Introdução à Probabilidade em Experimentos Aleatórios

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UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá
Campus Itabira
AULA 2
Introdução a Probabilidade
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Introdução a Probabilidade
Experimentos Aleatórios
São aqueles experimentos em que os resultados 
não são necessariamente os mesmos, ainda que 
as condições de realização se mantenham 
praticamente as mesmas. Ou seja, o resultado 
final depende do acaso.
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Exemplos
• Em uma linha de produção que fabrica peças em 
série, conte o número de peças defeituosas 
produzidas em um período de 24 horas.
• Uma asa de avião é fixada por um grande número de 
rebites. Conte o número de rebites defeituosos.
• Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada 
quanto a duração da vida, pela colocação em um 
soquete e anotação do tempo decorrido (em horas) 
até queimar.
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Exemplos
• Medir o comprimento de uma dimensão de uma peça 
produzida por uma máquina.
• A resistência à tração de uma barra metálica é
medida.
• Um termógrafo registra a temperatura 
continuamente, num período de 24 horas. Em 
determinada localidade e em uma data especificada, 
esse termógrafo é lido.
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Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória Discreta
Chamamos de Variável Aleatória Discreta (VAD) 
aquela variável que assume valores que podem ser 
contados, isto é, é aquela para a qual o conjunto é
finito ou infinito enumerável. 
Em geral, são variáveis numéricas, cujo valor medido 
pode variar de uma réplica para outra do experimento.
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Exemplos
• número de bits transmitidos em um canal de 
comunicação que foram recebidos com erro.
• número de arranhões em uma superfície de um 
disco óptico.
• proporção de peças defeituosas entre 1000 
testadas.
• número de terremotos.
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Variável Aleatória Contínua
Variável Aleatória Contínua (VAC) é aquela que pode 
assumir qualquer valor numérico em um determinado 
intervalo ou coleção de intervalos reais, ou seja, é
aquela para a qual o conjunto é infinito não-
enumerável. 
Variáveis Aleatórias
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• valores de corrente elétrica em um cabo elétrico.
• flutuações de temperatura.
• pesos de caixas de laranja.
• medidas de uma peça usinada na indústria para fins 
de controle de qualidade.
• duração de uma conversa telefônica.
Exemplos
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Em teoria das probabilidades, o espaço amostral ou 
espaço amostral universal, geralmente denotado E, 
S, Ω ou U (de "universo"), de um experimento 
aleatório é o conjunto de todos os resultados 
possíveis do experimento. 
Por exemplo, se o experimento é lançar uma moeda e 
verificar a face voltada para cima, o espaço amostral 
é o conjunto U = {cara, coroa} . 
Para o lançamento de um dado de seis faces, o 
espaço amostral é o conjunto U = {1, 2,,3, 4, 5, 6} . 
Espaço Amostral
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Evento
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Conceito de Probabilidade
A probabilidade em termos práticos é uma medida 
que exprime a incerteza presente em situações 
onde os resultados são variáveis.
Existem dois processos importantes para se obter a 
estimativa da probabilidade de um evento A.
Processo Clássico
Se um evento A pode ocorrer de h maneira 
diferentes em um total de n maneira possíveis 
(todas igualmente prováveis), então a probabilidade 
do evento ocorrer é dada por:
P(A) = h / n
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Conceito de Probabilidade
Processo da Frequência
Se após n repetições de um experimento aleatório 
(n bem grande) se observa h ocorrências de 
determinado evento A, então a probabilidade do 
evento A ocorrer é dada por:
P(A) = h / n
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Função de Probabilidade
A cada evento A na classe E de eventos 
associamos um número real P(A), isto é, P é uma 
função real definida em E (função de probabilidade) 
e P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, desde 
que sejam satisfeitos os seguintes axiomas:
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Principais Teoremas
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Exercícios
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Exercícios
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Probabilidade Condicional
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Produto de Probabilidades
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Eventos Independentes
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Eventos Independentes
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Exemplo
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Exemplo
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Exercícios
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Exercícios
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Teorema da Probabilidade Total
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Exemplo
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Teorema de Bayes
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Exemplo
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Exercícios
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Exercícios