
Figura 4.1.5
Observando o gráfico, podemos verificar que no intervalo 
(0; 2) a região está limitada na parte superior pela reta e no 
intervalo (2; 3) pela parábola. Então devemos fazer a integra-
ção em cada um dos intervalos separadamente. No intervalo 
(0; 2), a fronteira superior é feita pela reta, então, devemos in-
tegrar a equação da reta menos a equação da parábola e, no 
intervalo (2; 3), onde a fronteira superior é feita pela parábola,devemos integrar a equação da parábola menos a equação 
da reta, ou seja:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 81
 4. Achar a área de região delimitada pelas curvas 
.
Solução:
A figura mostra os gráficos e a região.
Figura 4.1.6
82 Cálculo II
Observe que a fronteira inferior consiste em porções de 
dois gráficos diferentes, por isso não podemos obter a área 
utilizando apenas uma integral definida. Devemos considerar 
uma integral das funções y = x + 6 e x
2
1- =y no intervalo 
(-4; 0), pois a região é limitada por essas duas retas nesse in-
tervalo, e a outra integral com as funções y = x + 6 e y = x3 
no intervalo (0; 2), que são as fronteiras superior e inferior da 
região nesse intervalo.
 5. Calcule a área da região limitada pelos gráficos das fun-
ções
 .
Solução:
A região está ilustrada na figura abaixo.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 83
Figura 4.1.7
Como no exemplo anterior, devemos dividir o intervalo em 
duas partes e integrar 4xye4xy +−=+= no inter-
valo (– 4; – 3) e 2xye4xy +=+= no intervalo (– 3; 0). 
Então temos:
84 Cálculo II
Mas, se considerarmos x em função de y, teremos menos 
trabalho. Veja:
2yx2xy
4yx4xy4xy 22
−=⇒+=
−=⇒+=⇒+=
Nessas condições, a região está delimitada à direita pela 
reta x = y – 2 e à esquerda pela curva x = y2 – 4. Então, deve-
mos realizar a integração dessas funções em relação à y.
Nesse caso, fazemos apenas uma integral da fronteira di-
reita menos a fronteira da esquerda, ou seja:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 85
Exercícios propostos
 1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das 
funções e calcule sua área em cada caso abaixo.
86 Cálculo II
Respostas
a) .a.u
2
9
 
b) .a.u3 
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 87
c) 
d) .a.u
3
242







 +
 
88 Cálculo II
e) .a.u
2
1
 
f) 
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 89
g) ( ) ..12
3
4 au− 
4.2 Sólidos de revolução
Se fizermos girar uma região em torno de uma reta, o resul-
tado será um sólido de revolução. Por exemplo, ao girarmos 
um retângulo com um dos lados fixo a uma reta, teremos um 
cilindro circular reto; se girarmos triângulo retângulo com um 
dos catetos fixo em uma reta, termos um cone circular reto; 
se girarmos um semicírculo com extremidade do diâmetro fixo 
na reta, teremos uma esfera. Dizemos que a reta é o eixo de 
revolução e que o sólido foi gerado pela região.
90 Cálculo II
 
 
 
(c) 
x 
y 
(b) 
x 
y 
r=f(x) 
(a) 
x 
y 
(d) 
x 
y 
Figura 4.2.1.
Se interceptarmos um sólido de revolução com um plano 
perpendicular ao eixo x, obteremos uma secção transversal 
circular. Se o plano cortar o eixo x no ponto x = a, o raio do 
círculo é f(a), e sua área será [ ]2)(afπ .
Se um sólido está entre x=a x=b, a área da secção trans-
versal é A(x), e A(x) é uma função contínua, utilizando a soma 
de Riemann, podemos escrever uma definição para o volume 
dos sólidos de revolução:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 91
Como nos sólidos de revolução a secção transversal será 
sempre um circulo de área [ ] ,)( 2xfA π= o volume do sólido 
é dado por:
No caso do cilindro, f(x) = r é uma função constante, onde 
f(x) é o raio do círculo, base do cilindro cuja área é 2.rπ . Então:
altura do cilindro. 
Figura 4.2.2
Exercícios resolvidos
 1. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região R delimitado pelo gráfico da função 
f(x) = 3 e as retas x = 1 e x = 5 em torno do eixo x.
92 Cálculo II
Solução:
A Figura 4.2.3 mostra a região R, e o sólido por ela gerado 
é um cilindro circular reto mostrado na Figura 4.2.2. Devemos 
integrar a função f(x) = 3 de 1 até 5.
Figura 4.2.3
 2. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da re-
gião sob a curva xy = em torno do eixo x entre 0 e 4. 
Esboce a região e o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.4 mostra a região e o sólido gerado.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 93
 
Figura 4.2.4
Devemos integrar a função xy = de 0 até 4.
 3. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 
+ 2 e o eixo x entre -1 e 2, e calcule o volume do sólido 
94 Cálculo II
gerado pela rotação da região em torno do eixo x. Esboce 
o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.5 mostra a região e o sólido gerado
 
Figura 4.2.5.
 4. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 
entre y = 2 e y = 4 e calcule o volume do sólido gerado 
pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce o sólido 
aproximado típico.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 95
Solução:
A Figura 4.2.6 mostra a região e o sólido gerado.
Figura 4.2.6
Como a região está girando em torno do eixo y, devemos 
fazer a integração em relação a y. Para que isso seja possível, 
a equação y = x2 + 2 deve ser escrita em função de y, ou seja:
 5. Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções 
xy = e xy
2
1
= de y = 0 até y = 4 e calcule o volume 
do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do 
eixo x. Esboce o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.7 mostra a região e o sólido gerado.
96 Cálculo II
Figura 4.2.7.
 6. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região 
delimitada pelos gráficos das funções y = 6 e y = x + 1 
em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região 
e do sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.8 mostra a região e o sólido gerado.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 97
 
Figura 4.2.8
98 Cálculo II
 7. Repita o exemplo 5 com a região girando em torno do eixo y.
Solução:
A figura 4.2.9 mostra a região e o sólido gerado.
Figura 4.2.9
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 99
Exercícios propostos
 1. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da re-
gião limitada pelas curvas em torno da reta especificada. 
Faça um esboço da região e do sólido.
g. Repita o exercício f fazendo a região girar em torno do 
eixo y.
Respostas
Aplicações à física e à engenharia
Definição:
Se uma força constante F atua sobre um objeto, fazendo-o 
mover-se por uma distância d na direção da força, é dado por:
100 Cálculo II
W = F.d
No caso da força F ser variável, temos:
Se f(x) é uma força e se f é contínua em um intervalo [a; 
b], o trabalho W realizado para mover um objeto de x = a até 
x = b é:
Pela lei de Hooke, a força f(x) necessária para distender 
uma x unidades além do seu comprimento natural é dada por:
f(x) = kx, onde k é uma constante chamada constante da 
mola.
Exemplos:
 1. Calcular o trabalho para distender uma mola de seu com-
primento normal de 20 cm até 30 cm, sabendo que, para 
distendê-la 5 cm, é necessária uma força de 40 N.
Solução:
Devemos primeiramente determinar a constante k da mola.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 101
 2. Um cabo de 10 m de comprimento e pesando 25 pende 
verticalmente do topo de um edifício. Uma barra de ferro 
de 80 kg presa na extremidade inferior do cabo. Calcular 
o trabalho para transportar a barra até o topo do edifício.
Solução:
O trabalho para transportar a barra de ferro até o topo é:
O trabalho para elevar o cabo:
Considerando a extremidade inferior do cabo na origem 
do eixo y e a extremidade superior em y = 10. Consideremos 
dy o incremento do comprimento do cabo. Como cada metro 
pesa 2,5 kg o peso do incremento é 2,5 dy. Consideremos y a 
distância de 0 até o ponto de incremento.
Temos:
Incremento da massa: 2,5 dy
Distância percorrida: 10 – y
Incremento do trabalho: (10-y).g.2,5dy
Então:102 Cálculo II
Exercícios propostos
 1. Um gorila de 180 kg de peso sobe uma árvore de 5 me-
tros em 10 segundos. Calcule o trabalho realizado pelo 
gorila para chegar ao topo da árvore.
9000 N-M
 2. Uma mola de 25 cm de comprimento natural sofre uma 
distensão de 3,8 cm sob um peso de 35 N. Ache o traba-
lho realizado para distender a mola:
a) de seu comprimento para 35,5 cm R= 507 J
b) de 28 cm para 33 cm R = 253,3
Referências bibliográficas
ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu-
lo, Vol. 2, 8ª edição. Editora Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, Vol. 2, 
7ª edição. Editora LTC, 2003.
LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica, Vol I. 
Editora Harbra. São Paulo.
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. 10ª Ed. 
Em língua portuguesa. Lopes da Silva editora, Porto: 1992.
STEWART, James. Cálculo, Vol. 2, 6ª edição. Editora Cengage 
Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São 
Paulo: Makron Brooks.
Ana Brunet1
Capítulo 5
Funções Logarítmicas, 
Exponenciais e 
Hiperbólicas
Introdução
Neste capítulo, vamos apresentar a função logaritmo natural 
a partir da necessidade de uma primitiva para a função 1/t no 
cálculo integral. Sua inversa será definida e, com ela, o núme-
ro e. As funções hiperbólicas aparecem em muitas aplicações 
das ciências naturais e engenharia. Veremos que tais funções 
são combinações de funções exponenciais.
1 Mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.
104 Cálculo II
A função logaritmo natural
No Capítulo 2, Integrais Indefinidas, vimos a operação de inte-
gração como inversa da derivada. A regra de integração para 
funções do tipo xr, com r racional e diferente de – 1, foi apre-
sentada como:
e para r = -1, como:
Em (*) é fácil ver que a derivada da função dada como a 
primitiva é a função integrando, o que ratifica a fórmula. Po-
rém para justificar (**) precisaremos do Teorema Fundamental 
do Cálculo enunciado no Capítulo 3.
Primeiro, vamos observar o gráfico da função 1/t na Figura 
5.1 para valores positivos de t.
Figura 5.1 Gráfico da função 1/t.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 105
Podemos ver que existe uma região entre o gráfico da fun-
ção e o eixo das abscissas. Se considerarmos um intervalo de 
números positivos [a, b], então terá uma região limitada pelas 
curvas y = 1/t, y = 0, t = a e t = b (Figura 5.2). Vimos no 
Capítulo 3 que a área dessa região, já que a função assume 
valores positivos nesse intervalo, é dada pela integral definida:
Figura 5.2 Região limitada pelo gráfico de y = 1/x, y = 0, x = a e x = b.
Definimos a função logaritmo natural (Notação: y = ln x) 
por:
onde
106 Cálculo II
Consequências da definição
Das propriedades da integral definida, decorre o estudo do 
sinal da função ln.
Para x = 1, temos:
Para x = c > 1, temos:
Nesse caso, o valor da integral coincide com o valor da 
área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = 1 e t 
= c. Isto é, a função ln assume valores positivos para x > 1.
Para x = c, com 0 < c <1, temos:
Para valores de c entre zero e um, a área da região limitada 
pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = c e t = 1 é dada pelo cálcu-
lo da integral definida com limite inferior igual a c e superior 
igual a 1, pois c < 1. Então a função ln assume valores nega-
tivos no intervalo (0, 1).
Vamos apresentar, de maneira intuitiva, o estudo do com-
portamento da função logaritmo natural ao x tender ao infinito 
e ao x tender a zero pela direita. Iniciaremos com o limite no 
infinito.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 107
A ideia geométrica desse limite é o cálculo da área da re-
gião não limitada representada na Figura 5.3.
Figura 5.3 Área sob o gráfico de y = 1/t com t >1.
A Figura 5.4 nos fornece uma visualização de uma aproxi-
mação por falta da integral procurada.
Figura 5.4 Aproximação por falta da área abaixo do gráfico de y = 1/t 
com t > 1.
108 Cálculo II
O que estamos fazendo aqui é parecido com a Soma de 
Riemann quando se toma para aumento o limite superior do 
subintervalo de tamanho unitário, porém o intervalo não é li-
mitado superiormente. Podemos escrever, então:
mas
e
Ou seja, estamos somando ½ infinitas vezes, o que resulta 
em uma soma infinita. Assim,
O estudo do comportamento da função logaritmo natural 
ao x tender a zero pela direita pode ser realizado de forma 
parecida. Nesse caso, o limite resulta em menos infinito.
A função 1/t é contínua para valores positivos de t, então a 
parte I do Teorema Fundamental do Cálculo fornece:
Ou seja, a derivada da função logaritmo natural é 1/x.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 109
Em geral, se temos:
Assim, por exemplo, para calcularmos a derivada da fun-
ção procedemos da seguinte maneira:
Gráfico da função Logaritmo Natural
Vimos que a derivada da função ln é 1/x. Logo, ln é cres-
cente em todo seu domínio, pois 1/x é positiva nesse intervalo. 
Além disso, a função não apresenta pontos críticos, pois sua 
derivada é contínua e sempre diferente de zero em A 
derivada de segunda ordem é -1/x2, função que é sempre ne-
gativa quando assume valores em Portanto, a função ln 
é côncava em todo seu domínio. Vimos, também que:
Desse modo, o gráfico da função Logaritmo Natural pode 
ser representado como na Figura 5.5.
110 Cálculo II
Figura 5.5 Gráfico da função ln.
Diferenciação Logarítmica
Podemos utilizar a função logaritmo e suas propriedades 
para calcular derivadas de funções do tipo uv, onde u e v são 
funções de x. Por exemplo, para calcular a derivada da função 
 podemos proceder do seguinte modo:
Derivando membro a membro, lembrando que e 
usando a regra da derivada do produto, vem:
isto é,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 111
logo,
Como podemos escrever:
Um caso particular da aplicação da diferenciação loga-
rítmica é o cálculo da derivada da função exponencial y = 
ax, com a > 0. Para tanto, procedemos da mesma forma do 
exemplo anterior. Porém, nesse caso, a é uma constante real 
positiva.
Derivando membro a membro, vem:
ou seja,
Como y = ax, podemos escrever:
Em geral, se temos:
112 Cálculo II
Então a derivada da função y = 53x+2, por exemplo, pode 
ser determinada pela fórmula acima:
Para calcularmos a derivada da função logaritmo em uma 
base a qualquer, com pode-
mos escrever esse logaritmo como um logaritmo natural por 
mudança de base. Ou seja,
Daí, como a é constante, portanto ln a também, temos:
isto é,
em geral,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 113
Por exemplo, a derivada da função é:
A diferenciação logarítmica também pode facilitar o cálcu-
lo da derivada de funções em que suas expressões envolvem 
quocientes, produtos e potências. Por exemplo, vamos usar 
diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função 
Aplica-se a função ln em ambos os lados:
Usa-se as propriedades da função ln:
Como ln e = 1, vem:
114 Cálculo II
Derivando membro a membro, obtemos:
isto é,
ou seja,
Experimente encontrar a derivada da função y dada pelas 
regras de derivação anteriores, você perceberá que a diferen-
ciação logarítmica facilita os cálculos.
A função exponencial natural
A função Logaritmo Natural é contínua e bijetora, então ad-
mite inversa. Definimos a função Exponencial Natural como 
a inversa da função Logaritmo Natural. (Notação: y = exp x) 
Então:
onde
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 115
Para determinarmos a derivada da função Exponencial Na-
tural, vamos derivar membro a membro a segunda parte dessa 
equivalência e usar o fato de quey = exp x é uma função que 
depende da variável x. Daí vem:
ou seja,
isto é,
Mas y = exp x, então:
Assim, a derivada da função Exponencial Natural é ela 
mesma!
Definimos o número e como aquele cujo logaritmo natural 
assume o valor 1. Ou seja, ln e = 1. Pela definição, temos:
Decorre daí que exp x = ex, pois:
Mas, pela propriedade dos logaritmos, é possível escrever:
116 Cálculo II
Então podemos reescrever a derivada da função Exponen-
cial Natural como:
Em geral, se vem:
Por exemplo,
O gráfico da função Exponencial Natural (Figura 5.6) pode 
ser obtido pela reflexão em relação à reta y = x.
 
Figura 5.6 Gráfico da função y = ex.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 117
Funções hiperbólicas
Catenária é o nome que se deu à curva como as que fios sus-
pensos apresentam (Figura 5.7). Por muito tempo, procurou-se 
uma parábola para descrever essa curva, porém a função que 
a descreve envolve as funções e x e e – x.
Figura 5.7 Uma catenária.
As funções que estudaremos agora são chamadas funções 
hiperbólicas. As funções e x e e – x estão envolvidas em suas 
leis de formação e possuem esse nome porque têm com a 
hipérbole a mesma relação que as funções trigonométricas 
possuem com o círculo, como ilustram as Figura 5.8 e 5.9. 
Além disso, as funções hiperbólicas se relacionam entre si de 
maneira semelhante às trigonométricas. Mais especificamente, 
são denominadas de seno hiperbólico, cosseno hiperbóli-
co, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante 
hiperbólica e cossecante hiperbólica e definidas por:
118 Cálculo II
O domínio das funções seno e cosseno hiperbólico são 
todos os reais, bem como o domínio das funções secante e 
tangente hiperbólicas, pois o cosseno hiperbólico não possui 
raiz real. Já as funções cossecante e cotangente hiperbólicas 
possuem domínio em isto é, em todos os reais menos no 
zero, pois a função seno hiperbólico se anula em x = 0.
Uma catenária, como a representada na Figura 5.7, possui 
equação da forma:
 
Figura 5.8 Ponto P sobre o círculo. Figura 5.9 Ponto P sobre a hipérbole.
Os valores reais de t que determinam P(cos t, sen t) sobre o 
círculo de raio unitário e centro na origem podem ser interpretados 
como a medida, em radianos, do ângulo CÔP e representa o do-
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 119
bro da área do setor circular da região sombreada na Figura 5.8. 
Já os valores reais de t que determinam P(cosh t, senh t) sobre o 
ramo direito da hipérbole não representa ângulo, porém nos forne-
ce o dobro da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 5.9.
Identidades Hiperbólicas
Algumas identidades hiperbólicas são:
Pelas duas últimas identidades apontadas, vemos que a 
função seno hiperbólico é uma função ímpar e cosseno hiper-
bólico é uma função par. Essa informação é útil em muitas si-
tuações, como no cálculo de integrais definidas, por exemplo. 
Essas identidades são de fácil verificação. Por exemplo, vamos 
verificar que:
120 Cálculo II
Derivada de funções hiperbólicas
Outra semelhança das funções hiperbólicas com as trigono-
métricas são as fórmulas de derivação. Observe a lista das 
derivadas das funções hiperbólicas:
Essas regras podem ser combinadas com a Regra da Ca-
deia. Por exemplo,
Outro exemplo,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 121
Gráfico das funções hiperbólicas
Apresentaremos os gráficos das funções hiperbólicas, mas in-
dicaremos somente a construção da função seno hipérbólico. 
Para tanto, vamos estudar o comportamento dessa função pe-
los recursos do cálculo.
Já vimos que a derivada da função seno hiperbólico é a 
função cosseno hiperbólico, e que a derivada da função cos-
seno hiperbólico é o seno hiperbólico. Então, a derivada se-
gunda da função seno hiperbólico é a própria seno hiperbóli-
co. Isto é,
Para x = 0, se anula e é o único valor real de x que essa 
expressão assume o valor zero. Portanto, é a única raiz real 
dessa função. Para x < 0, a função assume valores negativos 
e, para x > 0, assume valores positivos. Sua derivada , não 
se anula, portanto não existem pontos críticos e, além disso, 
 é sempre positiva, o que indica função crescente em todo 
seu domínio. A derivada segunda possui uma raiz em x 
= 0 a qual não é ponto crítico da função, portanto é ponto de 
inflexão. Temos, também, negativa para x < 0 e positiva 
para x > 0, então a função é convexa para x < 0 e côncava 
para x > 0. O estudo do limite no infinito dessa função nos dá 
infinito negativo no menos infinito e infinito positivo no infinito.
122 Cálculo II
Figura 5.10 Gráfico da função seno hiperbólico.
As Figuras 5.11 e 5.12 apresentam os gráficos das funções 
cosseno e tangente hiperbólicas, os quais podem ser construí-
dos pelos recursos do cálculo como apresentado para o seno 
hiperbólico, assim como os gráficos das demais funções hiper-
bólicas. Nesse momento, você pode usar um recurso gráfico 
como uma calculadora gráfica ou software matemático para 
construir ou verificar sua construção.
Figura 5.11 Gráfico da função cosseno hiperbólico.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 123
Figura 5.12 Gráfico da função tangente hiperbólica.
Recapitulando
Usamos a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para 
definir a função logaritmo natural como a primitiva da função 
1/t. Seu domínio são os reais positivos e sua imagem os reais. 
Por ser uma função bijetora, a função logaritmo admite inversa 
que é a função exponencial natural y = ex. Seu domínio é o 
conjunto dos números reais e sua imagem os reais positivos. 
Com a função logaritmo e suas propriedades, podemos deri-
var funções nas quais a variável aparece na base e no expoen-
te, chamada derivação logarítmica.
As funções hiperbólicas são combinações das funções ex 
e e-x. Por sua ampla aplicação nas ciências naturais e enge-
nharia, merecem atenção especial e foram apresentadas neste 
capítulo.
124 Cálculo II
Referências
ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu-
lo, Vol. 2, 8ª edição. Editora Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, Vol. 2, 
7ª edição. Editora LTC, 2003.
STEWART, James. Cálculo, Vol. 2, 6ª edição. Editora Cengage 
Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São 
Paulo: Makron Brooks.
Atividades
 1. Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada 
da função y dada em cada item.
 2. Use as definições das funções hiperbólicas para verificar 
as identidades hiperbólicas apresentadas neste capítulo.
 3. Encontre y’ e y’’.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 125
 4. Encontre o ponto da curva em que a reta tan-
gente possui inclinação 1.
 5. Esboce o gráfico de cada função.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Verifique que as funções y1 = senh x e y2 = cosh x são 
soluções da equação diferencial: y’’ – y = 0.
Gabarito
126 Cálculo II
 2. Use as ideias apresentadas na identidade verificada neste 
capítulo.
 4. (0,0)
 6. Calcule a derivada segunda de y1 e substitua na equação. 
Verifique que ao substituir y1’’ e y1 na equação, obtém uma 
identidade. O mesmo ocorre com y2.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 6
Integração por Partes
Introdução
Quando não podemos ajeitar o integrando de uma integral 
para utilizar uma das fórmulas de integração vistas nos ca-
pítulos anteriores, devemos buscar métodos para resolver a 
integral.
O primeiro método de integração que vamos estudar é o 
método de integração por partes. Essa técnica é utilizada 
principalmente quando o integrando é formado pelo produto 
de duas funções, geralmente uma função algébrica e uma fun-
ção não algébrica, como, por exemplo, 
1 Mestre, Professorda Universidade Luterana do Brasil.
128 Cálculo II
6.1 O método da integração por partes
O método da integração por partes baseia-se na derivada do 
produto, vista nos Capítulos 6 e 7 do livro de Cálculo I.
Se u e v são funções de x, a regra da derivada do produto 
é escrita na forma:
Ou simplesmente: 
Se u e v são contínuas, podemos integrar ambos os lados 
dessa equação;
Reescrevendo essa integral, isolando o termo fica-
mos com:
 
 (1)
Que é a fórmula utilizada na integração por partes.
Veja que essa fórmula expressa uma integral (primeiro 
membro da equação) em função de uma outra integral (no 
Capítulo 6 Integração por Partes 129
segundo membro da equação). Dependendo das escolhas de 
u e , a integral do segundo membro pode se tornar mais 
fácil ou mais complicada para resolver.
6.2 Exemplos
Exemplo 1: Calcular 
O primeiro passo é escolher u e apropriados, para que 
possamos ter uma integral mais simples no segundo membro 
da fórmula (1).
Assim, vamos fazer: 
Logo: 
Aplicando na fórmula (1):
 
A integral do segundo membro é bem mais simples, fican-
do o resultado final:
130 Cálculo II
Veja o que ocorre se escolhermos da seguinte manei-
ra, isto é, fazendo:
No segundo membro da igualdade, a integral 
é mais complicada do que a integral do primeiro membro. 
Nesse caso, devemos fazer novamente a integração por partes 
para essa integral e conforme escolhermos os novos u e 
para essa integral, pode-se ter uma nova integral por partes 
mais complicada, e assim por diante, nunca chegando ao fim.
Quando vamos aplicar a fórmula (1), o primeiro passo é 
escolher qual o fator do integrando será . A expressão que 
escolhermos para deve vir acompanhada pelo diferencial 
. O restante do integrando será u . Calculamos, então v e 
. Em geral, chamamos de a parte mais complicada do 
integrando que pode ser logo integrada.
Capítulo 6 Integração por Partes 131
O mais importante na integração por partes é decidir o 
produto inicial de modo que se obtenha o produto 
mais fácil para integrar. De modo geral:
 Â Escolha u de modo que seja mais simples do que a 
própria u .
 Â Escolha de modo que possa ser facilmente 
calculada.
Exemplo 2: Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Exemplo 3: Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
132 Cálculo II
Exemplo 4: Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Exemplo 5: Nesse exemplo, vamos integrar por partes mais 
de uma vez.
Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 133
Exemplo 6: Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
134 Cálculo II
Podemos então reduzi-las a uma só:
OBS.: Resolva essa integral novamente, mas chamando ini-
cialmente xu cos= e 
Exemplo 7: Calcular Veja que essa é uma inte-
gral definida.
Primeiro vamos calcular a integral como se fosse 
uma integral indefinida:
Fazendo: xu = , então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 135
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 8: Calcular Veja que essa tam-
bém é uma integral definida.
136 Cálculo II
Primeiro vamos calcular a integral como se fosse 
uma integral indefinida:
Fazendo: xu = , então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 9: Calcular a área da região limitada pelo gráfico 
da função o eixo x, desde x = 1 até x = 2.
Capítulo 6 Integração por Partes 137
A seguir o gráfico da função:
A área será calculada pela integral: .
Cálculo da integral indefinida: 
Fazendo: , então e , então 
.
Substituindo na fórmula (1): , temos:
138 Cálculo II
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 10: A velocidade de um móvel varia em função do 
tempo de acordo com a função , no Sistema Interna-
cional. Sabendo que sua posição inicial é a origem, determine 
sua posição no instante t e no instante 10 segundos.
A posição é calculada pela integral da velocidade. Cha-
mando de s(t) a posição em função do tempo, temos: 
. Logo:
 (que é uma integral por 
partes).
Fazendo: tu = , então e , então 
.
Substituindo na fórmula (1): , temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 139
Como a posição inicial é a origem, temos .0)0( =s Logo:
Então a posição em função do tempo t é dada por: 
.
A posição no instante t = 10 segundos é:
140 Cálculo II
6.3 Exercícios propostos
 1. Calcule as integrais:
a) f) k) 
b) g) l) 
c) h) m) 
d) i) n) 
e) j) o) 
6.4 Respostas dos exercícios propostos
Capítulo 6 Integração por Partes 141
Referências
Referências básicas
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom-
son Learning, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto 
Alegre: Bookman, 2007.
142 Cálculo II
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. 
Rio de Janeiro: Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 
2002.
Referências complementares
FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-
lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.
LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja-
neiro: LTC, 1992.
SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. 
São Paulo: Mc
SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 
1. São Paulo: 
Leituras e sites recomendados
THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison 
Wesley, 2005.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: 
LTC,2003. v. 1 à 3.
Capítulo 6 Integração por Partes 143
HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli-
cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.
www.impa.br
www.sbem.com.br
www.somatematica.com.br
Agostinho Iaqchan1
Capítulo 7
Integrais de Potências de 
Funções Trigonométricas
ÂÂ Para a resolução das integrais de potências de Funções Trigonométricas, é necessário, na maioria das vezes, a 
substituição da função trigonométrica por outra variável 
de integração e o uso da regra da substituição para a 
resolução da integral. Em várias situações, para que se 
identifique a derivada da variável adotada, faz-se neces-
sário o emprego das identidades trigonométricas.
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 145
Para as funções trigonométricas na forma 
 é possível resolver aplican-
do diretamente a regra da substituição de maneira. Por exem-
plo, a função possui uma função trigonométrica 
na potência 3 e é resolvida utilizando a regra da substituição:
146 Cálculo II
Para a função não é possível resolver a sua integral 
utilizando uma fórmula básica de integração ou diretamente 
por meio da regra da substituição como no exemplo anterior, 
pois não temos um du disponível. Nesse caso, é necessário o 
uso de uma identidade trigonométrica então, utilizando algu-
ma fórmula de integração, resolver a integral.
Primeiro reescrevemos a função em um produto de fatores 
separando um 
resolvendo a integral simples de
para , temos que
Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 147
utilizando a regra de substituição
Para função reescrevemos a função de maneira que 
a integral fique em um produto de fatores separando um 
148 Cálculo II
Calcule:
OBS.: De modo geral, para Integrais de funções 
 para k um número inteiro positivo ímpar, 
ou seja, reescreve-se as funções de modo que
Capítulo 7 Integraisde Potências de Funções Trigonométricas 149
O mesmo método deve ser realizado para resolver
Para o caso das integrais de funções 
para k um número inteiro positivo par, utiliza-se as identidades 
dos ângulos-metade, de modo que
Para a função a integração será realizada reescre-
vendo a função seno e
150 Cálculo II
Calcule:
Quando for o caso de Integrais de funções 
 Â para m um número inteiro positivo par e deve-
-se reescrever a função trigonométrica separando um 
fator e substituir os demais fatores por 
 e então, utilizar a regra da substituição com 
 ou
 Â para n um número inteiro positivo ímpar e deve-
-se reescrever a função trigonométrica separando um 
fator substituir por 
e utilizar a regra da substituição com 
Para a integração da função primeiro rees-
creve-se a função secante em potências de 2 e depois utiliza-
-se a identidade 
Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 151
Para a integração da função primei-
ro reescreve-se a função trigonométrica separando um fator 
 para ser utilizado na regra da substituição, pois 
para com 
152 Cálculo II
Calcule:
Quando for o caso de Integrais de funções 
 Â para m um número inteiro positivo par e de-
ve-se reescrever a função trigonométrica separando 
um fator e substituir os demais fatores por 
 e então, utilizar a regra 
da substituição com ou
 Â para n um número inteiro positivo impar e 
deve-se reescrever a função trigonométrica separando 
um fator substituir por 
 e utilizar a regra da substituição com 
Para a integração da função primeiro 
reescreve-se a função cossecante em potências de 2 e depois 
utiliza-se a identidade 
Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 153
Para a integração da função primei-
ro reescreve-se a função trigonométrica separando um fator 
 para ser utilizado na regra da substituição, 
pois para 
Para os demais produtos 
 que não atendem às condições neces-
154 Cálculo II
sárias para utilizar os métodos apresentados, deve-se reduzir o 
produto a uma das funções trigonométricas.
Exemplificando a integração do produto te-
mos:
Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 155
156 Cálculo II
Referências Bibliográficas
GEORGE F. S. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 
1. McGraw-Hill, São Paulo, 1987.
STEWART, J. Cálculo – Volume I. Cengage Learning, São 
Paulo, 2011.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica – Volu-
me 1. 2ª ed, São Paulo, 1986.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 8
Funções Trigonométricas 
Inversas
Introdução
Neste capítulo, vamos estudar as funções trigonométricas in-
versas e suas derivadas e integrais. As funções trigonométricas 
não são bijetoras (pois não são injetoras), portanto, não pos-
suem inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio de forma 
apropriada, então a sua inversa será uma função.
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
158 Cálculo II
8.1 Função inversa
Quando as variáveis x e y se relacionam de modo que a cada 
valor de x está associado um e somente um valor de y, dizemos 
que y é em função de x e escrevemos y = f(x).
Se também ocorre que a cada valor de y está associado um 
e somente um valor de x, dizemos também que x é em função 
de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f, e é 
representada por f-1 e escrevemos x = f-1(y).
Se a função f tem inversa, dizemos que ela é inversível.
Observe que a função f deve ser bijetora, isto é, deve ser 
sobrejetora e injetora.
Revisando esses conceitos:
 Â Dizemos que uma função é sobrejetora quando todo 
elemento y = f(x) for imagem de pelo menos um ele-
mento x do domínio.
 Â Dizemos que uma função é injetora quando cada ele-
mento y = f(x) é imagem de um e somente um elemento 
x do domínio.
 Â Dizemos que uma função é bijetora quando ela for so-
brejetora e injetora ao mesmo tempo.
Então, se uma função é bijetora, para cada valor de x do 
domínio tem um e somente um valor de y no contradomínio e 
Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 159
cada valor de y do contradomínio tem um e somente um valor 
de x no domínio. Existe uma relação um a um, chamada de 
biunívoca. Veja que o domínio da função f(x) será a imagem 
da função f-1(x) e a imagem de f(x) será o domínio de f-1(x). 
Dizemos que as variáveis trocam de papel: x passa a ser y e y 
passa a ser x.
Ex.: 1) Determinar a função inversa da função .23)( += xxf
Como a função é do primeiro grau, o domínio é o conjunto 
dos reais e a imagem também é o conjunto dos reais.
Escrevemos: .23 += xy
Trocamos o papel das variáveis: .23 += yx
Isolamos y: .
3
2−
=
xy
Logo, a função inversa da função 23)( += xxf é a função 
3
2)(1 −=− xxf .
Seu domínio é o conjunto dos reais, e a imagem também é 
o conjunto dos reais.
Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um 
mesmo sistema de eixos cartesianos:
160 Cálculo II
No gráfico, verificamos que as funções 23)( += xxf e 
3
2)(1 −=− xxf são simétricas em relação à reta y = x. Veja 
também que 
Ex.: 2) Determinar a função inversa da função 3)( xxf = .
O domínio é o conjunto dos reais, e a imagem também é 
o conjunto dos reais.
Escrevemos: 3xy = .
Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 161
Trocamos o papel das variáveis: 3yx = .
Isolamos y: 3 xy = .
Logo, a função inversa da função 3)( xxf = é a função 
31 )( xxf =− .
Seu domínio é o conjunto dos reais, e a imagem também é 
o conjunto dos reais.
Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um 
mesmo sistema de eixos cartesianos:
No gráfico, verificamos que as funções 3)( xxf = e 
31 )( xxf =− são simétricas em relação à reta y = x.
162 Cálculo II
Ex.: 3) Determinar a função inversa da função 2)( xxf = .
Essa função é do segundo grau (função quadrática). O 
seu domínio é o conjunto dos reais e a imagem é o intervalo 
) ; 0[ ∞ .
Podemos ver facilmente que essa função não é bijetora, 
pois existem valores de y = f(x) que são imagem de mais de 
um valor de x do domínio (ela não é injetora).
Ex.: f(-2) = 4 e f(2) = 4.
A inversa dessa função existe se fizermos uma restrição no 
domínio.
Se fizermos o subconjunto ) ; 0[ ∞ como o domínio e ) ; 0[ ∞ 
como contradomínio, ela possui inversa nesses intervalos. En-
tão:
) ; 0[ ) ; 0[ : ∞→∞f , definida por 2)( xxf = .
) ; 0[ ) ; 0[ : 1 ∞→∞−f , definida por xxf =− )(1 (consideremos 
apenas a raiz positiva)
Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um 
mesmo sistema de eixos cartesianos:
Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 163
No gráfico, verificamos que as funções 2)( xxf = e 
xxf =− )(1 são simétricas em relação à reta y = x.
8.2 Funções trigonométricas
Já estudamos as funções trigonométricas, traçando seus grá-
ficos, determinando o domínio e a imagem e calculando suas 
derivadas e integrais. A seguir, um resumo sobre as seis fun-
ções trigonométricas.
164 Cálculo II
Quadro 1 funções trigonométricas, domínio e imagem
Quadro 2 funções trigonométricas, suas derivadas e integrais
Quadro 3 gráficos das funções trigonométricas
Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 165
166 Cálculo II
8.3 Funções trigonométricas inversas
Como as funções trigonométricas são periódicas, elas não 
são bijetoras. Em consequência, a inversa de uma função tri-
gonométrica não é uma função. Restringindo o domínio das 
funções trigonométricas de forma apropriada, ela terá uma 
função inversa dentro dessa restrição.
8.3.1 A função inversa da função seno
A função xsenxf )( = , com domínio nos reais não possui 
inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no intervalo 
[ ]2 ; 2 ππ− , ela possui inversa. Sua inversa é denominada 
função